阿氏圓（隱圓壓軸三）（原卷版）-2023-2024學(xué)年九年級數(shù)學(xué)上冊《重難點題型-高分突破》（人教版）

專題4.6阿氏圓阿氏圓問題問題：求解“”類加權(quán)線段和最小值方法：①定：定系數(shù)，并確定是半徑和哪條線段的比值②造：根據(jù)線段比，構(gòu)造母子型相似③算：根據(jù)母子型結(jié)論，計算定點位置④轉(zhuǎn)：“”轉(zhuǎn)化為“”問題關(guān)鍵：①可解性：半徑長與圓心到加權(quán)線段中定點距離比等于加權(quán)系數(shù)②系數(shù)小于1：內(nèi)部構(gòu)造母子型③系數(shù)大于1：外部構(gòu)造母子型【典例1】閱讀以下材料，并按要求完成相應(yīng)的任務(wù)．已知平面上兩點A、B，則所有符合＝k（k＞0且k≠1）的點P會組成一個圓．這個結(jié)論最先由古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼斯發(fā)現(xiàn)，稱阿氏圓．阿氏圓基本解法：構(gòu)造三角形相似．【問題】如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，在x軸，y軸上分別有點C（m，0），D（0，n），點P是平面內(nèi)一動點，且OP＝r，設(shè)＝k，求PC+kPD的最小值．阿氏圓的關(guān)鍵解題步驟：第一步：如圖1，在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k；第二步：證明kPD＝PM；第三步：連接CM，此時CM即為所求的最小值．下面是該題的解答過程（部分）：解：在OD上取點M，使得OM：OP＝OP：OD＝k，又∵∠POD＝∠MOP，∴△POM∽△DOP．任務(wù)：（1）將以上解答過程補充完整．（2）如圖2，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝4，BC＝3，D為△ABC內(nèi)一動點，滿足CD＝2，利用（1）中的結(jié)論，請直接寫出AD+BD的最小值．【變式1-1】如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝9，⊙B的半徑為3，點P是⊙B上一點，連接AP，CP，則AP+CP的最小值為．【變式1-2】如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CB＝4，CA＝6，⊙C半徑為2，P為圓上一動點，連接AP，BP，則AP+BP的最小值為（）A． B．6 C．2 D．4【變式1-3】如圖，在正方形ABCD中．AB＝8，點P是正方形ABCD內(nèi)部的一點，且滿足BP＝4，則PD+PC的最小值是（）A．6 B．8 C．10 D．12【變式1-4】如圖，已知拋物線y＝﹣x2+x+3與x軸交于A，B兩點（A在點B的左側(cè)），與y軸交于點C，⊙O與x軸交于點E（2，0），點P是⊙O上一點，連接CP，BP，求BP+CP的最小值．【變式1-5】如圖，在△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC＝4，點E、F分別是邊AB、AC的中點，點P是以A為圓心、以AE為半徑的圓弧上的動點，則的最小值為．【變式1-6】如圖，已知菱形ABCD的邊長為8，∠B＝60°，圓B的半徑為4，點P是圓B上的一個動點，則PD﹣PC的最大值為．【變式1-7】【新知探究】新定義：平面內(nèi)兩定點A，B，所有滿足＝k（k為定值）的P點形成的圖形是圓，我們把這種圓稱之為“阿氏圓”【問題解決】如圖，在△ABC中，CB＝4，AB＝2AC，則△ABC面積的最大值為．【變式1-8】如圖，扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝6，C是OA的中點，D是OB上一點，OD＝5，P是上一動點，則PC+PD的最小值為．【變式1-9】如圖所示的平面直角坐標(biāo)系中，A（0，4），B（4，0），P是第一象限內(nèi)一動點，OP＝2，連接AP、BP，則BP+的最小值是．【變式1-10】如圖所示，在平面直角坐標(biāo)系中，A（16，0），B（0，12），點C是第一象限的動點且OC＝6，線段OC繞點O在第一象限轉(zhuǎn)動；（1）在轉(zhuǎn)動過程中，求點C到AB的最近距離＝；（2）試求的最小值＝．【變式1-11】如圖1，在四邊形ABCD中，AC交BD于點E，△ADE為等邊三角形．（1）若點E為BD的中點，AD＝4，CD＝5，求△BCE的面積；（2）如圖2，若BC＝CD，點F為CD的中點，求證：AB＝2AF；（3）如圖3，若AB∥CD，∠BAD＝90°，點P為四邊形ABCD內(nèi)一點，且∠APD＝90°，連接BP，取BP的中點Q，連接CQ．當(dāng)AB＝6，AD＝4，tan∠ABC＝2時，求CQ+BQ的最小值．【典例2】如圖，在扇形AOB中，∠AOB＝90°，OA＝4，C，D分別為OA，OB的中點，點P是上一點，則2PC+PD的最小值為．【變式2-1】如圖，在扇形COD中，∠COD＝90°，OC＝3，點A是OC中點，OB＝2，點P是為CD上一點，則PB+2PA的最小值為．【變式2-2】（梁溪區(qū)校級期中）如圖，⊙O與y軸、x軸的正半軸分別相交于點M、點N，⊙O半徑為3，點A（0，1），點B（2，0），點P在弧MN上移動，連接PA，PB，則3PA+PB的最小值為．【變式2-3】（溧陽市一模）如圖，在⊙O中，點A、點B在⊙O上，∠AOB＝90°，OA＝6，點C在OA