極值與最值例題

5.3.2極值與最值

【題組一求極值及極值點(diǎn)】

1.(2020.北京市第十三中學(xué)高三開(kāi)學(xué)考試)設(shè)函數(shù)/(x)=x+g,則/(x)的極大值點(diǎn)和極小值點(diǎn)分別為

()

A.-2,2B.2,-2C.5,-3D.-5,3

【答案】A

【解析】易知函數(shù)定義域是{x|xwO},

由題意=l—3=(*+2),一2),

XX

當(dāng)％<-2或x>2時(shí)，r(x)>0,當(dāng)—2<x<0或0<x<2時(shí)，f'M<0,

.??/。)在(-8,-2)和(2,+8)上遞增，在(一2,0)和(0,2)上遞減，

,極大值點(diǎn)是一2,極小值點(diǎn)是2.故選：A.

2.(2020?黑山縣黑山中學(xué)高二月考)函數(shù)/(x)=f—6x+2爐的極值點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(-1,0)B.(0,1)C.(1,2)D.(-2,-1)

【答案】B

【解析】r(x)=2x-6+2e;且尸(x)為單調(diào)函數(shù),

/,(1)=2-6+2e>0,/,(0)=-6+2<0,

由尸(0)尸(1)<0,故/(X)的極值點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1),故選：B.

3.(2020.河北新華石家莊二中高二期末)%>2”是“函數(shù)/(*)=(%-。)，在((),+8)上有極值”的()

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】?：f{x}=^x-a)ex,則/'(%)=(%-a+l)ev,令/'(x)=0,可得x=a-l.

當(dāng)》<。一1時(shí)，/,(x)<0；當(dāng)x>a-l時(shí)，//(%)>0.

所以，函數(shù)y=/(x)在x=。一1處取得極小值.

若函數(shù)y=/(x)在(0,+8)上有極值，則a-l>0，二?！怠?/p>

因此，“?！?”是“函數(shù)/(力=(%-。僻在(0,+8)上有極值”的充分不必要條件.

故選：A.

4.(2020?扶風(fēng)縣法門(mén)高中高二月考(理))設(shè)函數(shù)/(x)=xe",則()

A.x=l為〃幻的極大值點(diǎn)B.x=l為/(X)的極小值點(diǎn)

C.x=-l為/(x)的極大值點(diǎn)D.%=-1為了(%)的極小值點(diǎn)

【答案】D

【解析】因?yàn)?(x)=xe"，所以/'(%)=。'+庶*=，(］+1),令/'(%):=0得,*=1.

又由f(x)>0得4-1；由/''(x)<0得：x<-l,所以“x)在(-8,-1)、，在(1+00)/,所以x=-l為〃x)

的極小值點(diǎn).

5.(2020.黑龍江讓胡路.鐵人中學(xué)高二期末(理))已知x=2是函數(shù)/(幻=犬3-3at+2的極小值點(diǎn)，那么

函數(shù)/(幻的極大值為()

A.15B.16C.17D.18

【答案】D

【解析】/'(%)=3/一3。,又因?yàn)閤=2是函數(shù)外幻=/-3以+2的極小值點(diǎn)，所以

/'⑵=3x2?-3a=0,a=4,所以/'(x)=3x?—12,由/'(x)=3x?-12=0,x=—2或x=2,所以

在區(qū)間(-8,-2)上，/'(X)>0,/(x)單調(diào)遞增，在區(qū)間(一2,2)上，f\x)<0,/(x)單調(diào)遞減,在區(qū)間(2,+8)

上，/'(x)>0,/(x)單.調(diào)遞增，所以函數(shù)“X)的極大值為/(—2)=(-2月一12x(—2)+2=18,故選D.

6.(2020.甘肅省會(huì)寧縣第四中學(xué)高二期末(理))函數(shù)/(x)=xe、在xe［0,4］上的極大值為()

1人一42

A.—B.0C.——D?—

ee4e2

【答案】A

.1—Y

【解析】由/(x)=xer可得/(x)=—

e

當(dāng)xe(O,l］時(shí)/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增

當(dāng)工?1,4］時(shí)f'(x)<0,Ax)單調(diào)遞減

所以函數(shù)/5)=由-*在彳40,4]上的極大值為/(1)=,故選：A

e

7.(202。天津一中高二期中)函數(shù)f(x)=3x2+lnx—2x的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)是()

A.0B.1

C.2D.無(wú)數(shù)個(gè)

【答案】A

【解析】f'{x]=6x+--2=6%2-2%+1,由/'(x)=0得6/-2%+1=0,方程無(wú)解，因此函數(shù)無(wú)極

XX

值點(diǎn)

8.(2020?北京高二期末)已知函數(shù)/(x)=x2—,lnx.

(I)求曲線(xiàn)/(X)在X=1處的切線(xiàn)方程；

(II)求函數(shù)y=/(x)的極值.

【答案】(I)3x-2y+5=0；(H)極小值是工+,也2,無(wú)極大值.

42

【解析】(1)/(X)的定義域是(0,+“)，/'(x)=2x—

3a

/(i)=i,r(i)=|,故所求切線(xiàn)斜率%、，

過(guò)(1,1)的切線(xiàn)方程是：y-l=1(x-l),即3x-2y+5=0；

(II).(x)==②+DQxT),

2x2x

令/'(x)>0,解得：x>；,

令/'(x)<0,解得：0<x<g,

故/(x)在遞減，在遞增，

故f(x)的極小值是=1+；ln2,無(wú)極大值.

9.(2019?湖南雨花?高二期末(文))已知函數(shù)/(x)=d-12x+24.

(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間;

(2)求函數(shù)/(x)的極值.

【答案】(1)單調(diào)增區(qū)間為：(-8,-2)和(2,+。。)，單調(diào)減區(qū)間為：(-2,2)；(2)極大值40,極小值8.

【解析】(D?//(x)=x3-12%+24,f'(x)=3x2-12.令/'(x)=0,則x=-2或2,

Xy,-2)-2(-2,2)2(2收)

fM+0—0+

f(x)單調(diào)遞增40單調(diào)遞減8單調(diào)遞增

故/(x)的單調(diào)增區(qū)間為：(_。。,_2)和(2,+00),單調(diào)減區(qū)間為：(-2,2).

(2)由(1)得：當(dāng)x=-2時(shí)，/(X)有極大值40,當(dāng)x=2時(shí)，/(x)有極小值8.

10.(2020?林芝市第二高級(jí)中學(xué)高二期中(理))已知函數(shù)/*)=一1+3/+9%一2,求：

(1)函數(shù)y=/(x)的圖象在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程；

(2)的單調(diào)區(qū)間及極值.

【答案】(I)9x-y-2=0；(2)減區(qū)間為(一oo,T],[3,+8),增區(qū)間為(—1,3)；極小值為一7,極大值

為25.

【解析】(1)顯然由題意有，/(0)=0,f'(x)=-3x2+6x+9,

.../'(0)=9

.??由點(diǎn)斜式可知，切線(xiàn)方程為：9x-y-2=0.

(2)由(1)有/'(x)=-3d+6x+9=-3(x+l)(x-3)

二/0)<0時(shí)，xe(-oo,-l]或XG[3,+OO)

/'(x)>0時(shí)，XG(-1,3)

的單減區(qū)間為(-8,-1],[3,+8)；單增區(qū)間為(一1,3)

....f(x)在x=-1處取得極小值/(-D=-7,

fM在x=3處取得極大值/(3)=25.

【題組二求最值點(diǎn)最值】

1.(2020?四川內(nèi)江?高二期末(文))函數(shù)y=x+2cosx-百在區(qū)間0,|上的最大值是()

A.---->/3B.—C.2—A/3D.1--y/3

26

【答案】B

【解析】函數(shù)/(x)=y=x+2cosx一班0,y,/'(x)=l-2sinx,

令尸(x)=0,解得尤=看..?.函數(shù)/(x)在0,7)內(nèi)單調(diào)遞增，在信卷內(nèi)單調(diào)遞減.

???尤=7時(shí)函數(shù)/(%)取得極大值即最大值./閨=?+2cos?一百=看.故選B.

2.(2020.甘肅武威?高三月考(理))已知函數(shù)/(x)="cosx-x.

(1)求曲線(xiàn)y=/。)在點(diǎn)(0,/(。))處的切線(xiàn)方程；

TT

(2)求函數(shù)/(x)在區(qū)間［0,-］上的最大值和最小值.

2

冗

【答案】(1)y=l；(2)最大值為1,最小值為一］.

【解析】(1)因?yàn)?(x)=e"cosx-x,所以/'(x)=e"(cosx-sinx)-lj(0)=0.

又因?yàn)?(0)=1,所以曲線(xiàn)y=f(x)在點(diǎn)(0,/(0))處的切線(xiàn)方程為y=1.

(2)h(x)=eA(cosx-sinx)-1,WOh(x)=eA(cosx-sinx-sinx-cosx)=-2evsinx,

7T

當(dāng)犬￡(0,一)時(shí)，"(x)<0,

2

jr

所以h(x)在區(qū)間［0,一］上單調(diào)遞減,

2

JT

所以對(duì)任意xG［0,-］有力。)<〃(0)=0,即/(x)40,

TT

所以函數(shù)fM在區(qū)間［0,-］上單調(diào)遞減，

2

因此/(X)在區(qū)間嗚］上的最大值為/(0)=1,最小值為/(1)=-y.

3.(2020?江蘇鼓樓?南京師大附中高三月考)已知函數(shù)/(x)=R/u-"2,a,beR若/(x)在％=1處

與直線(xiàn)y=-；相切.

(1)求a,。的值;

(2)求/(X)在［Le］上的最大值.

e

a=1

【答案】(1)<1；(2).

h=-2

2

【解析】(1)???函數(shù)/(幻=〃歷次-公2(工>0),.?.-(不)=@一2"，

???函數(shù)〃x)在X=1處與直.線(xiàn)y=-；相切,

f'(l)=a-2b=Q(a=l

/⑴=一0=一萬(wàn)產(chǎn)］

11—X2

(2)f(X)=Inx——x92,ff(x)=-----,

2x

當(dāng)，物ke時(shí)，令/'(x)>0得：-?x<l,

ee

令/'(%)v。，得1<片，e,

.??/*)在d,i］,上單調(diào)遞增，

e

在［1,e］上單調(diào)遞減，

所以函數(shù)的極大值就是最大值，

“(x)3=/⑴

4.(2020,安徽廬陽(yáng)?合肥一中高三月考(文))已知函數(shù)/(X)=0?+法+。在x=2處取得極值為c-16.

(1)求〃、人的值；

(2)若/(x)有極大值28,求/(x)在［-3,3］上的最大值和最小值.

【答案】(1)a=l,b=-12；(2)最小值為-4,最大值為28.

【解析】(1)因/(%)=ax3+bx+c,故/'(x)=3av?+匕，

由于/(x)在點(diǎn)光=2處取得極值，

12。+。=0

故有<

8a+2b+c=。-16b=-U

(2)由(1)知f(x)=x3-l2x+c,f'(x)=3x2-l2

令r(x)=O,得玉=-2,々=2,

當(dāng)xe(-8,-2)時(shí)，/'(X)>0故f{x}在(-0),-2)上為增函數(shù)；

當(dāng)xe(—2,2)時(shí)，r(x)<0故/(x)在(-2,2)上為減函數(shù)，

當(dāng)xe(2,xo)時(shí)/'(X)>0,故/3在(2,+8)上為增函數(shù).

由此可知/(幻在％=—2處取得極大值/(-2)=16+c,/(x)在芻=2處取得極小值/⑵=cT6,

由題設(shè)條件知16+c=28,得c=12,

此時(shí)/(-3)=9+C=21,/(3)=-9+C=3,/(2)=c-16=-4,

因此/J)±［-3,3］的最小值為/(2)=-4,最大值為28.

5.(2020?河南商丘?高三月考(文))已知/(x)=2%3-mx2-］2x+6的一個(gè)極值點(diǎn)為2.

(1)求函數(shù)/(X)的單調(diào)區(qū)間；

(2)求函數(shù)“X)在區(qū)間［—2,2］上的最值.

【答案】(1)函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(一1,2),增區(qū)間為(一8,-1),(2,+8)：(2)最小值是—14,最大值

是13.

【解析】(1),.,/(x)=2x3-z?ix2-12x+6,=6x2-2/nx-12,

=2丁-iwc-12x+6的一個(gè)極值點(diǎn)為2,

=6x22—2/nx2-12=0,解得加=3.

.-./(X)=2X3-3X2-12x+6,/"(x)=6x2-6x-12=6(x+l)(x-2),

令/"(x)=0,得x=-l或x=2；

令_f(x)<0,得-l<x<2；令_f(x)>0,得x<-l或x>2；

故函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(T,2),增區(qū)間為(-oo,-l),(2,+w).

(2)由(1)/(X)=2X3-3X2-12X+6,f'{x)=6(x+l)(x-2),

當(dāng)時(shí)，/'(x)>0；當(dāng)一1<XW2時(shí)，/'(x)<0；

??J(x)在［-2,-1］上為增函數(shù)，在(-1,2］上為減函數(shù),

??”=一1是的極大值點(diǎn),

又2)=2,1)=13,/(2)=-14,

所以函數(shù)/(x)在［-2,2］上的最小值是T4,最大值是13.

6.(2020?重慶高二期末)己知/(%)=；%3+融2-3%(aeR)在x=-3處取得極值.

(1)求實(shí)數(shù)”的值；

(2)求/(x)的單調(diào)區(qū)間；

(3)求/(x)在區(qū)間［—3,3］上的最大值和最小值.

【答案】(1)1；(2)增區(qū)間為(一8,-3),(1,+8),減區(qū)間為(一3,1)；(3)最大值為9,最小值為—|.

【解析】⑴f'(x)=x2+2ax-3,由于/(力在%=一3處取得極值，故八—3)=0,解得。=1,經(jīng)檢驗(yàn)，

當(dāng)4=1時(shí)，/(X)在X=-3處取得極值，故4=1.

(2)由(I)得/(x)=；/+x2—3x,f\x)=x2+2x-3,由/'(x)>0得X>1或無(wú)<—3；由_f(x)<0

得一3<x<l.

故/(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-oo,-3),(1,+s),單減區(qū)間為(-3,1).

(3)由⑵得函數(shù)/(%)的極大值為/(—3)=9,得函數(shù)“X)的極小值為〃1)=一|,又"3)=9,

所以函數(shù)/(x)在區(qū)間［-3,3］上的最大值為9,最小值為-1.

【題組三已知極值及最值求參數(shù)】

1.(2020?湖南其他(理))已知函數(shù)/(x)=ae'—3x2(aeR),若xe［0,2］時(shí)，/(x)在*=0處取得最大

值，則。的取值范圍為()

、126126

A.a<0B.aN——C.U<—D.——<4Z<一

eeee

【答案】A

【解析】Vf\x)=aex-6x=e\a一一-),令g(九)=-7，

ee

.??8'。)=區(qū)二立，，》<1時(shí)8'(外>0,g(x)在(F,D單調(diào)遞增；

e

時(shí)g'(x)<o,g(x)在(1，+8)單調(diào)遞減.如圖，8(乃嗣=86=2

e

???當(dāng)”29時(shí)，a-^->0,：.f\x)>0,f(x)在R上單調(diào)遞增，不成立；

ee

當(dāng)。40時(shí)，/(幻在。2］上單調(diào)增減，成立；

當(dāng)Ovav-時(shí),=。有兩個(gè)根須,%2(0<^<%2)?

eex

6x

,當(dāng)X<X|時(shí)，a--->0,f\x)>0：

ex

6x

當(dāng)尤i<x<馬時(shí)，a----<0,f\x)<0；

e

6x

當(dāng)了>々時(shí)，a-—>0./'(x)>0,

ex

.../(x)在［O,xJ,X，m)上單調(diào)遞增，在氏，々］匕單調(diào)遞減，顯然不成立.

綜上，4Z<0.

故選：A

(3、

2.(2020?河南鄭州?高三月考(文))已知函數(shù)/(x)=d-3。+5x2+6av,若/(x)在(―l,+a>)上既

有極大值，又有最小值，且最小值為3a-工，則。的取值范圍為()

2

B.2，-6,D.

【答案】C

【解析】：/'a)=3x2—(6a+3)x+6a=(3x—&7)(x-l)的零點(diǎn)為2a和1.

因?yàn)?0)=3。一；，所以1是函數(shù)的極小值即最小值點(diǎn)，

則2。是函數(shù)的極大值點(diǎn)，

所以一1<2。<1,且/(一1)23。一；，

“11

解得一一<a?一-.

26

故選：C.

3.(2020?廣東高二期末(理))函數(shù)/(x)=3x-x3在[0,加上最大值為2,最小值為0,則實(shí)數(shù)加取值范

圍為()

A.[1,x/3]B.[1,+8)C.(1,而D.(1,-Ko)

【答案】A

【解析】.???/(x)=3x-d,f'(x)=3-3/=3(1+x)(l-x),

令/"(x)=。，則x=l或一1(舍負(fù))，

當(dāng)0,,x<l時(shí)，/'(x)>0,f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)x>l時(shí)，/*)<0,單調(diào)遞減.

???函數(shù)/(X)在[0，間上最大值為2,最小值為0,且/(0)=/(8)=0，/(1)=2.

/.1<m<>/3?

故選：A.

1a

4.(2020?貴州遵義?高三其他(文))若函數(shù)/(x)=一依29+%一5無(wú)極值點(diǎn)則實(shí)數(shù)0的取值范圍是()

A.(-1,1)B.［-1,1］C.(y，―1)U(1，+8)D.1JUU，")

【答案】B

【解析】vf(x)^^x3-ax2+x-5,

f'(x)=x2-2ax+l,

由函數(shù)/(無(wú))=；/一以2+尤_5無(wú)極值點(diǎn)知，

ra)=o至多1個(gè)實(shí)數(shù)根，

.-.A=(-2a)2-4<0,

解得一IWaWl,

實(shí)數(shù)。的取值范圍是［-1,小

故選：B

5.(2020.四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高二開(kāi)學(xué)考試(理))函數(shù)y=(x—2)/+〃?在［0,2］上的最小值是2e則最

大值是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

xxx

【解析】y=e+(x-2)e=(x-l)e,

因?yàn)閤e[0,2],

所以當(dāng)xe[O,D時(shí)，y'<Q,當(dāng)xe(l,2]時(shí)，y'>Q,

所以函數(shù)在[0，D上單調(diào)遞減，在(1,2]上單調(diào)遞增，

所以函數(shù)在x=l處取得最小值，根據(jù)題意有—e+加=2-e,

所以，w=2,

當(dāng)x=0時(shí)，y=-2+2=0,當(dāng)x=2時(shí)，y=0+2=2,

所以其最大值是2,

故選：B.

6.(2020.四川省綿陽(yáng)江油中學(xué)高二月考(理))函數(shù)/(力=_?一3以一。在(0,1)內(nèi)有最小值，則。的取值

范圍為()

A.0<a<1B.0<a<l

C.-l<a<lD.0<a<—

2

【答案】B

【解析】

?函數(shù)f(x)=x3-3ax-a在(0,1)內(nèi)有最小值，

Af(x)=3x2-3a=3(x2-a),

①若a4)，可得F(x)>0,f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，

f(x)在x=0處取得最小值，顯然不可能，

②若a>0,f(x)=0解得x=±&,

當(dāng)x>J￡,f(x)為增函數(shù)，0<x<6為減函數(shù)，

f(x)在x=6處取得極小值，也是最小值，

所以極小值點(diǎn)應(yīng)該在(0，1)內(nèi)，符合要求.

綜上所述，a的取值范圍為(0,1)

故答案為B

7.(2020?黑龍江高二期中(理))已知函數(shù)/(可=加一(a+2)x+lnx

⑴若4=1,求函數(shù)/(X)的極值；

(2)當(dāng)a>0時(shí)，若/(力在區(qū)間［l,e］上的最小值為2求。的取值范圍.

【答案】(1)函數(shù)/(%)的極大值為一:一ln2函數(shù)/(%)的極小值為—2(2)［l,+a>)

【解析】(1)<2=1./(x)=x2-3x+lnx,定義域?yàn)?0,+oo),

又((力=21一3+，=2/-3、+1=(21)(1)

XXX

當(dāng)％>1或0<x<g時(shí)/'(x)>0；當(dāng)g<x<l時(shí)/'(x)<0

二函數(shù)/(x)的極大值為/(g)=_1~ln2

函數(shù)/(X)的極小值為/(1)=-2,

(2)函數(shù)〃x)=52_(a+2)x+lnx的定義域?yàn)?0,+oo),

H/，(x)=2ax-(?+2)+-=2加—(々+2戶(hù)+［=(21)31),

xXX

令/'(x)=°,得x=g或x=，,

當(dāng)0<：Kl,即時(shí)，/(x)在［l,e］上單調(diào)遞增，

.??/(X)在［l,e］上的最小值是)⑴=一2,符號(hào)題意：

當(dāng)l<J<e時(shí)，/(x)在［l,e］上的最小值是/(：)<〃1)=一2,不合題意；

當(dāng)寸，/(力在［l,e］上單調(diào)遞減，

二八X)在M上的最小值是/(e)</⑴=-2,不合題意

故a的取值范圍為［1,+8)

8.(2020?北京八中高二期末)已知函數(shù)/(幻=(2/—4ar)lnx+x2.

(1)當(dāng)a=l時(shí)，求函數(shù)/(外在［1,+8)上的最小值；

(2)若函數(shù)〃x)在U,+8)上的最小值為1,求實(shí)數(shù)a的取值范圍;

(3)若。>,，討論函數(shù)在［1,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).

e

【答案】(1)1；(2)(7,1］；(3)答案見(jiàn)解析.

【解析】(1)當(dāng)。=1時(shí)、/(x)=(2x2-4x)Inx+x2,

f\x)=(4x-4)Inx+2x-4+2x=4(x-l)(lnx+1),

因?yàn)閤e［l,+oo),所以/'(x)20,所以/(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，

所以/(X)而n=/(D=L

(2)/'(x)=(4x-4a)lnx+2x-4a+2x=4(x-a)(lnx+l),xe［l,+oo),

當(dāng)aWl時(shí)，f'(x)>0,所以f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，/Wmin=/(1)=1,符合題意；

當(dāng)時(shí),在口,。)上,/'(x)<OJ(x)單調(diào)遞減，在3+8)上,/'(x)>OJ(x)單調(diào)遞增,所以

/d=/(?)，

因?yàn)?1)=1,故〃。)<41)=1,與“X)的最小值為1矛盾.

故實(shí)數(shù)。的取值范圍為(—8,1］.

(3)由(2)可知，當(dāng)!時(shí)，在［1,+8)上，/(X)為單調(diào)遞增函數(shù)，/(X)mi"=l，

e

此時(shí)函數(shù)/。)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

22

當(dāng)a>l時(shí)，/(x)min=/(?)=-2a\na+a,令+f,

則g'(x)=-4xlnx-2x+2x=-4axlnxV。,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減，

gM=-2x2lnx+x2=0,解得丫_/，

所以當(dāng)xe(l,e；)，g(x)>°，x=e，g*)=°，xe(U,+8)，g(x)<°，

所以當(dāng)時(shí)，/O)min>°，此時(shí)函數(shù)在U+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

當(dāng)〃.，時(shí)，/(X),,M=0,此時(shí)函數(shù)/(X)在［1,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

a—《

\_

。€―+⑹/口濡<0，

又〃1)=1>0,故/(x)在(l,a)存在一個(gè)零點(diǎn),

f(2a)=4a2>0,故/(x)在(a,2a)存在一個(gè)零點(diǎn)，

此時(shí)函數(shù)/(幻在［1,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

綜上，可得a€(!,/)時(shí)，函數(shù)/(X)在口,+°。)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為0；

e

a=)時(shí)，函數(shù)/(幻在［1,+8)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為1；

ae(1,+8)，函數(shù),3)在/'(x)>°上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2.

9.(2020?廣東禪城?佛山一中高二月考)已知函數(shù)"x)=ahix-/；

⑴討論/(x)的極值點(diǎn)的個(gè)數(shù)；

(2)若a=2,求證：/(x)<0.

【答案】(D當(dāng)空0時(shí)，f(x)無(wú)極值點(diǎn)；當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=f(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)；(2)見(jiàn)

解析

X

【解析】(1)根據(jù)題意可得，/'(尤)=@_/=上上(x>0)，

XX

當(dāng)時(shí)，函數(shù)y=/(x)是減函數(shù)，無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)a>0時(shí)，令/(q=0,得a—xe'=0，即x/=a，

又y=此「。在(0,+?)上存在一解，不妨設(shè)為乙,

所以函數(shù)y=/(x)在(0,天)I:.是單調(diào)遞增的，在(后,+8)上是單調(diào)遞減的.

所以函數(shù)y=/(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn)；

總之：當(dāng)aKO時(shí)，無(wú)極值點(diǎn)；

當(dāng)。>0時(shí)，函數(shù)y=/(x)有一個(gè)極大值點(diǎn)，無(wú)極小值點(diǎn).

(2)/(x)=21nx-e\f'(x)=(x>0),

由(1)可知f(x)有極大值/(毛)，且與滿(mǎn)足=2①，

又丁=弁在(0,+?)上是增函數(shù)，且0<2<e,所以/e(0,l),

又知：/(x)gx=/(/)=2*一0"，②

22

由①可得e"=—，代入②得/(月,皿=/(%)=21nA,

X。x0

令g(x)=21nx—2,則g'(x)=2+§=2(X：1)>0恒成立,

xxxx

所以g(x)在(0,1)上是增函數(shù)，

所以g(%)<g⑴=-2<0,即g(%)<0,

所以/(x)<0.

10.(2020?四川達(dá)州?高二期末(理))已知aeH,函數(shù)/(x)=x-alnx,g(x)=1x2-ar.

(1)討論/(x)的單調(diào)性；

⑵記函數(shù)〃(x)=g(x)—“X),求〃(x)在上的最小值.

【答案】(1)答案見(jiàn)解析；(2)答案見(jiàn)解析.

【解析】(1),.,/(x)=x-alnx(x>0),則/'(*)=1一@=^~^.

當(dāng)“40時(shí)，當(dāng)xw(0,+oo)時(shí)，/'(x)>(),函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增；

當(dāng)a>0時(shí),當(dāng)xe(a,+oo)時(shí)，r(x)>。，函數(shù)y=/(x)單調(diào)遞增，

當(dāng)%?0,a)時(shí),f'(x)<0,函數(shù)y=〃x)單調(diào)遞減.

綜上所述，當(dāng)awo時(shí)，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0,+8)；

當(dāng)a>0時(shí)，函數(shù)y=/(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,a),單調(diào)遞增區(qū)間為(a,+8)；

⑵A(x)=^(x)-/(x)=^x2

-ax-x-i-a\nxXE

%)=尤-加1+凹=下—("+辦+"[INI).

XXX

①當(dāng)aNl時(shí)，對(duì)任意的〃(x)>0,函數(shù)y=/z(x)單調(diào)遞增,

上的最小值為=/｛：)=一(一3一。加2；

所以，函數(shù)y=/z(x)在

、乙)oZ

②若a〈g,對(duì)任意的〃'(x)<0,函數(shù)>=力(力單調(diào)遞減,

1

所以，函數(shù)y=Mx)在pl上的最小值為〃(》)*=〃(1)=-a——

2

1

③若!<a<l時(shí)，當(dāng)時(shí)，〃'(x)>0,函數(shù)y=〃(x)單調(diào)遞增,

2

當(dāng)X€(a,l)時(shí),〃'(x)<0,函數(shù)y=〃(x)單調(diào)遞減,

又因?yàn)榱?---?ln2,,

82v'2

11ac

拈卜0)=--a---=--+——nl1n2.

827282

(i)當(dāng)工+@—4加220時(shí)，即當(dāng)——-時(shí)，力(；卜力⑴,

82281n2-4

此時(shí)，函數(shù)y=/l(x)在區(qū)間3』上的最小值為MMmin=MD=1

-a——

mm2

(ii)當(dāng)工+3一aln2<0時(shí)，即當(dāng)-------<a<l時(shí)，/?[—]</?(!).

8281n2-4v7

此時(shí)，函數(shù)y=M%)在區(qū)間1,1上的最小值為〃(x)“n7,1、3a_.