復變函數(shù)課件2-3初等函數(shù)

復變函數(shù)課件2-3初等函數(shù)目錄引言初等函數(shù)解析函數(shù)冪級數(shù)展開式初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式引言010102由實數(shù)和虛數(shù)組成的數(shù)，表示為a+bi，其中a和b是實數(shù)，i是虛數(shù)單位。復數(shù)域上的函數(shù)，即對于每一個復數(shù)z，都有一個唯一的復數(shù)w=f(z)與之對應。復數(shù)復變函數(shù)復數(shù)與復變函數(shù)01復平面02函數(shù)圖像由橫軸表示實部，縱軸表示虛部的平面。復變函數(shù)的圖像是復平面上的一條曲線或曲面。復變函數(shù)的幾何意義在電磁學、波動理論和量子力學等領域中，復變函數(shù)被廣泛用于描述和解決各種問題。物理學在電子工程、控制理論和信號處理等領域，復變函數(shù)被用于分析和設計各種系統(tǒng)。工程學復變函數(shù)的應用初等函數(shù)02010203復數(shù)域上的指數(shù)函數(shù)定義為(z=e^{a+bi})，其中(a)和(b)是實數(shù)，(z)是復數(shù)。指數(shù)函數(shù)定義指數(shù)函數(shù)具有連續(xù)性、可微性、可積性等性質。在復平面上，指數(shù)函數(shù)(e^z)的圖像是一個以原點為中心的等距螺線。指數(shù)函數(shù)的性質對于復數(shù)域上的指數(shù)函數(shù)，其導數(shù)為(e^z)的形式，滿足(dz/dz=e^z)的關系。指數(shù)函數(shù)的導數(shù)指數(shù)函數(shù)01三角函數(shù)的定義復數(shù)域上的三角函數(shù)定義為(sin(z))、(cos(z))和(tan(z))，其中(z)是復數(shù)。02三角函數(shù)的性質三角函數(shù)具有周期性、對稱性等性質。在復平面上，三角函數(shù)的圖像是封閉的曲線或曲面。03三角函數(shù)的導數(shù)對于復數(shù)域上的三角函數(shù)，其導數(shù)可以通過鏈式法則求得，例如(cos'(z)=-sin(z))和(sin'(z)=cos(z))。三角函數(shù)

冪函數(shù)冪函數(shù)的定義復數(shù)域上的冪函數(shù)定義為(z^n)，其中(n)是實數(shù)，(z)是復數(shù)。冪函數(shù)的性質冪函數(shù)具有連續(xù)性、可微性、可積性等性質。在復平面上，冪函數(shù)的圖像是一個以原點為中心的等距圓盤。冪函數(shù)的導數(shù)對于復數(shù)域上的冪函數(shù)，其導數(shù)為(nz^{n-1})的形式，滿足(dz/dz=nz^{n-1})的關系。解析函數(shù)03解析函數(shù)：如果一個復變函數(shù)在某區(qū)域內的全純函數(shù)，則稱該函數(shù)為解析函數(shù)。解析函數(shù)一定有定義，且在定義域內是連續(xù)的。解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析的，且導數(shù)在定義域內也是連續(xù)的。解析函數(shù)的定義01解析函數(shù)的導數(shù)仍然是解析的。02解析函數(shù)在其定義域內是無限次可微的。03解析函數(shù)的實部和虛部都是實可微的，且滿足Cauchy-Riemann方程。解析函數(shù)的性質柯西積分公式如果一個復變函數(shù)在某區(qū)域內是解析的，則該函數(shù)在該區(qū)域內的積分可以用該函數(shù)在該區(qū)域內的值來表示。解析函數(shù)的零點性質如果一個解析函數(shù)在某點處的值為零，則該函數(shù)在該點處的一階導數(shù)也為零?？挛?黎曼方程如果一個復變函數(shù)在某點處滿足柯西-黎曼方程，則該函數(shù)在該點處是解析的。解析函數(shù)的判別法冪級數(shù)展開式04冪級數(shù)展開式將一個復數(shù)函數(shù)表示為無窮級數(shù)的形式，其中每一項都是該函數(shù)的冪次與一個常數(shù)的乘積。冪級數(shù)展開式的一般形式為f(z)=a0+a1*z+a2*z^2+a3*z^3+...+an*z^n+...冪級數(shù)展開式的定義一個復數(shù)函數(shù)在其定義域內只有唯一的冪級數(shù)展開式。唯一性收斂性可微性冪級數(shù)展開式在復平面上的收斂域內是收斂的，即當z在收斂域內時，冪級數(shù)展開式無限趨近于f(z)。如果一個復數(shù)函數(shù)在其定義域內可微，那么它的冪級數(shù)展開式在收斂域內也是可微的。030201冪級數(shù)展開式的性質通過冪級數(shù)展開式，可以用多項式逼近復雜的函數(shù)，從而簡化計算和分析。函數(shù)逼近在工程和科學計算中，常常需要計算復雜函數(shù)的值，通過冪級數(shù)展開式可以快速近似計算出函數(shù)的值。近似計算通過冪級數(shù)展開式，可以將一個函數(shù)在某個區(qū)域內的性質擴展到其他區(qū)域。解析延拓冪級數(shù)展開式的應用初等函數(shù)的冪級數(shù)展開式0503應用利用指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式，可以方便地計算復數(shù)冪次和指數(shù)函數(shù)的值。01指數(shù)函數(shù)冪級數(shù)展開式$e^z=sum_{n=0}^{infty}frac{z^n}{n!}$02展開式的收斂域對于任意復數(shù)z，冪級數(shù)展開式在復平面上是處處收斂的。指數(shù)函數(shù)的冪級數(shù)展開式123$sin(z)=sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{z^{2n+1}}{(2n+1)!}$，$cos(z)=sum_{n=0}^{infty}(-1)^nfrac{z^{2n}}{(2n)!}$三角函數(shù)冪級數(shù)展開式對于實數(shù)z，三角函數(shù)冪級數(shù)展開式在復平面上是處處收斂的。展開式的收斂域利用三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式，可以方便地計算復數(shù)三角函數(shù)的值。應用三角函數(shù)的冪級數(shù)展開式冪函數(shù)冪級數(shù)展開式$z^n=sum_{k=0}^{infty}binom{n}{k}