上海市崇明區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題含解析

上海市崇明區(qū)2024屆數(shù)學(xué)高一第二學(xué)期期末學(xué)業(yè)水平測(cè)試模擬試題請(qǐng)考生注意：1．請(qǐng)用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請(qǐng)用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無(wú)效。2．答題前，認(rèn)真閱讀答題紙上的《注意事項(xiàng)》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1．設(shè)是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（）A． B． C． D．2．某學(xué)校的A，B，C三個(gè)社團(tuán)分別有學(xué)生人，人，人，若采用分層抽樣的方法從三個(gè)社團(tuán)中共抽取人參加某項(xiàng)活動(dòng)，則從A社團(tuán)中應(yīng)抽取的學(xué)生人數(shù)為（）A．2 B．4 C．5 D．63．已知，，則()A． B． C． D．4．在中，角，，所對(duì)的邊分別為，，，若，且，則的面積的最大值為()A． B． C． D．5．已知，與的夾角，則在方向上的投影是（）A． B． C．1 D．6．若正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，，四面體的體積為，則（）A． B． C． D．7．已知數(shù)列的前項(xiàng)和為，且，若對(duì)任意，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，公差，，若成等比數(shù)列，則的最小值為()A． B．2 C． D．9．已知，則下列不等式成立的是（）A． B． C． D．10．若，則下列正確的是（）A． B．C． D．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．已知為等差數(shù)列，，，，則______.12．記，則函數(shù)的最小值為_(kāi)_________．13．已知直線與軸、軸相交于兩點(diǎn)，點(diǎn)在圓上移動(dòng)，則面積的最大值和最小值之差為．14．已知圓C:，點(diǎn)M的坐標(biāo)為(2，4)，過(guò)點(diǎn)N(4，0)作直線交圓C于A，B兩點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)_______15．展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)之和為，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_________．16．函數(shù)的最小正周期為_(kāi)_________．三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．已知一個(gè)幾何體是由一個(gè)直角三角形繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周所形成的．若該三角形的周長(zhǎng)為12米，三邊長(zhǎng)由小到大依次為a，b，c，且b恰好為a，c的算術(shù)平均數(shù)．（1）求a，b，c；（2）若在該幾何體的表面涂上一層油漆，且每平方米油漆的造價(jià)為5元，求所涂的油漆的價(jià)格．18．若不等式恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍。19．已知角的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，始邊與軸的非負(fù)半軸重合，終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)是.（1）求；（2）求；20．若函數(shù)滿足且，則稱函數(shù)為“函數(shù)”．（1）試判斷是否為“函數(shù)”，并說(shuō)明理由；（2）函數(shù)為“函數(shù)”，且當(dāng)時(shí)，，求的解析式，并寫出在上的單調(diào)遞增區(qū)間；（3）在(2)的條件下，當(dāng)時(shí)，關(guān)于的方程為常數(shù)有解，記該方程所有解的和為，求．21．已知.（1）若不等式的解集為，求的值；（2）解不等式.

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，恰有一項(xiàng)是符合題目要求的1、A【解題分析】，，，故選A．2、B【解題分析】

分層抽樣每部分占比一樣，通過(guò)A，B，C三個(gè)社團(tuán)為，易得A中的人數(shù)?！绢}目詳解】A，B，C三個(gè)社團(tuán)人數(shù)比為，所以12中A有人，B有人，C有人。故選：B【題目點(diǎn)撥】此題考查分層抽樣原理，根據(jù)抽樣前后每部分占比一樣求解即可，屬于簡(jiǎn)單題目。3、C【解題分析】

利用二倍角公式變形為，然后利用弦化切的思想求出的值，可得出角的值．【題目詳解】，化簡(jiǎn)得，，則，，因此，，故選C．【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角公式的應(yīng)用，考查弦切互化思想的應(yīng)用，考查給值求角的問(wèn)題，著重考查學(xué)生對(duì)三角恒等變換思想的應(yīng)用能力，屬于中等題．4、A【解題分析】

由以及，結(jié)合二倍角的正切公式，可得，根據(jù)三角形的內(nèi)角的范圍可得，由余弦定理以及基本不等式可得，再根據(jù)面積公式可得答案.【題目詳解】因?yàn)?，且，所以，所以，則.由于為定值，由余弦定理得，即.根據(jù)基本不等式得，即，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.所以.故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查了二倍角的正切公式，考查了余弦定理，考查了基本不等式，考查了三角形的面積公式，屬于中檔題.5、A【解題分析】

根據(jù)向量投影公式計(jì)算即可【題目詳解】在方向上的投影是：故選：A【題目點(diǎn)撥】本題考查向量投影的概念及計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題6、C【解題分析】

由題意得，到平面的距離不變＝，且，即可得三棱錐的體積，利用等體積法得．【題目詳解】正方體的棱長(zhǎng)為，點(diǎn)，在上運(yùn)動(dòng)，，如圖所示：點(diǎn)到平面的距離＝，且，所以.所以三棱錐的體積＝．利用等體積法得.故選：C．【題目點(diǎn)撥】本題考查了正方體的性質(zhì)，等體積法求三棱錐的體積，屬于基礎(chǔ)題．7、B【解題分析】即對(duì)任意都成立，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，歸納得：故選點(diǎn)睛：根據(jù)已知條件運(yùn)用分組求和法不難計(jì)算出數(shù)列的前項(xiàng)和為，為求的取值范圍則根據(jù)為奇數(shù)和為偶數(shù)兩種情況進(jìn)行分類討論，求得最后的結(jié)果8、A【解題分析】

由成等比數(shù)列可得數(shù)列的公差，再利用等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式及通項(xiàng)公式可得為關(guān)于的式子，再利用對(duì)勾函數(shù)求最小值.【題目詳解】∵成等比數(shù)列，∴，解得：，∴，令，令，其中的整數(shù)，∵函數(shù)在遞減，在遞增，∴當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，∴.故選：A.【題目點(diǎn)撥】本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基本量運(yùn)算、函數(shù)的最值，考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力和運(yùn)算求解能力，求解時(shí)注意為整數(shù)，如果利用基本不等式求解，等號(hào)是取不到的.9、D【解題分析】

利用排除法，取，，可排除錯(cuò)誤選項(xiàng)，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性，可證明D正確.【題目詳解】取，，可排除A，B，C，由函數(shù)是上的增函數(shù)，又，所以，即選項(xiàng)D正確.故選：D.【題目點(diǎn)撥】本題考查不等式的性質(zhì)，考查學(xué)生的推理論證能力，屬于基礎(chǔ)題.10、D【解題分析】

由不等式的性質(zhì)對(duì)四個(gè)選項(xiàng)逐一判斷，即可得出正確選項(xiàng)，錯(cuò)誤的選項(xiàng)可以采用特值法進(jìn)行排除．【題目詳解】A選項(xiàng)不正確，因?yàn)槿?，，則不成立；B選項(xiàng)不正確，若時(shí)就不成立；C選項(xiàng)不正確，同B，時(shí)就不成立；D選項(xiàng)正確，因?yàn)椴坏仁降膬蛇吋由匣蛘邷p去同一個(gè)數(shù)，不等號(hào)的方向不變，故選D．【題目點(diǎn)撥】本題主要考查不等關(guān)系和不等式的基本性質(zhì)，求解的關(guān)鍵是熟練掌握不等式的運(yùn)算性質(zhì)．二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、【解題分析】

由等差數(shù)列的前項(xiàng)和公式，代入計(jì)算即可.【題目詳解】已知為等差數(shù)列，且，，所以，解得或（舍）故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查了等差數(shù)列前項(xiàng)和公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.12、4【解題分析】

利用求解.【題目詳解】，當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：4【題目點(diǎn)撥】本題主要考查絕對(duì)值不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)該知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.13、15【解題分析】

解：設(shè)作出與已知直線平行且與圓相切的直線，

切點(diǎn)分別為，如圖所示

則動(dòng)點(diǎn)C在圓上移動(dòng)時(shí)，若C與點(diǎn)重合時(shí)，

△ABC面積達(dá)到最小值；而C與點(diǎn)重合時(shí)，△ABC面積達(dá)到最大值

∵直線3x＋4y?12＝0與x軸、y軸相交于A（4，0）、B（0，3）兩點(diǎn)

可得∴△ABC面積的最大值和最小值之差為

，

其中分別為點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離

∵是圓（x?5）2＋（y?6）2＝9的兩條平行切線與圓的切點(diǎn)

∴點(diǎn)、點(diǎn)到直線AB的距離之差等于圓的直徑，即

因此△ABC面積的最大值和最小值之差為

故答案為：1514、8【解題分析】

先將所求化為M到AB中點(diǎn)的距離的最小值問(wèn)題，再求得AB中點(diǎn)的軌跡為圓，利用點(diǎn)M到圓心的距離減去半徑求得結(jié)果.【題目詳解】設(shè)A、B中點(diǎn)為Q，連接QC，則QC，所以Q的軌跡是以NC為直徑的圓，圓心為P（5，0），半徑為1，又，即求點(diǎn)M到P的距離減去半徑，又，所以，故答案為8【題目點(diǎn)撥】本題考查了向量的加法運(yùn)算，考查了求圓中弦中點(diǎn)軌跡的幾何方法，考查了點(diǎn)點(diǎn)距公式，考查了分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題.15、【解題分析】令，則，即，因?yàn)榈恼归_(kāi)式的通項(xiàng)為，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為，即常數(shù)項(xiàng)為.點(diǎn)睛：本題考查二項(xiàng)式定理；求二項(xiàng)展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)的和往往利用賦值法（常賦值為）,還要注意整體賦值，且要注意展開(kāi)式各項(xiàng)系數(shù)和二項(xiàng)式系數(shù)的區(qū)別.16、【解題分析】

先將轉(zhuǎn)化為余弦的二倍角公式,再用最小正周期公式求解.【題目詳解】解：最小正周期為.故答案為【題目點(diǎn)撥】本題考查二倍角的余弦公式,和最小正周期公式.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時(shí)應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17、（1）3，4，1；（2）元．【解題分析】

（1）由題意，根據(jù)周長(zhǎng)、三邊關(guān)系、勾股定理，a，b，c，建立方程組，解得即可.（2）根據(jù)題意，旋轉(zhuǎn)得到的幾何體為由底面半徑為米，母線長(zhǎng)分別為米3和4米的兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，計(jì)算幾何體的表面積再乘單價(jià)即可求解.【題目詳解】（1）由題意得，，所以，又，且，二者聯(lián)立解得，，所以a，b，c的值分別為3，4，1．（2）繞其斜邊旋轉(zhuǎn)一周得到的幾何體為由底面半徑為米，母線長(zhǎng)分別為米3和4米的兩個(gè)圓錐所組成的幾何體，故其表面積為平方米．因?yàn)槊科椒矫子推岬脑靸r(jià)為1元，所以所涂的油漆的價(jià)格為元．所涂的油漆的價(jià)格為：元．【題目點(diǎn)撥】本題考查三角形三邊關(guān)系及旋轉(zhuǎn)體表面積的應(yīng)用，考查計(jì)算能力與空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.18、【解題分析】

恒成立的條件下由于給定了的范圍，故可考慮對(duì)進(jìn)行分類，同時(shí)利用參變分離法求解的范圍.【題目詳解】由題意得(1),時(shí)，恒成立(2),等價(jià)于又∴∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是【題目點(diǎn)撥】含有分式的不等式恒成立問(wèn)題，要注意到分母的正負(fù)對(duì)于不等號(hào)的影響；若是變量的范圍給出了，可針對(duì)于變量的范圍做具體分析，然后去求解參數(shù)范圍.19、（1），（2）【解題分析】

（1）求得點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，根據(jù)三角函數(shù)的定義求值；（2）同（1）可求出，然后用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)，再代入值計(jì)算．【題目詳解】（1）（2），為第四象限，【題目點(diǎn)撥】本題考查三角函數(shù)的定義，考查誘導(dǎo)公式，屬于基礎(chǔ)題．20、（1）不是“M函數(shù)”；（2），；（3）.【解題分析】

由不滿足，得不是“M函數(shù)”，可得函數(shù)的周期，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，在上的單調(diào)遞增區(qū)間：，由可得函數(shù)在上的圖象，根據(jù)圖象可得：當(dāng)或1時(shí)，為常數(shù)有2個(gè)解，其和為當(dāng)時(shí)，為常數(shù)有3個(gè)解，其和為．當(dāng)時(shí)，為常數(shù)有4個(gè)解，其和為即可得當(dāng)時(shí)，記關(guān)于x的方程為常數(shù)所有解的和為，【題目詳解】不是“M函數(shù)”．，，不是“M函數(shù)”．函數(shù)滿足，函數(shù)的周期，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，在上的單調(diào)遞增區(qū)間：，；由可得函數(shù)在上的圖象為：當(dāng)或1時(shí)，為常數(shù)有2個(gè)解，其和為.當(dāng)時(shí)，為常數(shù)有3個(gè)解，其和為．當(dāng)時(shí)，為常數(shù)有4個(gè)解，其和為當(dāng)時(shí)，記關(guān)于x的方程為常數(shù)所有解的和為，則．【題目點(diǎn)撥】本題考查了三角函數(shù)的圖象、性質(zhì)，考查了三角恒等