2023高考數(shù)學(xué)逆襲系列之微專題11-數(shù)列中的最值、范圍及奇偶項(xiàng)問(wèn)題

上篇板塊二數(shù)列微專題11數(shù)列中的最值、范圍及奇偶項(xiàng)問(wèn)題題型聚焦

分類突破高分訓(xùn)練

對(duì)接高考1.數(shù)列中的最值、范圍問(wèn)題的常見類型有：(1)求數(shù)列和式的最值、范圍；(2)滿足數(shù)列的特定條件的n的最值與范圍；(3)求數(shù)列不等式中參數(shù)的取值范圍.2.數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題的常見題型 (1)數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)和或積的問(wèn)題(an＋an＋1＝f(n)或an·an＋1＝f(n))； (2)含有(－1)n的類型； (3)含有{a2n}，{a2n－1}的類型； (4)已知條件明確奇偶項(xiàng)問(wèn)題.1題型聚焦

分類突破核心歸納類型一求數(shù)列和式的最值、范圍(2)利用和式的單調(diào)性；(3)把數(shù)列的和式看作函數(shù)求其最值、值域.

例1

已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且a1＋a6＝a4，S6＝9，數(shù)列{bn}滿足b1＝2，bn－bn－1＝2n－1(n≥2，n∈N*). (1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式；解

由S6＝3(a1＋a6)＝3(a3＋a4)＝3a4＝9，得a4＝3，a3＝0，故數(shù)列{an}的公差d＝3，an＝a3＋(n－3)d＝3n－9，即數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝3n－9(n∈N*).當(dāng)n≥2時(shí)，bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝2n－1＋2n－2＋…＋2＋2＝2n，而b1＝2，故bn＝2n，即數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n(n∈N*).(2)求數(shù)列{anbn}的前n項(xiàng)和Tn，并求Tn的最小值.解

Tn＝－6×2－3×22＋…＋(3n－12)×2n－1＋(3n－9)×2n，2Tn＝－6×22－3×23＋…＋(3n－12)×2n＋(3n－9)×2n＋1.上述兩式相減得－Tn＝－12＋3×22＋…＋3×2n－(3n－9)×2n＋1＝－24－(3n－12)×2n＋1，故Tn＝(3n－12)×2n＋1＋24(n∈N*).設(shè)cn＝(3n－12)×2n＋1，顯然當(dāng)n≥4時(shí)，cn≥0，Tn≥24且單調(diào)遞增.而c1＝－36，c2＝－48，c3＝－48，故Tn的最小值為T2＝T3＝－24.例2

設(shè)Sn是數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且an是Sn和2的等差中項(xiàng).(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解∵an是Sn和2的等差中項(xiàng)，∴Sn＋2＝2an.①當(dāng)n＝1時(shí)，S1＋2＝2a1，解得a1＝2；當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＋2＝2an－1(n≥2，n∈N*).②①－②得Sn－Sn－1＝2an－2an－1(n≥2)，∴an＝2an－2an－1，∴數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，∴an＝2n(n∈N*).∵2n＋1－1≥3，得2Sn＋n2＝2ann＋n，①所以2Sn＋1＋(n＋1)2＝2an＋1(n＋1)＋(n＋1)，②②－①，得2an＋1＋2n＋1＝2an＋1(n＋1)－2ann＋1，化簡(jiǎn)得an＋1－an＝1，所以數(shù)列{an}是公差為1的等差數(shù)列.(2)若a4，a7，a9成等比數(shù)列，求Sn的最小值.解由(1)知數(shù)列{an}的公差為1.(a1＋6)2＝(a1＋3)(a1＋8)，解得a1＝－12.所以當(dāng)n＝12或13時(shí)，Sn取得最小值，最小值為－78.類型二求n的最值或范圍求n的值或最值一般化歸為解關(guān)于n的不等式問(wèn)題.

核心歸納解

設(shè)數(shù)列{an}的公差為d，{bn}的公比為q(q>0)，因?yàn)閧bn}是公比大于0的等比數(shù)列，且b1＝1，b3＝b2＋2，所以q2＝q＋2，解得q＝2，所以bn＝2n－1.若存在k，使得對(duì)任意的n∈N*，都有ck≤cn，則cn存在最小值.若選①，解答過(guò)程如下.因?yàn)閚∈N*，所以n2＋n≥2，所以cn不存在最小值，即不存在滿足題意的k.若選②，解答過(guò)程如下.因?yàn)楫?dāng)n≤20時(shí)，cn>0，當(dāng)n≥21時(shí)，cn<0，即存在k＝21，使得對(duì)任意的n∈N*，都有ck≤cn.若選③，解答過(guò)程如下.由b5＝a4＋2a6，a2＋a3＝b4，因?yàn)?n2＋26n≥28，所以cn不存在最小值，即不存在滿足題意的k.訓(xùn)練2

記Sn是公差不為0的等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a3＝S5，a2a4＝S6.(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式an；解由等差數(shù)列的性質(zhì)可得S5＝5a3，則a3＝5a3，所以a3＝0.設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，則a2a4＝(a3－d)(a3＋d)＝－d2，S6＝S5＋a6＝5a3＋a3＋3d＝3d，從而－d2＝3d，由于公差不為零，故d＝－3，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝a3＋(n－3)d＝－3n＋9(n∈N*).(2)求使Sn≥an成立的n的最大值.解由數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可得a1＝6，則不等式Sn≥an即n2－7n＋6≤0，整理可得(n－1)(n－6)≤0，解得1≤n≤6，又n為正整數(shù)，故n的最大值為6.類型三求數(shù)列不等式中參數(shù)的取值范圍核心歸納此類問(wèn)題以數(shù)列為載體，一般涉及數(shù)列的求和，考查不等式的恒成立問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問(wèn)題.

解因?yàn)?Sn＋1＝3Sn－9，所以當(dāng)n≥2時(shí)，4Sn＝3Sn－1－9，(2)設(shè)數(shù)列{bn}滿足3bn＋(n－4)an＝0(n∈N*)，記{bn}的前n項(xiàng)和為Tn.若Tn≤λbn對(duì)任意n∈N*恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍.解因?yàn)?bn＋(n－4)an＝0，因?yàn)門n≤λbn對(duì)任意n∈N*恒成立，所以(λ＋3)n－4λ≥0.記f(n)＝(λ＋3)n－4λ(n∈N*)，所以λ的取值范圍是[－3，1].可知1>a1>a2>a3>a4，a5>a6>a7>…>an>1(n∈N*).∴數(shù)列{an}中的最大項(xiàng)為a5＝2，最小項(xiàng)為a4＝0.(2)若對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范圍.已知對(duì)任意的n∈N*，都有an≤a6成立，即a的取值范圍是(－10，－8).類型四數(shù)列中的奇、偶項(xiàng)問(wèn)題核心歸納對(duì)于通項(xiàng)公式分奇、偶項(xiàng)有不同表達(dá)式的數(shù)列{an}求Sn時(shí)，我們可以分別求出奇數(shù)項(xiàng)的和與偶數(shù)項(xiàng)的和，也可以把a(bǔ)2k－1＋a2k看作一項(xiàng)，求出S2k，再求S2k－1＝S2k－a2k.

例5

已知數(shù)列{an}滿足an＋1＋an＝4n－3(n∈N*).(1)若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，求a1的值；解

若數(shù)列{an}是等差數(shù)列，則an＝a1＋(n－1)d，an＋1＝a1＋nd.由an＋1＋an＝4n－3，得a1＋nd＋a1＋(n－1)d＝4n－3，即2d＝4，2a1－d＝－3，(2)當(dāng)a1＝2時(shí)，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.解

法一由an＋1＋an＝4n－3(n∈N*)，得an＋2＋an＋1＝4n＋1(n∈N*).兩式相減，得an＋2－an＝4，由a2＋a1＝1，a1＝2，得a2＝－1，所以數(shù)列{a2n－1}是首項(xiàng)為a1＝2，公差為4的等差數(shù)列，數(shù)列{a2n}是首項(xiàng)為a2＝－1，公差為4的等差數(shù)列，當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an＝2n，an－1＝2n－7.當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an＝2n－5，an－1＝2n－2，法二由于an＋1＋an＝4n－3，(2)求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.2高分訓(xùn)練

對(duì)接高考一、基本技能練1.已知等差數(shù)列{an}與數(shù)列{bn}滿足a2＝1，b1＝a3≠0，且數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和Sn＝(n－2)·2n＋1＋4，n∈N*. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；解

a1·b1＝S1＝0，且b1≠0，所以a1＝0，又a2＝1，所以{an}的公差為1，所以an＝n－1(n∈N*).n≥2時(shí)，an·bn＝Sn－Sn－1＝(n－1)×2n，此時(shí)bn＝2n(n≥2)，又b1＝a3＝2，滿足bn＝2n，所以bn＝2n(n∈N*).得2n＋1－1>2023，所以n的最小值為10.2.已知等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；解

∵等差數(shù)列{an}的公差為2，前n項(xiàng)和為Sn，且S1，S2，S4成等比數(shù)列，∴Sn＝na1＋n(n－1)，(2a1＋2)2＝a1(4a1＋12)，解得a1＝1，∴an＝2n－1(n∈N*).解