項(xiàng)目公示信息

項(xiàng)目公示信息項(xiàng)目名稱：三類非線性橢圓和拋物方程奇異解的漸近性態(tài)與穩(wěn)定性分析完成單位：西安交通大學(xué)，西安科技大學(xué)完成人：張正策，王彪項(xiàng)目簡(jiǎn)介：隨著現(xiàn)代科學(xué)技術(shù)的快速發(fā)展，在許多應(yīng)用學(xué)科和實(shí)際問題的研究中產(chǎn)生了大量的非線性偏微分方程，例如，它們被用來描述物理、化學(xué)、生物及經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域的非線性現(xiàn)象。在偏微分方程理論及其應(yīng)用問題的研究中，解的定性分析一直是其最為活躍的研究課題之一，半個(gè)多世紀(jì)以來，吸引了眾多數(shù)學(xué)家的關(guān)注，但目前仍有很多具有挑戰(zhàn)性的問題困惑著大家。近年來，由于在數(shù)學(xué)理論上存在著各自不同的本質(zhì)性困難，比如，奇異解的漸近行為和一些非自相似性質(zhì)等，引起了大家極大的興趣。本項(xiàng)目歷時(shí)近十年，對(duì)一類半線性橢圓型方程和兩類含非線性梯度的拋物型方程奇異解、梯度爆破解和全局解的漸近性態(tài)與穩(wěn)定性進(jìn)行了系統(tǒng)的研究。該問題分別源自天體物理學(xué)中星球運(yùn)動(dòng)模型和物理力學(xué)中礦藏的表面增長(zhǎng)、蒸汽沉積，以及鋁合金等金屬的薄膜成形研究。圍繞數(shù)學(xué)理論上的若干難點(diǎn)問題開展，主要進(jìn)行理論分析，研究了奇異解和梯度爆破解精確的漸近性態(tài)，研究了全局解、熄滅解、最大模爆破解和梯度爆破解的完整分類，研究了全局解或奇異解的大時(shí)間收斂性，深入地探討了算子、反應(yīng)項(xiàng)梯度和指數(shù)、以及初值，對(duì)解的漸近性態(tài)的影響。項(xiàng)目研究具有較高的數(shù)學(xué)理論價(jià)值，相關(guān)課題的研究也是目前反應(yīng)擴(kuò)散或非線性發(fā)展方程研究領(lǐng)域中前沿和熱門的研究課題，項(xiàng)目取得了一系列深刻的研究成果，形成了一套較為系統(tǒng)和有效的理論和方法。主要的研究成果有：1.得到了Matukuma方程高維徑向奇異正解精確的漸近展開式。研究一類半線性橢圓型Matukuma方程奇異正解的漸近行為，該問題與幾何中著名的Yamabe問題相關(guān)，超臨界情況的正解結(jié)構(gòu)異常復(fù)雜，我們利用相平面分析和漸近展開，把高維徑向奇異解精確地分解成正則和奇異兩部分。為全空間及外區(qū)域上正則與奇異解的不存在性與存在性，提供了清晰的理論依據(jù)。2. 證明了梯度爆破解精確的時(shí)間漸近行為估計(jì)。研究一類非線性反應(yīng)項(xiàng)含梯度的半線性粘性Hamilton-Jacobi方程梯度爆破解的漸近行為。這類方程又出現(xiàn)在物理力學(xué)研究中，為了刻畫礦藏的表面增長(zhǎng)、蒸汽沉積，以及鋁合金等金屬的薄膜成形而提出和建立的數(shù)學(xué)模型。例如，著名的含隨機(jī)干擾項(xiàng)的Kardar‐Parisi‐Zhang方程。特別地，2014年菲爾茲獎(jiǎng)獲得者M(jìn)artinHairer，在隨機(jī)偏微分方程理論方面作出了杰出貢獻(xiàn)，對(duì)KPZ建立了一套正則性結(jié)構(gòu)理論，主要成果相繼發(fā)表在純數(shù)學(xué)四大期刊的AnnalsMath（2013）和InventionMath（2014）.不僅開啟了許多新的純數(shù)學(xué)方向，也對(duì)科學(xué)和工程中的應(yīng)用有重大意義，從而使得對(duì)該方程的研究變得更加重要。由于方法和技術(shù)上的困難，在研究梯度爆破解的性質(zhì)時(shí)，適用于最大模爆破的一些方法往往不能應(yīng)用。本人與美國圣母大學(xué)的HuBei教授合作，利用新的技巧，通過Rescaling方法和巧妙地構(gòu)造輔助函數(shù)，首次發(fā)現(xiàn)并證明了指數(shù)型梯度反應(yīng)項(xiàng)的方程，梯度爆破率也比自相似解的爆破率快，給出了漸近行為估計(jì)，并對(duì)大時(shí)間行為進(jìn)行完整地分類。目前的研究成果，完善了關(guān)于非自相似梯度爆破率近20年的Open問題。3.首次證明了一類擬線性退化拋物方程徑向整體解的一個(gè)最優(yōu)的Liouville定理。研究一類用來描述在非線性介質(zhì)中傳熱，或用來描述氫彈在空氣中爆炸后熱量傳播的一般熱傳導(dǎo)方程。由于算子的非線性和退化或奇異性困難，在過去的二十多年里，關(guān)于此方程的研究主要集中在弱解的正則性方面，而弱解的定性研究成果遠(yuǎn)不如半線性方程豐富。我們利用新的相交比較原理，首次證明了此類退化方程徑向整體解的一個(gè)最優(yōu)的Liouville定理（成功地把上個(gè)世紀(jì)90年代的Fujita指標(biāo)結(jié)果推廣到Sobolev指標(biāo)），并利用新的Doubling方法（完全避免傳統(tǒng)的能量積分方法），繼而證明解關(guān)于先驗(yàn)界、時(shí)間衰減和爆破率的一致估計(jì)，并證明了自相似爆破關(guān)于徑向初值擾動(dòng)的穩(wěn)定性。4.首次對(duì)高維擬線性拋物方程的有限時(shí)間最大模爆破解、梯度爆破解和全局解進(jìn)行了完整的分類。研究非線性梯度項(xiàng)和超線性函數(shù)項(xiàng)異號(hào)競(jìng)爭(zhēng)的p-Laplace拋物方程，分析了在不同的指數(shù)范圍和初值條件下，全局解、最大模爆破和有限時(shí)間梯度爆破存在的充分條件。進(jìn)而，研究非線性梯度項(xiàng)和超線性函數(shù)項(xiàng)同號(hào)作用或異號(hào)競(jìng)爭(zhēng)的p-Laplace拋物方程，在不同的指數(shù)范圍和初值條件下，首次對(duì)全局解、最大模爆破和梯度爆破解進(jìn)行了完整的分類。此外，首次得到了一維情形擬線性方程的梯度爆破率上下界估計(jì)。5.研究生物種群、腫瘤生長(zhǎng)與信用等級(jí)遷移的自由邊值問題，解的分歧、穩(wěn)定性與有限差分格式的收斂速率。對(duì)Rabin邊值條件下的血管再生腫瘤模型的自由邊值問題，分析和證明了徑向?qū)ΨQ定常解關(guān)于腫瘤細(xì)胞繁殖率參數(shù)序列的分歧結(jié)果。對(duì)更復(fù)雜的捕食與被捕食模型非均勻資源環(huán)境情況，證明了穩(wěn)態(tài)正解關(guān)于擴(kuò)散系數(shù)與半平凡穩(wěn)態(tài)解的分歧與穩(wěn)定性。對(duì)實(shí)際問題給出了嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論證明。項(xiàng)目成果在國際知名期刊發(fā)表論文31篇，其中SCI收錄28篇；15篇代表作在WebofScience中被他引59次。主要成果被美國、英國、法國等多個(gè)國家和地區(qū)的70余名學(xué)者進(jìn)行了引用，包括Trans.AMS,JDE，Nonlinearity,NonlinearAnal等具有國際影響力的期刊。培養(yǎng)2名博士生和8名碩士生畢業(yè)。主要知識(shí)產(chǎn)權(quán)目錄(15篇代表作及專利、計(jì)算機(jī)軟件著作權(quán)等)：

主要論文專著目錄（限15條）序號(hào)論文專著名稱刊名作者年卷頁碼（xx年xx卷xx頁）發(fā)表時(shí)間通訊作者第一作者1GradientblowuprateforasemilinearparabolicequationDiscreteContin.Dyn.Syst.Ser.AZhang,Zhengce;Hu,Bei26(2010),no.2,767–7792010.2ZhangZhengceeceZhangZhengce2RateestimatesofgradientblowupforaheatequationwithexponentialnonlinearityNonlinearAnal.Zhang,Zhengce;Hu,Bei72(2010),no.12,4594–46012010.3ZhangZhengceZhangZhengce3AnoptimalLiouville-typetheoremofthequasilinearparabolicequationwithap-LaplaceoperatorNonlinearAnal.Zhang,Zhengce;Li,Zhenjie74(2011),no.16,5735–57442011.6ZhangZhengceZhangZhengce4Auniversalboundforradialsolutionsofthequasilinearparabolicequationwithp-LaplaceoperatorJ.Math.Anal.Appl.Zhang,Zhengce;Li,Zhenjie385(2012),no.1,125–1342011.6ZhangZhengceZhangZhengce5TheradialpositivesolutionsoftheMatukumaequationinhigherdimensionalspace:singularsolutionJ.DifferentialEquationsWang,Biao;Zhang,Zhengce;Li,Yi253(2012),no.12,3232–32652012.9LiYiWangBiao6Stabilityofblowupforaparabolicp-LaplaceequationwithnonlinearsourceZ.Angew.Math.Phys.Zhang,Zhengce;Chen,Shuang64(2013),no.3,483–4912012.7ZhangZhengceZhangZhengce7BlowupandexistenceofglobalsolutionstononlinearparabolicequationswithdegeneratediffusionElectron.J.DifferentialEquationsZhang,Zhengce;Li,Yan2013,No.264,17pp2013.11ZhangZhengceZhangZhengce8GlobalexistenceandgradientblowupofsolutionsforasemilinearparabolicequationwithexponentialsourceDiscreteContin.Dyn.Syst.Ser.BZhang,Zhengce;Li,Yan19(2014),no.9,3019–30292014.11ZhangZhengceZhangZhengce9Classificationofblowupsolutionsforaparabolicp-LaplacianequationwithnonlineargradienttermsequationJ.Math.Anal.Appl.Zhang,Zhengce;Li,Yan436(2016),no.2,1266–12832015.12ZhangZhengceZhangZhengce10Bifurcationforafree-boundarytumormodelwithangiogenesisNonlinearAnal.RealWorldAppl.Huang,Yaodan;Zhang,Zhengce;Hu,Bei35(2017),483–5022016.12ZhangZhengceHuangYaodan11Bifurcationanalysisofadiffusivepredator-preymodelinspatiallyheterogeneousenvironmentElectron.J.Qual.TheoryDiffer.Equ.Wang,Biao;Zhang,Zhengce2017,PaperNo.42,17pp2017.5ZhangZhengceWangBiao12ClassificationofcertainqualitativepropertiesofsolutionsforthequasilinearparabolicequationsSci.ChinaMath.Li,Yan;Zhang,Zhengce;Zhu,Liping61(2018),no.5,855–8682018.1ZhangZhengceLiYan13AsymptoticbehaviorofpositivesolutionsoftheHénonequationRockyMountainJ.Math.Wang,Biao;Zhang,Zhengce48(2018),no.8,2717–27492018.3ZhangZhengceWangBiao14Singleblowuppointforasemilinearreaction-diffusionsystemMath.Nachr.Zhang,Zhengce;Huang,Yaodan291(2018),no.17-18,2709–27222018.5ZhangZhengceZ