南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題含解析

試卷第=page22頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)試卷第=page11頁(yè)，共=sectionpages44頁(yè)江蘇省南京師范大學(xué)附屬中學(xué)2021-2022學(xué)年高一下學(xué)期期中數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)為實(shí)數(shù)，平面向量，，若，則的值為（

）A．4 B． C．1 D．2．已知復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限3．在中，，，，則（

）A． B． C． D．4．已知均為銳角，且，則（

）A．0 B． C． D．15．已知點(diǎn)P是△ABC所在平面內(nèi)點(diǎn)，有下列四個(gè)等式：甲：；

乙：；丙：；

?。海绻挥幸粋€(gè)等式不成立，則該等式為（

）A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.若，則的形狀是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．等腰三角形 D．等腰直角三角形7．若點(diǎn)均位于單位圓上，且，則的最大值為（

）A． B． C． D．8．如圖，某次帆船比賽LOGO的設(shè)計(jì)方案如下：在直角三角形中挖去以點(diǎn)O為圓心，為半徑的扇形，使得扇形的面積是直角三角形面積的一半.記，則的值為（

）A． B．2 C．1 D．4二、多選題9．下列四個(gè)等式中正確的有（

）A． B．C． D．10．設(shè)，為復(fù)數(shù)，.下列命題中正確的有（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則11．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的有（

）A．的最小正周期為B．直線是圖象的一條對(duì)稱軸C．在上單調(diào)遞增D．若在區(qū)間上的最大值為，則12．在銳角中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，且，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B． C． D．三、填空題13．設(shè)為實(shí)數(shù)，復(fù)數(shù)，.若為純虛數(shù)，則的虛部為___________.14．如圖，照片中的建筑是某校的學(xué)生新宿舍樓，學(xué)生李明想要測(cè)量宿舍樓的高度.為此他進(jìn)行了如下測(cè)量：首先選定觀測(cè)點(diǎn)A和B，測(cè)得A，B兩點(diǎn)之間的距離為33米，然后在觀測(cè)點(diǎn)A處測(cè)得仰角，進(jìn)而測(cè)得，.根據(jù)李明同學(xué)測(cè)得的數(shù)據(jù)，該宿舍樓的高度為___________米.15．已知，且為鈍角，則的值為___________.四、雙空題16．已知平面向量滿足，，且.記的夾角為，則的最小值為___________；的最小值為___________.五、解答題17．在平面四邊形中，，.(1)若，，求；(2)若，，求.18．如圖，在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)，G分別在邊AB，AD，BC上，且滿足AE＝AB，AF＝AD，BG＝BC，設(shè)，.（1）用，表示，；（2）若EF⊥EG，，求角A的值.19．設(shè)復(fù)數(shù)，，已知.(1)求的值；(2)若，求的值.20．在中，已知∠BAC＝120°，，O是的外接圓圓心.(1)求；(2)若的面積為，且，求.21．已知函數(shù).(1)求的最小正周期；(2)在①的面積為；②邊上的中線長(zhǎng)為；③這三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，若問(wèn)題中的三角形存在，求該三角形的面積；若問(wèn)題中的三角形不存在，說(shuō)明理由.問(wèn)題：是否存在，它的內(nèi)角的對(duì)邊分別為，且，，___________？注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分.22．在中，內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c.已知，.(1)求證：是直角三角形；(2)已知，，點(diǎn)P，Q是邊AC上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)（P，Q不重合），記.①當(dāng)時(shí)，設(shè)的面積為，求的最小值；②記，.問(wèn)：是否存在實(shí)常數(shù)和，對(duì)于所有滿足題意的，，都有成立？若存在，求出和的值；若不存在，說(shuō)明理由.答案第=page1212頁(yè)，共=sectionpages1313頁(yè)答案第=page1313頁(yè)，共=sectionpages1313頁(yè)參考答案：1．B【分析】根據(jù)向量平行的坐標(biāo)公式計(jì)算即可得解.【詳解】解：因?yàn)?，所以，解?故選：B.2．A【解析】由題,利用除法法則整理為的形式,即可得到復(fù)數(shù)的坐標(biāo)形式,進(jìn)而求解即可【詳解】由題,,所以在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的坐標(biāo)表示,考查復(fù)數(shù)在復(fù)平面的位置,考查復(fù)數(shù)的除法法則的應(yīng)用3．D【分析】利用正弦定理求出，再利用平方關(guān)系即可得解.【詳解】解：在中，，，，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所?故選：D.4．D【分析】利用兩角和公式展開，可求得，進(jìn)而，即可求解【詳解】，，即，所以，因?yàn)榫鶠殇J角，所以，所以，所以，故選：D5．B【分析】先根據(jù)向量等式推導(dǎo)出甲中P為△ABC的重心，乙中△ABC為直角三角形，丙中P為△ABC的外心，丁中P為△ABC的垂心，故得到當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，此時(shí)甲丙丁均成立，乙不成立，得到答案.【詳解】甲：，則，故P為△ABC的重心；乙：，則，故，即△ABC為直角三角形；丙：點(diǎn)P到三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等，故P為△ABC的外心；?。?，則，同理可得：，即P為△ABC的垂心，當(dāng)△ABC為等邊三角形時(shí)，三心重合，此時(shí)甲丙丁均成立，乙不成立，滿足要求，當(dāng)乙成立時(shí)，其他三個(gè)均不一定成立.故選：B．6．C【分析】通過(guò)正弦定理將邊化為角，化簡(jiǎn)即可得結(jié)果.【詳解】由正弦定理得，即，由于為三角形內(nèi)角，所以.故選：C.7．A【分析】由可求得，利用向量線性運(yùn)算和數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求得，由可求得最大值.【詳解】設(shè)為圓心，則，，解得：；；，.故選：A.8．B【分析】根據(jù)扇形的面積公式得到，再根據(jù)二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系計(jì)算可得；【詳解】解：依題意，解得，所以.故選：B.9．ACD【分析】對(duì)于四個(gè)選項(xiàng)，一一利用三角函數(shù)恒等變形求出對(duì)應(yīng)的值，即可判斷.【詳解】對(duì)于A.，正確；對(duì)于B.，錯(cuò)誤；對(duì)于C.，正確；對(duì)于D.，正確.故選：ACD.10．ABC【分析】由復(fù)數(shù)的性質(zhì)可判斷A，B；利用共軛復(fù)數(shù)的定義和復(fù)數(shù)的運(yùn)算可判斷C；取特殊值可判斷D.【詳解】對(duì)于A，若，因?yàn)?，所以，正確；對(duì)于B，，所以，所以，所以，正確；對(duì)于C，，又，所以，正確；對(duì)于D，，而.故選:.11．BD【分析】運(yùn)用三角恒等變換化簡(jiǎn)函數(shù)，運(yùn)用正弦函數(shù)的周期公式可判斷A選項(xiàng)；代入得，可判斷B；當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷；當(dāng)時(shí)，，由正弦函數(shù)的值域可判斷D.【詳解】解：，所以的最小正周期為故A不正確；因?yàn)?，所以直線是圖象的一條對(duì)稱軸，故B正確；當(dāng)時(shí)，，而函數(shù)在上不單調(diào)，故不正確；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)樵趨^(qū)間上的最大值為，即，所以，所以，解得，故D正確.故選：BD.12．ACD【分析】利用正弦定理角化邊可得到，結(jié)合余弦定理可得，即可判斷C；將化為，結(jié)合，可判斷a,b的大小關(guān)系，判斷A,B;將化為角的關(guān)系，結(jié)合可得，從而可判斷A的范圍，判斷D.【詳解】由正弦定理得，故，所以，即，所以C正確；又，故，所以，A正確，錯(cuò)誤；由得：，所以，即，又，所以，D正確，故選:ACD.13．2【分析】由題可得，進(jìn)而可得，然后根據(jù)復(fù)數(shù)的概念即得.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)，，∴，因?yàn)闉榧兲摂?shù)，所以，此時(shí)，所以的虛部為2.故答案為：2.14．【分析】先在中利用正弦定理求出，再在中求解即可.【詳解】在中，因?yàn)?，，所以，又，所以，即，解得；在中，因?yàn)?，，所以，即該宿舍樓的高度為?故答案為：.15．【分析】先利用同角三角函數(shù)基本關(guān)系和角的范圍求出，再利用半角公式和角的范圍進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)闉殁g角，即，所以，又，所以故答案為：.16．

【分析】由數(shù)量積公式變形可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可得出的最小值，由，可得，解不等式即可得出的取值范圍.【詳解】因?yàn)?，所以，即，所以，?dāng)時(shí)，取到最小值，所以.，所以，解得，又因?yàn)?，所以，故，?dāng)時(shí)取“”.故答案為：；.17．(1)(2)【分析】（1）連接，由余弦定理求得，且，得到，在中，利用正弦定理，即可求得的長(zhǎng)；（2）由（1）知，在中，利用正弦定理求得，得到，進(jìn)而得到，即可求解.(1)解：如圖所示，連接，在中，因?yàn)?，由余弦定理，且，又由，所以，在中，由正弦定理，即，解?(2)解：由（1）知，在中，由正弦定理，又由，所以，因?yàn)?，所以，所以，所?18．（1），；（2）.【解析】(1)以，為基底，進(jìn)行向量加減運(yùn)算，即得結(jié)果；(2)以，為基底，結(jié)合EF⊥EG進(jìn)行數(shù)量積運(yùn)算，再利用，得的關(guān)系式，即解得角A.【詳解】（1）由平面向量的線性運(yùn)算可知，.

（2）由題意，因?yàn)镋F⊥EG，所以，解得，所以，則可化簡(jiǎn)上式為，解得，又，故.19．(1)(2)【分析】（1）表示出，因?yàn)?，由?fù)數(shù)的模長(zhǎng)公式即可求出的值.（2）先求出的值，再求出的值，判斷的范圍，由正切值求出角的值.(1)根據(jù)題意，，因?yàn)?，所以，即，即，解?(2)因?yàn)?，所以，所以，因?yàn)?，所以，所?20．(1)；(2)．【分析】(1)為外接圓半徑，根據(jù)正弦定理即可求解；(2)根據(jù)三角形面積和面積公式可求，再結(jié)合余弦定理和AC＞AB即可求出AC、AB長(zhǎng)度.設(shè)D是邊的中點(diǎn)，連接，根據(jù)即可求解．(1)在中，為三角形外接圓半徑，則由正弦定理得，，解得．(2)在中，由余弦定理得，，即，①由的面積為得，，∴，②聯(lián)立①②及，解得．設(shè)D是邊的中點(diǎn)，連接，∵是的外接圓圓心，∴．∴．21．(1)(2)若選①，三角形存在，面積為；若選②，三角形存在，面積為；若選③，三角形不存在，理由見(jiàn)解析【分析】（1）利用二倍角和輔助角公式化簡(jiǎn)得，由正弦型函數(shù)周期性可得結(jié)論；（2）利用，結(jié)合的范圍，可求得；若選①，由三角形面積公式和可構(gòu)造方程組求得，，從而利用兩角和差公式求得；再利用正弦定理求得后，由得所求面積；若選②，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，等式左右平方后，根據(jù)向量數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得，即邊，由得所求面積；若選③，利用余弦定理可化簡(jiǎn)已知等式求得，由作圓法可驗(yàn)證得，知三角形不存在.(1)，的最小正周期.(2)由（1）得：，則，，，，解得：.若選條件①，，，，又，，又，，，，，由正弦定理得：，；若選條件②，設(shè)邊的中點(diǎn)為，則，邊上的中線長(zhǎng)為，，即，，，即，又，，即，；若選條件③，，，即，又，，由知：，，，不存在.22．(1)證明見(jiàn)解析(2)①②存在，，【分析】（1）利用三角形的內(nèi)角和定理和誘導(dǎo)公式將化為，再利用兩角和差公式和二倍角公式進(jìn)行化簡(jiǎn)，進(jìn)而判定三角形的形狀；（2）①設(shè)，利用正弦定理求出、，再利用三角形的面積公式和三角函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解；②假設(shè)存在實(shí)常數(shù)，利用三角恒等變形得到恒等式，將其轉(zhuǎn)化為進(jìn)行求解.【詳解】（1）證明：