9.1 三角形 課件 2023-2024學(xué)年華東師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)

第9章多邊形9.1

三角形9.1.1認(rèn)識(shí)三角形第1課時(shí)

三角形的有關(guān)概念華東師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)問(wèn)題引入埃及金字塔

水分子結(jié)構(gòu)示意圖飛機(jī)機(jī)翼問(wèn)題：(1)從古埃及的金字塔到現(xiàn)代的飛機(jī)，從宏偉的建筑

物到微小的分子結(jié)構(gòu)，都有什么樣的形狀？(2)在我們的生活中有沒(méi)有這樣的形狀呢？試舉例.三角形的概念

有三條線(xiàn)段，三個(gè)角邊：線(xiàn)段

AB，BC，CA是三角形的邊.頂點(diǎn)：點(diǎn)

A，B，C是三角形的頂點(diǎn).角：∠A,∠B,∠C叫作三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱(chēng)三角形的角.問(wèn)題

1：觀察三角形的形成過(guò)程，說(shuō)一說(shuō)什么叫三角形?定義：由三條不在同一直線(xiàn)上的線(xiàn)段首尾順次連結(jié)組成的平面圖形叫作三角形.問(wèn)題

2：三角形中有幾條線(xiàn)段?有幾個(gè)角?A

B

C

記法：三角形

ABC用符號(hào)表示為_(kāi)_______.邊的表示：三角形

ABC的邊

AB、AC和

BC可用小寫(xiě)

字母分別表示為_(kāi)_______.△ABCc，b，a邊

c邊

b邊

a頂點(diǎn)

C角角角頂點(diǎn)

A頂點(diǎn)

B辨一辨：下列圖形符合三角形的定義嗎？為什么？不符合不符合不符合①

位置關(guān)系：不在同一直線(xiàn)上；②

連接方式：首尾相接.三角形應(yīng)滿(mǎn)足以下兩個(gè)條件：要點(diǎn)提醒表示方法：

三角形用符號(hào)“△”表示，如三角形

ABC

可記作“△ABC”，讀作“三角形

ABC”，此外

△ABC

還可記作

△BCA，△CAB，△ACB

等.基本要素：三角形的邊：邊

AB、BC、CA；三角形的頂點(diǎn)：頂點(diǎn)

A、B、C；三角形的內(nèi)角(簡(jiǎn)稱(chēng)為三角形的角)：∠A、∠B、∠C.特別規(guī)定：三角形

ABC中，頂點(diǎn)A所對(duì)的邊記作

a，頂點(diǎn)B所對(duì)的邊記作

b，頂點(diǎn)C所對(duì)的邊記作

c.找一找：（1）圖中有幾個(gè)三角形？用符號(hào)表示出這些三角形．

ABCDE5個(gè)，分別是△ABE，△ABC，△BCE，△BCD，△ECD.（2）以

AB為邊的三角形有哪些？△ABC，△ABE.（3）以

E為頂點(diǎn)的三角形有哪些？△ABE，△BCE，△CDE.（4）以∠D為角的三角形有哪些？△BCD，△DEC.（5）說(shuō)出

△BCD的三個(gè)角和三個(gè)頂點(diǎn)所對(duì)的邊.△BCD的三個(gè)角是∠BCD、∠D

和∠CBD.ABCDE頂點(diǎn)

B所對(duì)的邊為

DC，頂點(diǎn)

C所對(duì)的邊為

BD，頂點(diǎn)

D所對(duì)的邊為

BC.問(wèn)題

3：

如圖，把△ABC的一邊

BC延長(zhǎng)，得到

∠ACD.它與

△ABC有和聯(lián)系呢？

像這樣，三角形的一邊與另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)所組成的角，叫作三角形的外角.

對(duì)外角∠ACD來(lái)說(shuō)，∠ACB是與它相鄰的內(nèi)角，∠A，∠B是與它不相鄰的內(nèi)角.D

三角形的分類(lèi)問(wèn)題1：觀察下列三角形，說(shuō)一說(shuō)，按照三角形內(nèi)角的大小，三角形可以分為哪幾類(lèi)？銳角三角形直角三角形鈍角三角形

由圖可發(fā)現(xiàn)，在三角形中，所有角都是銳角的三角形叫銳角三角形，有一個(gè)角是直角的三角形叫直角三角形，有一個(gè)角是鈍角的三角形叫鈍角三角形.(1)等腰三角形和等邊三角形的區(qū)別是什么?(2)從邊上來(lái)說(shuō)，除了等腰三角形和等邊三角形還有

什么樣的三角形?(3)根據(jù)上面的內(nèi)容思考：怎樣對(duì)三角形進(jìn)行分類(lèi)？等腰三角形兩邊相等，等邊三角形三邊相等.三邊都不相等的三角形.問(wèn)題2：如果以三角形邊的元素的不同，三角形該如何

分類(lèi)呢？等邊三角形等腰三角形不等邊三角形（頂角（底角（底角按是否有邊相等分三角形不等邊三角形等腰三角形底和腰不相等的等腰三角形等邊三角形按內(nèi)角大小分三角形銳角三角形直角三角形鈍角三角形腰底邊三角形定義及其基本要素頂點(diǎn)、角、邊分類(lèi)按角分類(lèi)按邊分類(lèi)分類(lèi)不重不漏9.1

三角形9.1.1認(rèn)識(shí)三角形第2課時(shí)

三角形中的重要線(xiàn)段華東師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)復(fù)習(xí)回顧1.過(guò)直線(xiàn)外一點(diǎn)，畫(huà)已知直線(xiàn)的垂線(xiàn)，能畫(huà)幾條，怎么畫(huà)？只能畫(huà)一條.2.已知

△ABC

中，BC=5cm，高

AD=4cm，求

△ABC的

面積.三角形的高問(wèn)題1

什么是三角形的高？怎樣畫(huà)三角形的高？定義如圖，從△ABC的頂點(diǎn)A向它所對(duì)的邊BC所在直線(xiàn)畫(huà)垂線(xiàn)，垂足為D，所得線(xiàn)段AD叫做△ABC的邊BC上的高.問(wèn)題2

由三角形的高你能得到什么結(jié)論？∠ADB=∠ADC=90°ABCD垂足注意：標(biāo)明垂直的記號(hào)和垂足的字母.ABCDEFABCDABCDEF畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)三角形的三條高交于一點(diǎn).（1）銳角三角形的高交于三角形內(nèi)一點(diǎn)；（2）直角三角形的高交于直角的頂點(diǎn)；（3）鈍角三角形的高交于三角形外一點(diǎn).O(E,F)O畫(huà)一畫(huà)如圖，分別畫(huà)出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條高，并觀察高的交點(diǎn)有什么規(guī)律？三角形的中線(xiàn)問(wèn)題

1

如圖，如果點(diǎn)

C是線(xiàn)段

AB的中點(diǎn)，你能得到什么結(jié)論？ACBAC=BC=AB定義：如圖，連接△ABC的頂點(diǎn)

A和它所對(duì)的邊

BC的中點(diǎn)

D，所得線(xiàn)段

AD叫做△ABC的邊

BC上的中線(xiàn).問(wèn)題

2

如圖，如果點(diǎn)

D是線(xiàn)段

BC的中點(diǎn)，那么線(xiàn)段

AD就稱(chēng)為

△ABC的中線(xiàn)．類(lèi)比三角形的高的概念，試說(shuō)明什么叫三角形的中線(xiàn).ABC想一想：由三角形的中線(xiàn)能得到什么結(jié)論？BD=CD=BCD畫(huà)一畫(huà)：如圖，畫(huà)出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線(xiàn)，并觀察它們中線(xiàn)的交點(diǎn)有什么規(guī)律？畫(huà)圖發(fā)現(xiàn)

三角形的三條中線(xiàn)交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)我們稱(chēng)為三角形的重心.ABCABCABCDEFDDEFEFOOO問(wèn)題

3

如圖，在

△ABC中，AD是

△ABC的中線(xiàn)，AE是

△ABC的高．試判斷

△ABD和

△ACD的面積有什么關(guān)系，為什么？BCDEA答：相等，因?yàn)閮蓚€(gè)三角形等底同高，所以它們面積相等.問(wèn)題

4

通過(guò)問(wèn)題

3你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？答：三角形的中線(xiàn)能將三角形的面積平分.三角形的角平分線(xiàn)問(wèn)題

1

如圖，若

OC是∠AOB的平分線(xiàn)，你能得到什么結(jié)論？ACBO∠AOC=∠BOC想一想：三角形的角平分線(xiàn)與角的平分線(xiàn)相同嗎?相同點(diǎn)是：

∠ABD=∠CBD；不同點(diǎn)是：前者是線(xiàn)段，后者是射線(xiàn).問(wèn)題

2

如圖，在△ABC中，如果∠BAC的平分線(xiàn)

AD

交

BC邊于點(diǎn)

D，我們就稱(chēng)

AD

是

△ABC

的角平分線(xiàn)．類(lèi)比探索三角形的高和中線(xiàn)的過(guò)程，你能得到哪些結(jié)論？BCDA((答：三角形的三條角平分線(xiàn)交于三角形內(nèi)一點(diǎn).典例精析例1如圖，已知

AD，AE分別是

△ABC的高和中線(xiàn)，

AB=6cm，AC=8cm，BC=10cm，∠CAB=90°，試求：(1)△ABE的面積；(2)△ACE和

△ABE的周長(zhǎng)的差.ABCDE解：(1)即

AD=4.8.(2)∵AE是

△ABC的中線(xiàn)，∴BE=CE.

∴△ACE

和

△ABE的周長(zhǎng)的差

=（AC+AE+CE)-(AB+AE+BE)=AC+AE+CE-AB-AE-BE=AC-AB=8-6=2(cm)

重要發(fā)現(xiàn)

三角形中線(xiàn)

AE把原三角形分成的兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差就是

AC

與

AB

的差.ABCDE例2如圖，在△ABC中，請(qǐng)作圖

(1)畫(huà)出

△ABC的

∠C的平分線(xiàn)；

(2)畫(huà)出

△ABC的邊

AC上的中線(xiàn)；

(3)畫(huà)出

△ABC的邊

BC上的高.ABCDEF答：如圖，CF是一條角平

分線(xiàn)；BE是

AC邊上的中線(xiàn)；AD是邊

BC上的高.

畫(huà)高要標(biāo)明垂直符號(hào).三角形的角平分線(xiàn)，中線(xiàn)及高都要畫(huà)成線(xiàn)段.注意1.下列各組圖形，哪一組圖形中

AD是△ABC的

BC邊上的高(

)ADCBABCDABCDABCDABCDD解：∵

CD是△ABC

的中線(xiàn)，

∴

BD=AD.

∵

BC-

AC=5cm，

∴△DBC與△ADC的周長(zhǎng)差是

5cm.

又∵△DBC

的周長(zhǎng)為

25cm，

∴△ADC的周長(zhǎng)為

25-

5=20(cm).2.如圖，在△ABC中，CD是中線(xiàn)，已知

BC-

AC=5cm，

△DBC

的周長(zhǎng)為

25cm，求△ADC的周長(zhǎng).ADBC3.如圖是一張三角形紙片，請(qǐng)你動(dòng)手畫(huà)出它的BC邊上的中線(xiàn)，BC邊上的高，∠A

的平分線(xiàn).ABCD

AD為中線(xiàn)（BD=DC）E

AE為高（AE⊥BC）))AF

為∠A的平分線(xiàn)（∠BAF=∠CAF）F能力提升：王大爺有一塊三角形的菜地，現(xiàn)在要將它們平均分給四個(gè)兒子，在菜地的一角

A

處有一口池塘，為了使分開(kāi)后的四塊菜地都能就近取水，王大爺為此很傷腦筋.你能想出什么辦法幫幫王大爺嗎？如果不考慮水源，你認(rèn)為還可以怎樣分?A（思路提示：想到三角形的中線(xiàn)能把三角形分成面積相等的兩部分.）三角形的重要線(xiàn)段高鈍角三角形兩短邊上的高的畫(huà)法中線(xiàn)會(huì)把原三角形的面積平分一邊上的中線(xiàn)把原三角形分成兩個(gè)三角形，這兩個(gè)三角形的周長(zhǎng)差等于原三角形其余兩邊的差角平分線(xiàn)是線(xiàn)段，不是射線(xiàn)9.1

三角形9.1.2

三角形的內(nèi)角和與外角和華東師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)將三角形紙片分別按下面兩種方法進(jìn)行折疊、剪拼等操作，你能發(fā)現(xiàn)什么？

折疊三角形紙板，可以把它的三個(gè)角拼成一個(gè)角.可以將∠A，∠B剪下并移至頂點(diǎn)

C處拼接成一個(gè)角.ABC三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)平角.觀察與思考三角形的內(nèi)角和

如圖，經(jīng)過(guò)

△ABC

一頂點(diǎn)

A

作直線(xiàn)

B'C'，使得

B'C'∥BC.則

，所以

∠B+∠BAC+∠C=180°.又觀測(cè)的結(jié)果不一定可靠，還需要通過(guò)數(shù)學(xué)知識(shí)來(lái)說(shuō)明.由此得到：

三角形的內(nèi)角和等于180°.你還能想出其它的方法推出這個(gè)結(jié)論嗎？思考：多種方法證明三角形內(nèi)角和等于180°

的核心是什么？借助的平行線(xiàn)“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化到一個(gè)平角上.CAB12345lACB12345lP6mABCDE例1

在

△ABC

中，∠A

的度數(shù)是

∠B

的度數(shù)的3倍，∠C

比

∠B

大15°，求

∠A，∠B，∠C的度數(shù).解:設(shè)

∠B為

x°，則

∠A為(3x)°，∠C為(x＋

15)°，從而有3x＋

x＋(x＋

15)＝

180.解得x＝

33.所以3x＝

99

，x＋

15

＝

48.答：∠A，∠B，∠C的度數(shù)分別為99°，33°，48°.幾何問(wèn)題借助方程來(lái)解.這是一個(gè)重要的數(shù)學(xué)思想.典例精析例2

如圖，在△ABC中，∠BAC=40°，∠B=75°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，求∠ADB的度數(shù).ABCD解：由∠BAC=40°，AD是△ABC的角平分線(xiàn)，得∠BAD=∠BAC=20°.在△ABD中，∠ADB=180°-

∠B

-

∠BAD=180°-75°-

20°=85°.問(wèn)題1：如圖，在直角△ABC

中，∠C

=90°，兩銳角的和等于多少呢？在直角△ABC

中，∠C

=

90°，

由三角形內(nèi)角和定理，得∠A+∠B+

∠C

=180°，故∠A+∠B

=

90°.思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？直角三角形的內(nèi)角性質(zhì)ABC直角三角形的兩個(gè)銳角互余．應(yīng)用格式：在

Rt△ABC

中，∵∠C=90°，∴∠A+∠B=90°．直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形

ABC

可以寫(xiě)成

Rt△ABC．總結(jié)歸納例

3

如圖，∠C=∠D=90°，AD，BC相交于點(diǎn)

E.∠CAE與

∠DBE有什么關(guān)系？為什么？ABCDE在

Rt△ACE中，∠CAE=90°-∠AEC.在

Rt△BDE中，∠DBE=90°-∠BED.∵∠AEC=∠BED，∴∠CAE=∠DBE.解：∠CAE=∠DBE.理由如下：三角形的外角的性質(zhì)問(wèn)題

1

在圖中，外角∠ACD與它不相鄰的內(nèi)角∠A，∠B之間有什么大小關(guān)系？

我覺(jué)得可以利用“三角形的內(nèi)角和等于180°”的結(jié)論.1.三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.因?yàn)椤螦CD+∠ACB=180°，

∠A+∠B+∠ACB=180°，所以∠ACD

-

∠A

-

∠B=0（等量減等量，差相等）于是∠ACD=∠A+∠B.由此得到：2.三角形的一個(gè)外角大于任何一個(gè)不相鄰的內(nèi)角.如圖，∠CAD=100°，∠B=30°，求∠C的度數(shù).解：因?yàn)椤螧+∠C=∠CAD，所以∠C=∠CAD

-

∠B，

所以∠C=100°

-

30°=70°.做一做解：由三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和，得∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2.又知∠1+∠2+∠3=180°，所以∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.問(wèn)題2

如圖，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC的三個(gè)外角，它們的和是多少？ABCEFD((((((213你還有其他解法嗎？解法二：如圖，∠BAE+∠1=180°①，

∠CBF+∠2=180°②，∠ACD+∠3=180°③，又知∠1

+∠2

+∠3=180°，①+②+③得∠BAE

+∠CBF

+∠ACD+(∠1

+∠2

+∠3)=540°，所以∠BAE

+∠CBF

+∠ACD=540°-180°=360°.ABCEFD((((((213要點(diǎn)歸納三角形的外角和等于

360°.ABCEFD((((((213∠BAE+∠CBF+∠ACD=2(∠1+∠2+∠3)=360°.典例精析例4

(一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).ABCD(((51°20°30°思路點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線(xiàn)將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.解法一：連接

AD并延長(zhǎng)到點(diǎn)

E.在△ABD中，∠1+∠B=∠3，在△ACD中，∠2+∠C=∠4.∵∠BDC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，∴∠BDC=∠BAC+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD((20°30°E

))12)3)4你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？解法二：延長(zhǎng)

BD交

AC于點(diǎn)

E.在△ABE中，∠1=∠B+∠A，在△ECD中，∠BDC=∠1+∠C.∴∠BDC=∠A+∠B+∠C

=51°

+20°

+30°

=101°.ABCD(((51°20°30°E

)1解法三：連接

CD并延長(zhǎng)交

AB于

F(解題過(guò)程同解法二).)2F

解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形，利用三角形外角的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來(lái)求解.總結(jié)ABCD(((132(重要發(fā)現(xiàn)：∠BDC=∠1+∠2+∠3.三角形的內(nèi)角和定理證明了解添加輔助線(xiàn)的方法及其目的內(nèi)容三角形內(nèi)角和等于

180°三角形的外角定義角一邊必須是三角形的一邊，另一邊必須是三角形另一邊的延長(zhǎng)線(xiàn)性質(zhì)推論1：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和三角形的外角和三角形的外角和等于

360°推論2：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角9.1

三角形9.1.3

三角形的三邊關(guān)系華東師大版數(shù)學(xué)七年級(jí)下冊(cè)觀察與思考我要到學(xué)校怎么走呀？哪一條路最近呀？為什么？郵局學(xué)校商店小明家小明合作探究三角形的三邊關(guān)系A(chǔ)BC路線(xiàn)1：從

A到

C再到

B的路線(xiàn)走；路線(xiàn)2：沿線(xiàn)