2023-2024學(xué)年黑龍江省哈爾濱市阿城區(qū)八年級（上）學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

阿城區(qū)八年級期末考試數(shù)學(xué)學(xué)科試題一、選擇題：（每小題3分，共計(jì)24分）1．下列運(yùn)算結(jié)果最大的是（

）A． B． C． D．2．下面四幅作品分別代表二十四節(jié)氣中的“立春”、“芒種”、“白露”、“大雪”，其中是軸對稱圖形的是（

）A． B． C． D．3．以下列長度的三條線段為邊，能組成三角形的是（

）A．，， B．，， C．，， D．，，4．下列運(yùn)算結(jié)果正確的是（

）A． B．C． D．5．如圖，河道m(xù)的同側(cè)有M、N兩個村莊，計(jì)劃鋪設(shè)一條管道將河水引至M，N兩地．下面的四個方案中，管道長度最短的是（）A． B． C． D．6．如圖，在和中，，，，，三點(diǎn)在同一直線上，添加下列條件，不能判定的是（

）A． B． C． D．7．小瑩和小博士下棋，小瑩執(zhí)圓子，小博士執(zhí)方子．如圖，棋盤中心方子的位置用（﹣1，0）表示，右下角方子的位置用（0，﹣1）表示．小瑩將第4枚圓子放入棋盤后，所有棋子構(gòu)成一個軸對稱圖形．她放的位置是（）A．（﹣2，1） B．（﹣1，1） C．（1，﹣2） D．（﹣1，﹣2）8．如圖，已知中，，，的頂點(diǎn)P是的中點(diǎn)，兩邊、分別交、于點(diǎn)E、F（點(diǎn)E不與A、B重合），，過點(diǎn)F作于點(diǎn)H，給出以下四個結(jié)論：①；②是等腰直角三角形；③；④當(dāng)時，．上述結(jié)論中始終正確的個數(shù)有（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個二、填空題：（每小題3分，共計(jì)24分）9．某種秋冬流感病毒的直徑約為米，該直徑用科學(xué)記數(shù)法表示為．10．若分式有意義，則x的取值范圍為．11．如圖，在中，，是角平分線，，，則的面積為．12．計(jì)算的結(jié)果為．13．把多項(xiàng)式分解因式的結(jié)果是．14．已知，，則的值為．15．已知，其中，分別以點(diǎn)A，C為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)D，E，然后再以C為圓心，長為半徑作弧，與直線交于點(diǎn)F，則的度數(shù)為度．16．如圖，在四邊形中，、為對角線，，，，若，的面積為2，則的長為．

三、解答題（其中17—21題各8分，22—23題各10分；24題12分，共計(jì)72分）17．計(jì)算：(1)；(2)．18．先化簡，再求值：，其中，．19．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，的頂點(diǎn)，，均在小正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)上．(1)畫出關(guān)于軸的對稱圖形（點(diǎn)、、的對應(yīng)點(diǎn)分別為，，）；(2)畫，點(diǎn)在第二象限內(nèi)的格點(diǎn)上，且，畫出所有符合條件的圖形，并寫出點(diǎn)的坐標(biāo)．20．通常，用兩種不同的方法計(jì)算同一個圖形的面積，可以得到一個恒等式．如圖1是一個長為，寬為的長方形，沿圖中虛線對折后用剪刀平均分成四個小長方形，然后按圖2的形狀拼成一個正方形.請解答下列問題：(1)圖2中陰影部分的正方形的邊長是_______；(2)請用兩種不同的方法表示圖2中陰影部分的面積：方法1：_______；方法2：_______；(3)觀察圖2，請你寫出、、之間的等量關(guān)系是_______；(4)如圖3，點(diǎn)C是線段上的一點(diǎn)，以，為邊向兩邊作正方形，面積分別是和，若，兩正方形的面積，求的面積．21．如圖1，已知．以為邊向形外作等邊三角形，連接．

(1)求證：；(2)如圖2，若，點(diǎn)H為的中點(diǎn)，連接，請直接寫出與全等的所有三角形．22．樂樂超市準(zhǔn)備購進(jìn)甲、乙兩種商品進(jìn)行銷售，已知，每個甲商品的進(jìn)價比每個乙商品的進(jìn)價少元，且用元購進(jìn)甲商品的數(shù)量與用元購進(jìn)乙商品的數(shù)量相同．(1)求每個甲、乙兩種商品的進(jìn)價分別是多少元?(2)若該商場購進(jìn)甲商品的數(shù)量比乙商品的數(shù)量的倍還少個，甲、乙兩種商品的售價分別是元個和元個，且將購進(jìn)的甲、乙兩種商品全部售出后，可使總利潤不少于元，那么商場至少購進(jìn)乙商品多少個?23．綜合與實(shí)踐如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，，，連接，點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿y軸以每秒1個單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動，同時，點(diǎn)Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿x軸以每秒2個單位的速度向原點(diǎn)O運(yùn)動，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)原點(diǎn)，點(diǎn)Q也停止運(yùn)動．(1)連接、，設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動時間為t秒，的面積為，用含t的式子表示S（不要求寫出t的取值范圍）；(2)點(diǎn)M、點(diǎn)N在過A垂直于y軸的直線上，連接，，，，當(dāng)是以為直角邊的等腰直角三角形時，恰好，求此時點(diǎn)N的坐標(biāo)．24．綜合與探究如圖，已知，中，，點(diǎn)D為邊上一點(diǎn)，連接，將沿直線折疊，得到，作平分交于F．【嘗試發(fā)現(xiàn)】（1）①若，則_______．②若，則_______．③若，則_______．（用含的式子表示）；【簡單應(yīng)用】（2）如圖1，若，，求證：；【拓展延伸】（3）如圖2，若，過點(diǎn)F作的垂線交延長線于點(diǎn)G，在延長線上取點(diǎn)H，使，，試探究，，三條線段之間的數(shù)量關(guān)系并證明．

參考答案與解析

1．A【分析】本題重點(diǎn)考查了冪的運(yùn)算，掌握零指數(shù)冪，負(fù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．將各數(shù)化簡即可求出答案．【詳解】解：，，，，∵，∴最大，故選：A．2．D【分析】此題考查了軸對稱圖形的概念：如果一個圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形叫做軸對稱圖形，這條直線叫做對稱軸，這時，我們也可以說這個圖形關(guān)于這條直線(成軸）對稱，據(jù)此逐項(xiàng)判斷即可，熟練掌握知識點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．【詳解】、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、不是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)不符合題意；、是軸對稱圖形，故本選項(xiàng)符合題意；故選：．3．D【分析】此題考查三角形的三邊關(guān)系：任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊，根據(jù)三角形三邊關(guān)系，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊即可求解，掌握三角形三邊關(guān)系定理是解題的關(guān)鍵．【詳解】、由，此選項(xiàng)三條線段不能構(gòu)成三角形，不符合題意；、由，此選項(xiàng)三條線段不能構(gòu)成三角形，不符合題意；、由，此選項(xiàng)三條線段不能構(gòu)成三角形，不符合題意；、由，此選項(xiàng)三條線段能構(gòu)成三角形，符合題意；故選：．4．B【分析】根據(jù)冪的運(yùn)算，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)法則逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：A.，原選項(xiàng)不正確，不符合題意；B.，原選項(xiàng)正確，符合題意；C.，原選項(xiàng)不正確，不符合題意；D.與不能合并，原選項(xiàng)不正確，不符合題意；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了冪的運(yùn)算，單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，合并同類項(xiàng)，解題關(guān)鍵是熟記相關(guān)法則，準(zhǔn)確進(jìn)行計(jì)算．5．C【分析】利用對稱的性質(zhì)，通過等線段代換，將所求路線長轉(zhuǎn)化為兩定點(diǎn)之間的距離．【詳解】解：作點(diǎn)M關(guān)于直線m的對稱點(diǎn)M′，連接NM′交直線m于Q．根據(jù)兩點(diǎn)之間，線段最短，可知選項(xiàng)D修建的管道，則所需管道最短．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了最短路徑的數(shù)學(xué)問題．這類問題的解答依據(jù)是“兩點(diǎn)之間，線段最短”．由于所給的條件的不同，解決方法和策略上又有所差別．6．B【分析】根據(jù)全等三角形的判定的方法，即可得到答案．【詳解】解：，A、，滿足的條件，能證明，不符合題意；B、，不滿足證明三角形全等的條件，符合題意；C、，得到，滿足，能證明，不符合題意；D、，得到，滿足，能證明，不符合題意，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握證明三角形全等的幾種方法：．7．B【詳解】解：棋盤中心方子的位置用（﹣1，0）表示，則這點(diǎn)所在的橫線是x軸，右下角方子的位置用（0，﹣1），則這點(diǎn)所在的縱線是y軸，則當(dāng)放的位置是（﹣1，1）時構(gòu)成軸對稱圖形．故選：B．8．A【分析】此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質(zhì)．尋找條件證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)對①②③的結(jié)論逐一判斷；延長交的延長線于點(diǎn)，利用等腰三角形的性質(zhì)和判定以及三角形內(nèi)角和定理證明，，，，據(jù)此求解即可．【詳解】解：如圖，

，，是等腰直角三角形，，是中點(diǎn)，，、都是的余角，，在與中，，，①由得到，故①正確；②由得到，是直角，是等腰直角三角形，故②正確；③由得到，則，∴，故③正確；④延長交的延長線于點(diǎn)，∵，∴，∴，，∴，∴，，∴，，∵，∴，，∵，，∴，∴，∴④正確；∴正確結(jié)論為①②③④．故選：A．9．【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時，要看把原數(shù)變成a時，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞1時，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時，n是負(fù)數(shù)．【詳解】=故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了科學(xué)記數(shù)法的表示形式，確定n的值是解題的關(guān)鍵.10．【分析】本題考查分式有意義的條件．根據(jù)分式有意義的條件為分母不為零，列不等式，解不等式即可求解．【詳解】解：由題意可得，解得，故答案為：．11．【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，過點(diǎn)作于點(diǎn)，根據(jù)角平分線的定義得出，進(jìn)而根據(jù)三角形的面積即可求解，掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【詳解】如圖，過點(diǎn)作于點(diǎn)，∵，∴，又∵是角平分線，，，，∴，∵，∴的面積為：，故答案為：．12．【分析】本題考查的是單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式，按照單項(xiàng)式除以單項(xiàng)式的運(yùn)算法則進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：；故答案為：13．【分析】本題考查了用提公因式法和公式法進(jìn)行因式分解．先提取，再根據(jù)平方差公式繼續(xù)分解即可．【詳解】解：，故答案為：．14．32【分析】逆用同底數(shù)冪的乘法法則計(jì)算即可．【詳解】解：∵，，∴．故答案為：32．【點(diǎn)睛】本題考查了同底數(shù)冪乘法的逆運(yùn)算，熟練掌握同底數(shù)冪的乘法法則是解答本題的關(guān)鍵，特別注意運(yùn)算過程中指數(shù)的變化規(guī)律，靈活運(yùn)用法則的逆運(yùn)算進(jìn)行計(jì)算，培養(yǎng)學(xué)生的逆向思維意識．15．或##或【分析】本題考查了基本作圖，掌握據(jù)線段的垂直平分線是解題的關(guān)鍵．先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)線段的垂直平分線求解．【詳解】解：由作圖得：垂直平分，垂直平分，四邊形是菱形，，，，，，故答案為：150或30．16．【分析】根據(jù)已知條件得出，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，根據(jù)三角形的面積求得，構(gòu)造等腰直角三角形，進(jìn)而額電池的長，即可求解．【詳解】解：∵，設(shè)，，∵，∴，即，∵，∴∴如圖所示，過點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)交于點(diǎn)，

∵，∴，∴是等腰直角三角形，∵∴，∵的面積為2，∴∴，則，在中，，如圖所示，作關(guān)于的對稱點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)，

∵，則是等腰直角三角形，則，設(shè)，則，在中，解得：或（舍去）∴∴，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，熟練掌握是以上知識，得出解題的關(guān)鍵．17．(1)(2)【分析】（1）先算積的乘方，再算同底數(shù)冪相乘，最后合并同類項(xiàng)即可；（2）利用完全平方公式以及多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式運(yùn)算，再去括號，合并同類項(xiàng)即可．【詳解】（1）解：；（2）解：．【點(diǎn)睛】本題考查了積的乘方、同底數(shù)冪相乘、單項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式、多項(xiàng)式乘以多項(xiàng)式及合并同類項(xiàng)，熟練掌握運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．18．，．【分析】本題考查了分式的化簡求值，負(fù)整數(shù)指數(shù)冪和零次冪．根據(jù)分式的運(yùn)算法則先化簡原式，然后將，代入化簡后的式子求值即可．【詳解】解：，∵，，∴，，∴原式．19．(1)作圖見解析；(2)或．【分析】（）根據(jù)題意，確定，，的位置，然后順次連接即可；（）根據(jù)網(wǎng)格及等腰直角三角形的性質(zhì)作圖即可；此題考查了軸對稱圖形的作法及等腰三角形的定義，理解題意，結(jié)合圖形求解是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）根據(jù)題意，確定，，，的位置如圖所示，然后順次連接，∴即為所求；（2）取，連接，，∵為小正方形的對角線，∴；取，連接，，由圖得，，∴，∴點(diǎn)的坐標(biāo)為或．20．(1)(2)，(3)(4)的面積為．【分析】本題考查完全平方公式的幾何背景，掌握完全平方公式的結(jié)構(gòu)特征是解決問題的前提，用代數(shù)式表示各個部分的面積是解決問題的關(guān)鍵．（1）由拼圖可直接得出答案；（2）一方面陰影部分是邊長為的正方形，可用面積公式列代數(shù)式，另一方面陰影部分可以看作從邊長為的正方形面積中減去個長為，寬為的長方形面積即可；（3）由（2）兩種方法所表示的面積相等可得答案；（4）設(shè)，，則，，利用完全平方公式變形，計(jì)算即可．【詳解】（1）解：由拼圖可得，圖中陰影部分的正方形的邊長為，故答案為：；（2）解：方法1：陰影部分是邊長為的正方形，因此面積為，方法2：陰影部分的面積可以看作從邊長為的正方形面積減去個長，寬為的長方形面積，即；故答案為：，；（3）解：由（2）得，，故答案為：；（4）解：設(shè)，，則，∵，∴，∵，∴，∴的面積．故答案為：．21．(1)見解析(2)；；；【分析】（1）根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到，推出，證明，即可得到；（2）根據(jù)直角三角形30度角的性質(zhì)得到，再根據(jù)直角三角形斜邊中線得到，進(jìn)而證明三角形全等．【詳解】（1）證明：和都是等邊三角形，∴，，，，；（2）證明：∵，，∴，∵點(diǎn)H為的中點(diǎn)，∴，∴，，∵，∴，即，∴∵，∴，∵∴，∴與全等的所有三角形有；；；．【點(diǎn)睛】此題考查了等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形斜邊中線性質(zhì)及直角三角形30度角的性質(zhì)，熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．22．(1)每件甲種商品的進(jìn)價為元，每件乙種商品件的進(jìn)價為元；(2)商場最多購進(jìn)乙商品個．【分析】（）設(shè)每件乙種商品的進(jìn)價為元，則每件甲種商品的進(jìn)價為元，根據(jù)題意建立方程，求出其解并檢驗(yàn)即可．（）根據(jù)“使銷售兩種商品的總利潤（利潤售價進(jìn)價）不少于元”可以得出關(guān)于利潤的不等式，求出解集即可；本題考查了列分式方程解應(yīng)用題與列不等式組解實(shí)際問題的運(yùn)用，解題的關(guān)鍵是準(zhǔn)確地找出相等關(guān)系與不等關(guān)系．【詳解】（1）解：設(shè)每件乙種商品的進(jìn)價為元，則每件甲種商品的進(jìn)價為元，根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，則每件甲種商品的進(jìn)價為：，答：每件甲種商品的進(jìn)價為元，每件乙種商品件的進(jìn)價為元；（2）設(shè)購進(jìn)乙種商品個，則購進(jìn)甲種商品個，由題意得：，解得：，答：商場最多購進(jìn)乙商品個．23．(1)；(2)點(diǎn)N的坐標(biāo)為或．【分析】（1）由題意得，，，推出，，利用三角形面積公式即可求解；（2）分點(diǎn)在y軸右側(cè)時，點(diǎn)在y軸左側(cè)時，兩種情況討論，利用全等三角形的判定和性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：∵點(diǎn)A、點(diǎn)B關(guān)于x軸對稱，，∴，則，，由題意得，，則，，∴的