直線和圓的位置關(guān)系切線系列綜合(獲獎(jiǎng)實(shí)用)

若點(diǎn)A在⊙O內(nèi)

若點(diǎn)B在⊙O上

若點(diǎn)C在⊙O外

1、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系有

、

、

。練一練：已知圓的直徑等于10厘米，點(diǎn)到圓心的距離是：A、8厘米B、4厘米C、5厘米。請(qǐng)你分別說出點(diǎn)A、B、C與圓的位置關(guān)系。2、判斷：(1)過兩點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)個(gè)圓()(2)頂點(diǎn)都在圓上的三角形叫作圓的外接三角形()(3)三角形的外心到三邊的距離都相等()(4)三角形三個(gè)頂點(diǎn)不一定共圓()(5)一個(gè)三角形只有一個(gè)外接圓，一個(gè)圓也只有一個(gè)內(nèi)接三角形()3、填空：OCBA如圖所示，△ABC是圓O的_____三角形；圓O是△ABC的_____圓。4/若點(diǎn)O是△ABC的外心，∠A=50°，則∠BOC=______5/若點(diǎn)O是△ABC的外心，∠BOC=150°，則∠A=______6、下面幾個(gè)三角形（a、b、c表示△ABC的三邊的長(zhǎng)），外心不在三角形的一邊上的是（）A、a=1，b=，c=2B、a=5，b=12，c=13C、a=b=，c=2D、a=7、b=8，c=9如圖是一名考古學(xué)家發(fā)現(xiàn)的一塊古代車輪的碎片，你能幫他找出這個(gè)輪子的圓心與半徑嗎？說明理由。第三部分反證法已知點(diǎn)A、B、C已知三點(diǎn)在同一直線已知三點(diǎn)不在同一直線結(jié)論：不在同一條直線的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓。三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓分類討論？經(jīng)過同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓。證明：假設(shè)“經(jīng)過同一直線上的三個(gè)點(diǎn)能作出一個(gè)圓”。如圖：“三點(diǎn)確定一個(gè)圓”是不正確的說法。設(shè)這個(gè)圓的圓心為P，則點(diǎn)P既在線段AB的垂直平分線l1上，又在線段BC的垂直平分線l2上，即點(diǎn)P為l1與l2的交點(diǎn)，而l1⊥l,l2⊥l這與“過一點(diǎn)有且只有一條直線與已知直線垂直”矛盾。因此，假設(shè)不成立。所以，經(jīng)過同一直線上的三個(gè)點(diǎn)不能作圓。假設(shè)命題的結(jié)論不成立，由此經(jīng)過推理得出矛盾，由矛盾斷定所作假設(shè)不正確，從而得到原命題成立，這種方法叫做反證法。反證法是一種間接證明命題的方法。當(dāng)一個(gè)命題直接證明很困難時(shí)，可考慮運(yùn)用反證法予以證明。用反證法證明：一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角。解：假設(shè)“∠A、∠B、∠C中有兩個(gè)角是直角”，不妨設(shè)∠A=∠B=90°,則∠A+∠B+∠C=90°+90°+∠C>180°,這與“三角形內(nèi)角和定理”矛盾。因此假設(shè)不成立。所以一個(gè)三角形中不能有兩個(gè)角是直角。1、用反證法證明：“同位角相等，兩直線平行”，可先假設(shè)：

。2、用反證法證明：“等腰三角形的底角必定為銳角”，可先假設(shè)：

。練習(xí)：直線與圓的位置關(guān)系

如果把點(diǎn)換成一條直線，直線和圓又有哪幾種位置關(guān)系？課題：直線與圓的位置關(guān)系嘗試活動(dòng)請(qǐng)同學(xué)們?cè)诩埳袭嬕粋€(gè)圓，把直尺邊緣看成一條直線，任意移動(dòng)直尺，觀察有幾種位置關(guān)系？相交相切相離直線與圓有三種位置關(guān)系l（1）相交：直線與圓有兩個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相交。這時(shí)直線叫做圓的割線。（2）相切：直線與圓有唯一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相切。這時(shí)直線叫做圓的切線。（3）相離：直線與圓沒有公共點(diǎn)時(shí)，叫做直線和圓相離。OOO直線與圓位置關(guān)系的數(shù)量特征相交相切相離rdrOOO（1）直線l和⊙O相交（2）直線l和⊙O相切（3）直線l和⊙O相離drd符號(hào)“”讀作“等價(jià)于”。它表示從左端可以推出右端，并且從右端也可以推出左端。探索與發(fā)現(xiàn)兩個(gè)公共點(diǎn)一個(gè)公共點(diǎn)無(wú)公共點(diǎn)切點(diǎn)直線與圓的位置關(guān)系公共點(diǎn)數(shù)目公共點(diǎn)名稱直線名稱數(shù)量特征直線和圓的三種位置關(guān)系相交相切相離

210交點(diǎn)切點(diǎn)無(wú)割線切線無(wú)0≤d<rd=rd>r在△ABC中，∠C=90°，AC=3cm,BC=4cm,以C為圓心，以r為半徑的圓與AB有怎樣的關(guān)系？為什么？（1）r=2cm;2）

r=2.4cm;3）

r=3cm.ACBD解：作CD⊥AB于D，在Rt△ABC中,根據(jù)三角形面積公式有CD·AB=AC·BC即圓心C到AB的距離d

=2.4cm.（1）當(dāng)r=2cm時(shí)，有d>r

，因此⊙O和AB相離.（2）當(dāng)r=2.4cm時(shí)，有d=r

，因此⊙O和AB相切.（3）當(dāng)r=3cm時(shí)，有d<r

，因此⊙O和AB相交.在Rt△ABC

中，∠C=90°，AC=3,AB=5,以C為圓心，r為半徑作圓，那么：（1）直線AB與⊙C相離時(shí)，r的取值范圍是

；（2）直線AB與⊙C相切時(shí)，r的取值范圍是

；（3）直線AB與⊙C相交時(shí)，r的取值范圍是

；ACBD點(diǎn)悟

當(dāng)圓心到直線的距離一定時(shí)，圓與直線的位置關(guān)系由這個(gè)圓的半徑大小確定。練習(xí)2：1、如圖，已知點(diǎn)C、D、G在圓上則切線是直線

，切點(diǎn)是

。

直線CD是圓的

。GODCBA

2.⊙O的直徑是6，直線l和⊙O相交，圓心O到直線l的距離是d，則d應(yīng)滿足()

A．d＞6B．3＜d＜6C．0≤d＜3D．0≤d＜6C3.圓心O到直線l的距離為d,⊙O的半徑為R,若d,R是方程x2-9x+20=0的兩個(gè)根,則直線和圓的位置關(guān)系是___________;若d,R是方程x2-4x+m=0的兩個(gè)根,且直線l與⊙O相切,則m的值是________相交或相離4割線判斷:(對(duì)的在括號(hào)內(nèi)打“√”;錯(cuò)的打“×”)1.直線和圓有唯一一個(gè)公共點(diǎn),則直線和圓相切.()2.圓心到直線的距離不等于半徑,則直線與圓相交.()3.到圓心距離等于半徑的直線是圓的切線.﹝﹞

√××4.直線上一點(diǎn)到圓心的距離等于圓的半徑,則直線與圓相切．()

5.直線l上一點(diǎn)A到圓心O的距離大于半徑,則直線l與⊙O相離.﹝﹞√×如圖，已知∠AOB=300，M為OB上一點(diǎn)，且OM=5cm，以M為圓心，下面的r為半徑的圓與直線OA有怎樣的位置關(guān)系？為什么？（1）r=2cm;

（2）r=4cm;

（3）r=2.5cm。AOB練習(xí)3：MN∴MN=×OM=×5=2.5cm解:過M作MN⊥OA于N∵∠AOB=300（1）當(dāng)r=2cm時(shí),r

＜d，因此⊙M與OA相離。即圓心M到直線OA的距離是d=2.5cm.（2）當(dāng)r=4cm時(shí),r

＞d，因此⊙M與OA相交。（3）當(dāng)r=2.5cm時(shí),r=d，因此⊙M與OA相切。作業(yè)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為，以A為圓心的圓與BC所在的直線l有以下三種情況：（1）沒有公共點(diǎn)；

（2）唯一的公共點(diǎn)；

（3）有兩個(gè)公共點(diǎn)。求這三種情況下⊙A的半徑r的范圍。無(wú)切線割線無(wú)切點(diǎn)交點(diǎn)d>rd=r02相切相交直線名稱公共點(diǎn)名稱0≤d<r圓心到直線距離

d

與半徑r

關(guān)系1公共點(diǎn)個(gè)數(shù)相離直線和圓的位置關(guān)系1、直線與圓的位置關(guān)系表：小結(jié)2、本節(jié)課利用（1）類比點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，從運(yùn)動(dòng)變化的觀觀點(diǎn)來(lái)研究直線和圓的位置關(guān)系；（2）利用了分類的思想把直線和圓的位置關(guān)系分為三類討論；（3）用了數(shù)形結(jié)合的思想，通過d與r這兩個(gè)數(shù)量之間的關(guān)系來(lái)研究直線和圓的位置關(guān)系。7.8切線的判定和性質(zhì)OAl在⊙O中，經(jīng)過半徑OA的外端點(diǎn)A，作直線l⊥OA.則圓心O到直線l的距離等于半徑這樣的直線一定與圓相切.因此有如下定理：┐r,根據(jù)切線的定義切線的判定定理

經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線.┐判定下面兩圖中，圓與直線相切嗎？思考:如何作切線？例1直線AB經(jīng)過⊙O上的點(diǎn)C，且OA=OB，CA=CB.求證：直線AB是⊙O的切線.OACB證明：連接

OC.∵OA=OB，CA=CB,（三線合一）∴OC⊥AB直線AB經(jīng)過半徑OC的外端C，并且垂直于半徑OC，所以AB是⊙O的切線.證切線方法1：若直線與圓有公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)“連接圓心和公共點(diǎn)”，再證直線與半徑垂直。1、已知：如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB為直徑，∠CAE=∠B。求證：AE與⊙O相切于點(diǎn)A。C2、如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成300的角，AC=CD，交AB延長(zhǎng)線于D。求證：CD與⊙O相切于CDBOCA例1已知⊙O的直徑為6，并且OA=OB=5，AB=8，求證：直線AB是⊙O的切線.OACB證明：過O作OC⊥AB于C.∵OA=OB=5，AB=8,在Rt△ACO中，直線AB經(jīng)過半徑OC的外端C，并且垂直于半徑OC，所以AB是⊙O的切線.證切線方法2：若直線與圓無(wú)明確有公共點(diǎn)時(shí)，應(yīng)“過圓心向直線作垂線”，再證圓心到直線的距離等于半徑?！郃C=BC=4∵直徑是6∴OC的長(zhǎng)等于半徑3∴OC是半徑圓的切線判定題型：1、如果直線和圓有一個(gè)公共點(diǎn)；證明方法：連接過公共點(diǎn)的半徑，證明這直線與這半徑垂直.2、直線和圓沒有確定的公共點(diǎn)；證明方法：過圓心作這直線的垂線段，證明這垂線段等于這圓的半徑.練習(xí)

⊙O的半徑為8，圓內(nèi)弦AB=，以O(shè)為圓心，4為半徑作小圓，

求證：小圓與直線AB相切。OBAAOMT二、切線的性質(zhì)┐假設(shè)AT與OA不垂直，過O作OM⊥AT，垂足為M.根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì)，有OM<OA.這就是說：圓心到直線AT的距離小于半徑，于是AT就要與⊙O相交，這與AT是⊙O切線相矛盾.因此，AT與OA垂直如果直線l是⊙O的切線，A為切點(diǎn)，那么OA

與直線l有什么關(guān)系呢？切線的性質(zhì)定理：圓的切線垂直經(jīng)過切點(diǎn)的半徑.例1如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，AD和過C點(diǎn)的切線互相垂直，垂足為D，

求證：AC平分∠DAB.AOBCD231證明：連接OC.∵DC是⊙O的切線∴OC⊥CD∵AD⊥CD∴AD∥OC∴∠1=∠2∵OC=OA∴∠1=∠3∴∠2=∠3∴AC平分∠DAB注意：在解有關(guān)切線的問題時(shí)，連接過切點(diǎn)的半徑是輔助線的常用作法.練習(xí)

如圖，AB是⊙O的直徑，弦AC與AB成300的角，CD與⊙O相切于C，交AB延長(zhǎng)線于D。求證：AC=CDDBOCA2如圖，以O(shè)為圓心的兩個(gè)同心圓中，大圓的弦AB和CD相等，且AB與小圓相切于點(diǎn)E

求證：DC與小圓相切

.ABDCOEF證明：連接OE，過O作OF⊥CD，

垂足為F.∵AB與小圓O切于點(diǎn)E∴OE⊥AB∵OF⊥CDAB=CD∴OF=OE∵OF⊥CD∴CD與小圓O相切例2已知，AB為⊙O的直徑，BC是⊙O切線，切點(diǎn)為B，OC平行于弦AD.求證：DC是⊙O的切線

.證明：連接OD.ABODC1234∵OA=OD∴∠1=∠2

∵AD∥OC∴∠1=∠3,∠2=∠4∴∠3=∠4∵OB=OD∠3=∠4OC=OC∴△OBC≌△ODC∴∠OBC=∠ODC∵BC是⊙O的切線∴∠OBC=90°∴∠ODC=90°∴DC是⊙O的切線已知：AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=EB，E點(diǎn)在BC上。求證：PE是⊙O的切線ABOPCE證明：連接OP和OE123∵AO=BO，CE=BE∴OE//AC∴∠1=∠2，∠A=∠3∵OA=OP∴∠2=∠3，∵OE=OE，OP=OB∴△OPE≌△OBE（SAS）∴∠OPE=∠B∵BC切⊙O于B∴∠OPE=∠B=900∴PE是⊙O的切線（1）三角形中位線定理；（3）切線的性質(zhì)；（4）切線的判定；（2）全等三角形的知識(shí)；知識(shí)點(diǎn)鏈接∴∠1=∠A，已知：AB為⊙O的直徑，BC切⊙O于B，AC交⊙O于P，CE=EB，E點(diǎn)在BC上。求證：PE是⊙O的切線ABOPCE∵OP=OB，∴∠1=∠2，∵AB是直徑∴∠APB=∠CPB=900∴CE=EB=PE∵BC切⊙O于B∴∠2+∠4=900∴PE是⊙O的切線（1）直徑對(duì)的圓周角是直角；（3）等邊對(duì)等角。（2）直角三角形斜邊上的中線等斜邊的一半；知識(shí)點(diǎn)鏈接證明：連接OP和PB1234∵CE=EB∴∠3=∠4，∴∠1+∠3=900∵OP是半徑（4）切線的性質(zhì)；（5）切線的判定；切線長(zhǎng)定理1、如圖：過⊙O外一點(diǎn)P可以向⊙O引幾條切線?

經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)和切點(diǎn)間的線段的長(zhǎng)，叫做切線長(zhǎng).切線長(zhǎng)定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切線長(zhǎng)相等，圓心和這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角.OP2、P點(diǎn)到兩切點(diǎn)之間的線段有什么關(guān)系？3、PO有什么特殊性？AB例1：已知P是⊙O外一點(diǎn)，PA、PB為⊙O的切線，A和B是切點(diǎn)，BC是直徑。

求證：

AC//OPABCOPD證明：連接AB交OP于點(diǎn)D∵PA、PB為⊙O的切線∴AP=PB，∠APO=∠BPO∴PO⊥AB∵BC是直徑∴AC⊥AB∴AC//OP證明：連接AB交OP于點(diǎn)D∵PA、PB為⊙O的切線∴AP=PB，∠APO=∠BPO∴AD=BD∵BO=CO∴OD是△ABC的中位線∴AC//OPABCOPD【例2】已知，如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，A、B為切點(diǎn).直線OP交⊙O于點(diǎn)D、E，交AB于C.（1）寫出圖中所有的垂直關(guān)系；（2）寫出圖中所有的全等三角形.（3）如果PA=4cm,PD=2cm,求半徑OA的長(zhǎng).AOCDPBE解：(1)OA⊥PA,OB⊥PB,OP⊥AB(2)△OAP≌△OBP,△OCA≌△OCB,△ACP≌△BCP(3)設(shè)OA=xcm,則PO=PD+x=2+x(cm)在Rt△OAP

中，PA2+OA2=OP2

即42+x2=(x+2)2

解得x=3cm

所以，半徑OA的長(zhǎng)為3cm.【思考】如圖,一張三角形的鐵皮,如何在它上面截下一塊圓形的用料,并且使圓的面積盡可能大呢?ID內(nèi)切圓和內(nèi)心的定義:與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內(nèi)切圓.

內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn),

叫做三角形的內(nèi)心.MN【例3】△ABC的內(nèi)切圓⊙O與BC、CA、AB分別相切于點(diǎn)D、E、F，且AB=9cm，BC=14cm，CA=13cm，求AF、BD、CE的長(zhǎng).解:設(shè)AF=xcm，則AE=xcm∴CD=CE=AC-AE=13-xBD=BF=AB-AF=9-x由BD+CD=BC可得

(13-x)+(9-x)=14解得x=4∴AF=4(cm),BD=5(cm),CE=9(cm).4.小紅家的鍋蓋壞了,為了配一個(gè)鍋蓋,需要測(cè)量鍋蓋的直徑(鍋邊所形成的圓的直徑),而小紅家只有一把長(zhǎng)20cm的直尺,根本不夠長(zhǎng),怎么辦呢?小紅想了想,采取以下方法:首先把鍋平放到墻根,鍋邊剛好靠到兩墻,用直尺緊貼墻面量得MA的長(zhǎng),即可求出墻的直徑,請(qǐng)你利用圖乙,說明她這樣做的道理.1.⊙O邊長(zhǎng)為2cm的正方形

ABCD的內(nèi)切圓,E、F切⊙O于P點(diǎn)，交AB、BC

于E、F，則△BEF的周長(zhǎng)是________.2.正三角形的內(nèi)切圓的半徑為0.5cm，則這個(gè)三角形的邊長(zhǎng)是__________3.直角三角形的外接圓半徑為5cm,內(nèi)切圓半徑為1cm,

則此三角形的周長(zhǎng)是_______.練習(xí)題：EFHG22cm