僅洛倫茲力作用下的臨界問題2021-2022學(xué)年高二物理上學(xué)期必考題精準(zhǔn)練解析版

必考點20僅洛倫茲力作用下的臨界問題

經(jīng)典必考題

題型一旋轉(zhuǎn)圓模型

例題1如圖，虛線所示的圓形區(qū)域內(nèi)存在一垂直于紙面的勻強(qiáng)磁場，p為磁場邊界上的一點，大量相同的

帶電粒子以相同的速率經(jīng)過p點，在紙面內(nèi)沿不同的方向射入磁場，若粒子射入速率為。I,這些粒子在磁

場邊界的出射點分布在六分之一圓周上；若粒子射入速率為力，相應(yīng)的出射點分布在三分之一圓周上.不

計重力及帶電粒子之間的相互作用，則。2：磯為（）

--、

；

4、/

、/

、、、，，Z

A.73:2B，V2：1

C.V3：1D.3：也

答案C

解析根據(jù)作圖分析可知，當(dāng)粒子在磁場中運(yùn)動半個圓周時，打到圓形磁場邊界的位置距P點最遠(yuǎn)，則當(dāng)

粒子射入的速率為小，軌跡如圖甲所示，設(shè)圓形磁場半徑為R,由幾何知識可知，粒子運(yùn)動的軌道半徑為

n=/?cos60°=》?；若粒子射入的速率為s,軌跡如圖乙所示，由幾何知識可知，粒子運(yùn)動的軌道半徑為12

=RCOS30°=WK；根據(jù)軌道半徑公式r=嗎可知，。2：。|=「2：八=?。?,故選項C正確.

Zgov

例題2如圖所示，MN的右側(cè)存在范圍足夠大、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直紙面向里,

MN右側(cè)到MN的距離為乙的。處有一個粒子源，可沿紙面內(nèi)各個方向射出質(zhì)量為瓶、電荷量為q的帶正

電粒子（不計重力及粒子間的相互作用），速度均為嚕，則粒子在磁場中運(yùn)動的最短時間為（）

；M

；XXXX

!xxxx

!.O

；XXXX

'XXXX

N

?！?nTim八Tim—ntn

A礪B.痛C.謙D.硒

答案B

解析由于所以粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為r=花=乙，粒子在磁場中運(yùn)動時間最短，對應(yīng)的弧長

最短、弦長最短，由幾何關(guān)系得，當(dāng)弦長等于L時最短,此時弦切角為30。，圓心角為60。，運(yùn)動的最短時

L、L60°f1、,2兀6itm2c一生

間為Un=360O7=6X~qB~=3qB9故B正角.

M

XXXX

N

【解題技巧提煉】

粒子源發(fā)射速度大小一定、方向不同的帶電粒子進(jìn)入勻

強(qiáng)磁場時，它們在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，

若入射初速度大小為。o,則圓周運(yùn)動軌跡半徑為R=簿，

速度大小

一定，方向

如圖所示

不同

適

用

P

條如圖，帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在以入

件

射點P為圓心、半徑R—號的圓上

qB

軌跡圓圓XXxx

XX/XX。X\XX

心共圓

XxVX

XXX？XXX

界定將一半徑為R=翳的圓以入射點為圓心進(jìn)行旋轉(zhuǎn)，從而探索出臨界條

方法

件，這種方法稱為“旋轉(zhuǎn)圓”法

題型二放縮圓模型

例題3—勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,方向垂直于紙面向外，其邊界如圖中虛線所示，ab為半圓，m

bd與直徑ah共線，ac間的距離等于半圓的半徑.一束質(zhì)量為〃人電荷量為式q＞0）的粒子，在紙面內(nèi)從c

點垂直于a射入磁場，這些粒子具有各種速率.不計粒子之間的相互作用.在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子,

其運(yùn)動時間為（）

，6qB4qB*3qB，2qB

答案c

解析粒子在磁場中運(yùn)動的時間與速度大小無關(guān)，由在磁場中的運(yùn)動軌跡對應(yīng)的圓心角決定.設(shè)軌跡交半

圓〃〃于e點，ce中垂線交歷于。點，則。點為軌跡圓心，如圖所示.圓心角，=n+2"，當(dāng)￡最大時，0

有最大值，由幾何知識分析可知，當(dāng)ce與出?相切時，/最大，此時￡=30°,可得6=?兀，則「=（7=瑞^，

故選C.

例題4如圖所示，等腰直角三角形〃歷區(qū)域存在方向垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.三個

相同的帶電粒子從人點沿程方向分別以速度5、。2、。3射入磁場，在磁場中運(yùn)動的時間分別為小dh,

且n：打："=3:3：1.直角邊be的長度為L,不計粒子的重力及粒子間的相互作用，下列說法正確的是

A.三個速度的大小關(guān)系一定是

B.三個速度的大小關(guān)系可能是。2＜切＜。3

c.粒子的比械=就

D.粒子的比荷占=器

mDL

答案B

解析由于n：?2：.3=3：3：1,作出粒子運(yùn)動軌跡圖如圖所示，它們對應(yīng)的圓心角分別為90。、90。、30°,

由幾何關(guān)系可知軌道半徑大小分別為自＜&,R\＜Ry=2L,由于5、。2大小關(guān)系未知，凡、&大小無法確定，

由qvB=r看得?？芍齻€速度的大小關(guān)系可能是。2＜。1＜仍，故A錯誤，B正確；粒子運(yùn)動周期7

=等=鬻，則"=*翡解得*嬴故C錯誤；由眄*族及&=2L,解得粒子的比荷4嬴

故D錯誤.

【解題技巧提煉】

粒子源發(fā)射速度方向一定，大小不同的帶電粒子

速度方向一定，

進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時，這些帶電粒子在磁場中做勻速

大小不同

圓周運(yùn)動的軌跡半徑隨速度的變化而變化

如圖所不（圖中只回出粒子帶正電的情景），速度。

適

越大，運(yùn)動半徑也越大.可以發(fā)現(xiàn)這些帶電粒子

用

射入磁場后，它們運(yùn)動軌跡的圓心在垂直初速度

條

方向的直線PP'上

件軌跡圓圓心共線

XXXXXX

P'

X""""X

x/xx

缺法

XXXXXX

界定以入射點尸為定點，圓心位于PP'直線上，將半徑放縮作軌跡圓，

方法從而探索出臨界條件，這種方法稱為“放縮圓”法

題型三磁聚焦模型

例題5（多選）如圖所示，紙面內(nèi)有寬為L、水平向右飛行的帶電粒子流，粒子質(zhì)量為加、電荷量為一外速

率為加，不考慮粒子的重力及粒子間的相互作用，要使粒子都會聚到一點，可以在粒子流的右側(cè)虛線框內(nèi)

設(shè)計一勻強(qiáng)磁場區(qū)域，則磁場區(qū)域的形狀及對應(yīng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度可以是下列選項中的（其中Bo=^,A、C、

qL

D選項中曲線均為半徑為乙的;圓弧，B選項中曲線為半徑為|的圓）（）

L

帶電粒子流

B=B08=2&

AB

B=B“B=2B”

D

答案AB

例題6（多選）如圖所示，長方形abed的長“4=0.6m,寬ab=0.3m,0、e分別是ad、be的中點，以e為

圓心，eh為半徑的圓弧和以。為圓心，?！睘榘霃降膱A弧組成的區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場（M邊界上無磁

場），磁感應(yīng)強(qiáng)度8=0.25T.一群不計重力、質(zhì)量,“=3X1。-7kg、電荷量q=2X1（PC的帶正電粒子以速度。=

5X102m/s沿垂直于ad且垂直于磁場方向射入磁場區(qū)域，粒子間的相互作用不計，則下列判斷正確的是

)

A.從。4邊射入的粒子,出射點全部分布在浦邊

B.從aO邊射入的粒子,出射時全部通過b點

C.從。d邊射入的粒子,出射時全部通過人點

D.從“0邊射入的粒子,出射點分布在外邊

答案BC

解析粒子進(jìn)入磁場后做勻速圓周運(yùn)動，根據(jù)洛倫茲力提供向心力，得到：r=u=0.3m,因aZ>=0.3m,

qB

從?！ㄟ吷淙氲牧Ｗ樱纬梢詒為半徑的圓弧，從點。射入的粒子從人點射出：從Od之間射入的粒子，因

邊界上無磁場，粒子到達(dá)be后應(yīng)做直線運(yùn)動，即全部通過〃點，故A錯誤，C正確；從a。邊射入的粒子

先做一段時間的直線運(yùn)動，設(shè)某一個粒子在M點進(jìn)入磁場，其圓心為0',如圖所示，根據(jù)幾何關(guān)系可得:

虛線的四邊形O'是菱形，則粒子的出射點一定是從點射出.同理可知，從a。邊射入的粒子，出射

時全部從〃點射出，即“磁聚焦”，故B正確，D錯誤.

O'

【解題技巧提煉】

1.帶電粒子的會聚

如圖甲所示，大量的同種帶正電的粒子，速度大小相同，平行入射到圓形磁場區(qū)域，如果軌跡圓半徑與磁場圓

半徑相等（R=r）,則所有的帶電粒子將從磁場圓的最低點B點射出.（會聚）

證明：四邊形0A。'8為菱形，必是平行四邊形，對邊平行，08必平行于A。'（即豎直方向），可知從A

點發(fā)出的帶電粒子必然經(jīng)過B點.

2.帶電粒子的發(fā)散

如圖乙所示，有界圓形磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B,圓心為。，從P點有大量質(zhì)量為〃八電荷量為q的正粒子,

以大小相等的速度P沿不同方向射入有界磁場，不計粒子的重力，如果正粒子軌跡圓半徑與有界圓形磁場

半徑相等，則所有粒子射出磁場的方向平行.（發(fā)散）

證明：所有粒子運(yùn)動軌跡的圓心與有界圓圓心0、入射點、出射點的連線為菱形，也是平行四邊形，0兇（。28、

。3。均平行于P0,即出射速度方向相同（即水平方向）.

題型四平移圓模型

例題7（多選）如圖所示，在I、【I兩個區(qū)域內(nèi)存在磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B的勻強(qiáng)磁場，磁場方向分別垂直于

紙面向外和向里，A。、AC邊界的夾角/D4C=30。，邊界4c與邊界MN平行，II區(qū)域?qū)挾葹?.質(zhì)量為辦

電荷量為+4的粒子可在邊界AQ上的不同點射入，入射速度垂直AD且垂直磁場，若入射速度大小為嚕,

不計粒子重力，則（）

自0°?,?

+D

A.粒子在磁場中的運(yùn)動半徑為苧

B.粒子在距A點0.5d處射入，不會進(jìn)入II區(qū)域

C.粒子在距4點1.54處射入，在I區(qū)內(nèi)運(yùn)動的時間為歿

D.能夠進(jìn)入n區(qū)域的粒子，在n區(qū)域內(nèi)運(yùn)動的最短時間為笑

JC[L)

答案CD

解析帶電粒子在磁場中的運(yùn)動半徑，=券=乩選項A錯誤；設(shè)從某處E進(jìn)入磁場的粒子，其軌跡恰好與

qB

AC相切(如圖所示)，則E點距A點的距離為2d-d=d,粒子在距A點0.5d處射入，會進(jìn)入H區(qū)域，選項B

錯誤；粒子在距4點1.51處射入，不會進(jìn)入H區(qū)域，在I區(qū)域內(nèi)的軌跡為半圓，運(yùn)動的時間為/=,=翳，

選項C正確；進(jìn)入II區(qū)域的粒子，弦長最短的運(yùn)動時間最短，且最短弦長為d,對應(yīng)圓心南為60。，最短時

間為fmin=(=魏，選項D正確.

【解題技巧提煉】

粒子源發(fā)射速度大小、方向一定，入射點不同

速度大小一但在同一直線上的帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場時，

定，方向一它們做勻速圓周運(yùn)動的半徑相同，若入射速度

適

定，但入射點

大小為V0,則半徑R—如圖所示

用

在同一直線

條XXXXXXX

上

件xt/xyxx\x

III

軌跡圓圓心帶電粒子在磁場中做勻速圓周運(yùn)動的圓心在

共線同一直線上，該直線與入射點的連線平行

界定將半徑為的圓進(jìn)行平移，從而探索粒子的臨界條件，

方法

這種方法叫“平移圓”法

對點變式練

題型一旋轉(zhuǎn)圓模型

1、如圖所示，平行邊界MN、PQ間有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,兩邊界的間

距為4,MN上有一粒子源4,可在紙面內(nèi)沿各個方向向磁場中射入質(zhì)量均為根、電荷量均為+q的粒子，

粒子射入磁場的速度大小。=鬻，不計粒子的重力及粒子間的相互作用，則粒子能從PQ邊界射出的區(qū)域

長度與能從MN邊界射出的區(qū)域長度之比為（）

A.1：1B.2：3C.小:2D.?。?

答案C

niTrmv2

解析粒子在磁場中運(yùn)動時，Bqv=~~^~,粒子運(yùn)動軌跡半徑R=k=wd;由左手定則可得，粒子沿逆時針

KDCJJ

方向偏轉(zhuǎn)，做勻速圓周運(yùn)動；粒子沿AN方向進(jìn)入磁場時，到達(dá)PQ邊界的最下端，距A點的豎直距離心

22

R-（d-R）=^-d;運(yùn)動軌跡與PQ相切時，切點為到達(dá)PQ邊界的最上端，距A點的豎直距離L2=

R2-（d-R）2=^d,所以粒子在PQ邊界射出的區(qū)域長度為乙=心+心=羋</,因為R<d,所以粒子在MN

邊界射出區(qū)域的長度為L'=2R=gd,故兩區(qū)域長度之比為L：L'=斗斗：》=5：2,故C正確，A、B、

D錯誤.

"X,

XX

XX

2.如圖所示，半徑為r的圓形區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為8,磁場邊界上A點有

一粒子源，源源不斷地向磁場發(fā)射各種方向（均平行于紙面）且速度大小相等的帶正電的粒子（重力及粒子間

的相互作用不計），已知粒子的比荷為后，速度大小為.則粒子在磁場中運(yùn)動的最長時間為（）

X/IXX

XXXX

XXXX

Tl元兀

B麗C.旃D.而

答案C

解析粒子在磁場中運(yùn)動的半徑為/?=吟=^^=2/；如圖所示，當(dāng)粒子在磁場中運(yùn)動時間最長時，其軌跡

qnDK

TTimIT

對應(yīng)的圓心角最大，此時弦長最大，其最大值為磁場圓的直徑2乙故，=工=丁5=!7萬，故選C.

0jqt>5KD

題型二放縮圓模型

3、真空中有一勻強(qiáng)磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行,

其橫截面如圖所示.一速率為。的電子從圓心沿半徑方向進(jìn)入磁場.已知電子質(zhì)量為〃?，電荷量為e,忽略

重力.為使該電子的運(yùn)動被限制在圖中實線圓圍成的區(qū)域內(nèi)，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度最小為（）

3mvmv3mv3mv

A.7；-B.—C.-;-D，7-

2aeae4aejae

答案c

解析磁感應(yīng)強(qiáng)度取最小值時對應(yīng)的臨界狀態(tài)如圖所示，設(shè)電子在磁場中做圓周運(yùn)動的半徑為r,由幾何關(guān)

系得用+戶=（3〃一力2,根據(jù)牛頓第二定律和圓周運(yùn)動知識得聯(lián)立解得8=舞，故選C.

4.如圖所示，在一等腰直角三角形AC。區(qū)域內(nèi)有垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B.一

質(zhì)量為加、電荷量為4的帶正電粒子（重力不計）以速度。從AC邊的中點。垂直AC邊射入磁場區(qū)域.若三

角形的兩直角邊長均為2L,要使粒子從CQ邊射出，則。的取值范圍為（）

@2yf2qBL

A.—WoW

mmmm

H」（巾+l）qBL_qBL__5qBL

D.\—〈忘U—

2mm2m2m

答案c

解析根據(jù)洛倫茲力充當(dāng)向心力可知，。=等，因此半徑越大，速度越大；根據(jù)幾何關(guān)系可知，使粒子軌

跡與AQ邊相切時速度最大，如圖，則有AO'-sin45。=。'E,

即（R+L）sin45°=/?,

解得滿足題目要求的最大半徑為/?=（A/2+1）L,

故最大速度為。=（娘：：）'/孔：當(dāng)粒子從C點出射時，滿足題目要求的半徑最小，為r2=?，故最小速度應(yīng)

為則o的取值范圍為故C正確，A、B、D錯誤.

題型四磁聚焦模型

5、（多選）如圖所示，半徑為R、磁感應(yīng)強(qiáng)度為8的圓形勻強(qiáng)磁場，MN是一豎直放置的足夠長的感光板.大

量相同的帶正電粒子從圓形磁場最高點P以速率v沿不同方向垂直磁場方向射入，不考慮速度沿圓形磁場

切線方向入射的粒子.粒子質(zhì)量為，小電荷量為“，不考慮粒子間的相互作用力和粒子的重力.關(guān)于這些粒

子的運(yùn)動，以下說法正確的是（）

\/Z

7-“

NZ

A.對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的時間越短

B.對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中通過的時間越長

C.若粒子速度大小均為。=簪，出射后均可垂直打在MN上

D.若粒子速度大小均為。=誓，則粒子在磁場中的運(yùn)動時間一定小嚼

答案ACD

解析對著圓心入射的粒子，速度越大在磁場中做圓周運(yùn)動的軌跡半徑越大，弧長越長，軌跡對應(yīng)的圓心

角越小，由，=&丁=得可知，運(yùn)動時間越短，故選項A正確，B錯誤.粒子速度大小均為時，根據(jù)

洛倫茲力提供向心力可得粒子的軌跡半徑為：/?=癡=凡根據(jù)幾何關(guān)系可知，入射點P、O、出射點與軌跡

的圓心的連線構(gòu)成菱形，射出磁場時的軌跡半徑與P0平行，故粒子射出磁場時的速度方向與MN垂直，出

射后均可垂直打在MN上;根據(jù)幾何關(guān)系可知，軌跡對應(yīng)的圓心角小于180°,粒子在磁場中的運(yùn)動時間：g

T二寫,故選項C、D正確.

qB

變式綜合練

1.如圖所示，在直角三角形ahc區(qū)域（含邊界）內(nèi)存在垂直于紙面向外的勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,

Za=60°,/匕=90。，邊長必=3■—個粒子源在6點將質(zhì)量為m、電荷量為q的帶負(fù)電粒子以大小和方向

不同的速度射入磁場，在磁場中運(yùn)動時間最長的粒子中，速度的最大值是（不計粒子重力及粒子間的相互作

用）（）

yf3qBL口小qBL

答案D

解析由左手定則和題意知，沿力方向射出的粒子在三角形磁場區(qū)域內(nèi)轉(zhuǎn)半周時，運(yùn)動時間最長，速度最

大時的軌跡恰與ac相切，軌跡如圖所示，由幾何關(guān)系可得最大半徑：r=f/Z?4an30°=<^L,由洛倫茲力提供

向心力得4%8=〃7手，從而求得最大速度：,選項A、B、C錯誤，D正確.

2.如圖，真空室內(nèi)存在勻強(qiáng)磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小5=0.60T.磁場內(nèi)有一

塊平面感光板向，板面與磁場方向平行.在距必為/=16cm處，有一個點狀的a粒子放射源S,它向各個

方向發(fā)射a粒子,a粒子的速率都是0=3.OX106m/s.已知a粒子的電荷量與質(zhì)量之比2=5.OX107C/kg.現(xiàn)只

考慮在紙面內(nèi)運(yùn)動的a粒子，求ab板上被a粒子打中區(qū)域的長度.

XXXX

答案20cm

解析a粒子帶正電，故在磁場中沿逆時針方向做勻速圓周運(yùn)動.用R表示軌跡半徑，有qvB=n斥,

由此得R=黑，

qB

代入數(shù)據(jù)解得/?=10cm,可見R<K2R.

因朝不同方向發(fā)射的a粒子的圓軌跡都過5,由此可知，某圓軌跡在如圖所示中N左側(cè)與ab相切，則此切

點P就是a粒子能打中的左側(cè)最遠(yuǎn)點.為確定P^點的位置，可作平行于"的直線cd,cd到ab的距離為R,

以5為圓心，R為半徑，作圓弧交cd于。點，過Q作心的垂線，它與帥的交點即為Pi.從圖中幾何關(guān)系

得：NPIKR-R*.

再考慮N的右側(cè).任何a粒子在運(yùn)動中離5的距離不可能超過2R,以2R為半徑、S為圓心作圓弧，交ab

于N右側(cè)的P2點，此即右側(cè)能打到的最遠(yuǎn)點.

從圖中幾何關(guān)系得

NP?=7（2R>一戶,

所求長度為PiP尸NPi+NPz,

代入數(shù)據(jù)解得P>P2=20cm.

3.如圖所示，在直角坐標(biāo)系xOy中，x軸上方有勻強(qiáng)磁場，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B,磁場方向垂直于紙面

向外.大量質(zhì)量為燒、電荷量為+q的粒子，以相同的速率。沿紙面內(nèi)，由x軸負(fù)方向與）,軸正方向之間各

個方向從原點。射入磁場區(qū)域.不計重力及粒子間的相互作用.下列圖中陰影部分表示帶電粒子在磁場中

nrn

可能經(jīng)過的區(qū)域，其中R=不，正確的圖是（）

2Rx

O2R

D

答案D

解析首先當(dāng)粒子沿x軸負(fù)方向運(yùn)動的時候，其軌跡如圖所示，是一個完整的圓，隨著粒子的出射南度向y

軸正方向逐漸轉(zhuǎn)動過程中，這個圓逐漸沿順時針方向轉(zhuǎn)動；當(dāng)粒子沿y軸正方向的時候，其軌跡為一個半

圓.根據(jù)分析在這個軌跡圓轉(zhuǎn)動的過程中，圖中完整的圓與半圓相交的部分不會有粒子經(jīng)過，故D項正確.

4.［多選］如圖所示，一單邊有界磁場的邊界上有一粒子源，以與水平方向成9角的不同速率，向磁場中射

入兩個相同的粒子1和