第3章 3-01高斯消元法,列主元法課件

第3章線性代數(shù)方程組的數(shù)值解法3.1高斯消去法3.2矩陣三角分解法3.33.4向量和矩陣的范數(shù)3.5迭代法3.6迭代法的收斂性3.7方程組的形態(tài)和誤差分析第3章3-01高斯消元法,列主元法

矩陣形式Ax=b,其中n個(gè)未知量n個(gè)方程的線性代數(shù)方程組或?qū)懗傻?章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法兩類數(shù)值解法：

直接解法:假定計(jì)算過(guò)程沒(méi)有舍入誤差的情況下，經(jīng)過(guò)有限步算術(shù)運(yùn)算后能求得線性方程組精確解的方法。經(jīng)過(guò)有限步運(yùn)算就能求得精確解的方法，但實(shí)際計(jì)算中由于舍入誤差的影響，這類方法也只能求得近似解；例如：高斯消去法、三角分解法等。

迭代解法:構(gòu)造適當(dāng)?shù)南蛄啃蛄?，用某種極限過(guò)程去逐步逼近精確解。例如：雅可比迭代法、高斯-賽德?tīng)柕ǖ?。?章3-01高斯消元法,列主元法上三角形方程組回代求解，得第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法下三角形方程組順代可求得第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法上二對(duì)角方程組回代求解，得第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法下二對(duì)角方程組順代可求得第3章3-01高斯消元法,列主元法3.1高斯消去法

3.1.1順序高斯消去法

(按方程和未知量的自然順序進(jìn)行)基本思想：用逐次消去未知數(shù)的方法把原方程組化為上三角形方程組進(jìn)行求解。求解分成兩步：

1.消元過(guò)程：用初等行變換將原方程組的系數(shù)矩陣化為上三角形矩陣（簡(jiǎn)稱上三角陣）。

2.回代過(guò)程：對(duì)上三角形方程組的最后一個(gè)方程求解，將求得的解逐步往上一個(gè)方程代入求解。

第3章3-01高斯消元法,列主元法順序高斯消去法消元過(guò)程:

依從左到右、自上而下的次序?qū)⒅鲗?duì)角元下方的元素化為零。

1不作行交換。

2用不等于零的數(shù)乘某行，加至另一行。第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法

系數(shù)行列式的計(jì)算：

例

消元過(guò)程

主元為2，2.5，0.6detA=2×2.5×0.6=3第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法消元過(guò)程第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法回代過(guò)程第3章3-01高斯消元法,列主元法順序高斯消去法的使用條件使用條件之一

定理

線性方程組系數(shù)矩陣A的順序主子矩陣Ak

(k=1,2,…,n)非奇異，則順序高斯消去法能實(shí)現(xiàn)方程組的求解。

即方程組能用順序高斯消去法求解的充要條件是系數(shù)行列式的順序主子式非零。第3章3-01高斯消元法,列主元法

高斯消去法能按順序進(jìn)行到底的充要條件是在原方程組的系數(shù)矩陣中如何反映出這個(gè)條件呢?A的k階順序主子矩陣Ak的行列式第3章3-01高斯消元法,列主元法

使用條件之二

n階矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣是指其每個(gè)主對(duì)角元的絕對(duì)值大于同一行其他元素絕對(duì)值之和，即

一階嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣指一個(gè)非零數(shù)。

定理方程組系數(shù)矩陣A為嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣則可實(shí)現(xiàn)用順序高斯消去法求解。第3章3-01高斯消元法,列主元法第3章3-01高斯消元法,列主元法3.1.2列主元高斯消去法

為什么列選主：數(shù)值不穩(wěn)定

當(dāng)高斯消去法的主元時(shí),盡管“當(dāng)A非奇異時(shí)，detA≠0，方程組有唯一解”，也不能實(shí)現(xiàn)高斯消去法求解。例，

A非奇異，detA≠0，方程組有唯一解，但，不能實(shí)現(xiàn)高斯消去法求解。高斯消去法的主元，但絕對(duì)值很小時(shí)，用絕對(duì)值小的數(shù)做除數(shù)，會(huì)導(dǎo)致其它元素?cái)?shù)量級(jí)的嚴(yán)重增長(zhǎng)和舍入誤差的擴(kuò)大。

第3章3-01高斯消元法,列主元法列選主元高斯消去法：避免用絕對(duì)值小的元素，作除數(shù)。每次消元前選取一列中絕對(duì)值最大的元素作為主元素。用這個(gè)主元素作除數(shù)，這樣便可以減少舍入誤差。列選主元高斯消去法的優(yōu)越性，不增加求解過(guò)程的運(yùn)算量，而大大減小誤差。第3章3-01高斯消元法,列主元法例

用列主元高斯消去法求解方程組(用三位有效數(shù)字計(jì)算)解選主元選主元第3章3-01高斯消元法,列主元法消元過(guò)程完成，得到上三角形方程組再作回代可求得第3章3-01高斯消元法,列主元法

行列式的計(jì)算：

列主元法的消元過(guò)程

計(jì)算過(guò)程有2次行交換，故m=2，主元為5，-1.6，2detA=(-1)2×5×(-1.6)×2=16