高二數(shù)學寒假講義練習（人教B用 選擇性必修二）第04講 排列、組合與二項式定理（學生卷）

第04講排列、組合與二項式定理【易錯點總結(jié)】排列與組合1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象并按照一定的順序排成一列，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個排列組合并成一組，稱為從n個不同對象中取出m個對象的一個組合2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有排列的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的排列數(shù)，用符號Aeq\o\al(m,n)表示.(2)從n個不同對象中取出m(m≤n)個對象的所有組合的個數(shù)，稱為從n個不同對象中取出m個對象的組合數(shù)，用符號Ceq\o\al(m,n)表示.3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,（n－m）！).(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(Aeq\o\al(m,n),Aeq\o\al(m,m))＝eq\f(n（n－1）（n－2）…（n－m＋1）,m！)＝eq\f(n！,m?。╪－m）！)(n，m∈N*，且m≤n).特別地Ceq\o\al(0,n)＝1性質(zhì)(1)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！.(2)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m＋1,n)＋Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m＋1,n＋1)二項式定理1.二項式定理(1)二項式定理：(a＋b)n＝Ceq\o\al(0,n)an＋Ceq\o\al(1,n)an－1b＋…＋Ceq\o\al(k,n)an－kbk＋…＋Ceq\o\al(n,n)bn(n∈N*)；(2)通項公式：Tk＋1＝Ceq\o\al(k,n)an－kbk，它表示第k＋1項；(3)二項式系數(shù)：二項展開式中各項的系數(shù)Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，…，Ceq\o\al(n,n).2.二項式系數(shù)的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)描述對稱性與首末等距離的兩個二項式系數(shù)相等，即Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)增減性二項式系數(shù)Ceq\o\al(k,n)當k＜eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞增的當k＞eq\f(n＋1,2)(n∈N*)時，是遞減的二項式系數(shù)最大值當n為偶數(shù)時，中間的一項取得最大值當n為奇數(shù)時，中間的兩項與相等且取得最大值3.各二項式系數(shù)和(1)(a＋b)n展開式的各二項式系數(shù)和：Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋…＋Ceq\o\al(n,n)＝2n.(2)奇數(shù)項的二項式系數(shù)的和等于偶數(shù)項的二項式系數(shù)的和，即Ceq\o\al(0,n)＋Ceq\o\al(2,n)＋Ceq\o\al(4,n)＋…＝Ceq\o\al(1,n)＋Ceq\o\al(3,n)＋Ceq\o\al(5,n)＋…＝2n－1.(a＋b)n的展開式形式上的特點(1)項數(shù)為n＋1.(2)各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n，即a與b的指數(shù)的和為n.(3)字母a按降冪排列，從第一項開始，次數(shù)由n逐項減1直到零；字母b按升冪排列，從第一項起，次數(shù)由零逐項增1直到n.(4)二項式系數(shù)從Ceq\o\al(0,n)，Ceq\o\al(1,n)，一直到Ceq\o\al(n－1,n)，Ceq\o\al(n,n).【重難點剖析】考點一：排列與組合1．現(xiàn)有5名同學去聽同時進行的4個課外知識講座，每名同學可自由選擇其中的一個講座，不同選法的種數(shù)是（

）A． B． C．20 D．92．將4名新老師安排到三所學校去任教，每所學校至少一人，則不同的安排方案的種數(shù)是（

）A．54 B．36 C．24 D．183．北京某大學為第十八屆四中全會招募了名志愿者（編號分別是，，…，號），現(xiàn)從中任意選取人按編號大小分成兩組分配到江西廳、廣電廳工作，其中三個編號較小的人在一組，三個編號較大的在另一組，那么確保號、號與號同時入選并被分配到同一廳的選取種數(shù)是（

）A． B．C． D．4．某校從8名青年教師中選派4名分別作為四個學生社團的指導教師，每個社團各派去1名教師，其中教師甲和乙不能同時參加，甲和丙只能都參加或都不參加，則不同的選派方案有（

）A．360種 B．480種 C．600種 D．720種5．當前，國際疫情仍未得到有效控制，國內(nèi)防控形勢依然嚴峻?復雜.某地區(qū)安排A，B，C，D四名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，每人只去一個地區(qū)，且A，B兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．24種 B．30種 C．36種 D．72種．考點二：二項式定理6．展開式中的系數(shù)為（

）A． B． C． D．7．的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C．80 D．2008．在的展開式中，二項式系數(shù)的和是16，則展開式中各項系數(shù)的和為（

）A．16 B．32 C．1 D．9．已知的展開式共有13項，則下列說法中正確的有（

）A．展開式所有項的系數(shù)和為 B．展開式二項式系數(shù)最大為C．展開式中沒有常數(shù)項 D．展開式中有理項共有5項10．若，則的值是（

）A．1 B．2 C． D．【基礎過關(guān)】一、單選題1．甲乙丙丁4名同學站成一排拍照，若甲不站在兩端，不同排列方式有（

）A．6種 B．12種 C．36種 D．48種2．已知二項式展開式的二項式系數(shù)和為64，則展開式中常數(shù)項為（

）A． B． C．15 D．203．2022年北京冬奧會吉祥物“冰墩墩”和冬殘奧會吉祥物“雪容融”，有著可愛的外表和豐富的寓意，深受各國人民的喜愛.某商店有3個不同造型的“冰墩墩”吉祥物和2個不同造型的“雪容融”吉祥物展示在柜臺上，要求“冰墩墩”和“雪容融”彼此間隔排列，則不同的排列方法有多少種？（

）A．24 B．12 C．6 D．24．已知甲袋子中裝有1個紅球和3個白球，乙袋子中裝有3個紅球和2個白球，若從甲、乙兩個袋子中各取出2個球，則取出的4個球中恰有2個紅球的不同取法共有（

）A．9種 B．18種 C．27種 D．36種5．已知（1+2x）n的展開式中第3項與第9項的二項式系數(shù)相等，則所有偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和為（

）A．211 B．210 C．29 D．286．教育部于2022年開展全國高校書記校長訪企拓崗促就業(yè)專項行動，某市4所高校的校長計劃拜訪當?shù)氐募?、乙兩家企業(yè)，若每名校長拜訪1家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長，則不同的安排方法共有（

）A．8種 B．10種 C．14種 D．20種7．若展開式中只有第4項的二項式系數(shù)最大，則展開式的常數(shù)項是（

）A．160 B．60 C． D．8．某中學為了更好地培養(yǎng)學生勞動實踐能力，舉辦了一次勞動技術(shù)比賽.根據(jù)預賽成績，最終確定由甲、乙等5名同學進入決賽，決出第1名到第5名的名次.決賽后甲和乙去詢問成績，回答者對甲說：“很遺憾，你沒有得到冠軍.”對乙說：“你和甲都不是最差的.”從這兩個回答分析，甲、乙等5人的決賽名次可能有（

）種排列情況.A．18 B．36 C．54 D．72二、多選題9．在二項式的展開式中，正確的說法是（

）A．常數(shù)項是第項 B．各項的系數(shù)和是C．第項二項式系數(shù)最大 D．奇數(shù)項二項式系數(shù)和為10．現(xiàn)分配甲、乙、丙三名臨床醫(yī)學檢驗專家到A，B，C，D，E五家醫(yī)院進行核酸檢測指導，每名專家只能選擇一家醫(yī)院，且允許多人選擇同一家醫(yī)院，則（

）A．所有可能的安排方法有125種B．若A醫(yī)院必須有專家去，則不同的安排方法有61種C．若專家甲必須去A醫(yī)院，則不同的安排方法有16種D．若三名專家所選醫(yī)院各不相同，則不同的安排方法有10種三、填空題11．若的展開式中所有項的系數(shù)和為243，則展開式中的系數(shù)是___________.12．為弘揚我國古代“六藝”文化，某校研學活動社團計劃開設“禮、樂、射、御、書、數(shù)”六門體驗課程.若甲、乙、丙三位同學均只能體驗其中一門課程，則恰有3門課程沒有被這三位同學選中的概率為______.四、解答題13．在的展開式中，求：(1)二項式系數(shù)的和；(2)各項系數(shù)的和；(3)奇數(shù)項系數(shù)和．14．（1）書架上有3本不同的語文書，4本不同的數(shù)學書，2本不同的英語書，將這些書全部豎起排成一排，如果同類書不能分開，一共有多少種不同的排法？（2）某學校要安排5位同學表演文藝節(jié)目的順序，要求甲既不能第一個出場，也不能最后一個出場，則共有多少種不同的安排方法？15．某學習小組有4名男生和3名女生共7人．(1)將這7人排成一排，4名男生相鄰有多少種不同的排法？(2)從中選出2名男生和2名女生分別承擔4種不同的任務，有多少種不同的選派方法？【能力提升】一、單選題1．若，則（

）A．5 B． C．3 D．2．從1，2，3，4，5，6這6個數(shù)中任取兩個數(shù)，則兩個數(shù)之和為偶數(shù)的概率為（

）A． B． C． D．3．的展開式中項的系數(shù)為（）A． B． C．80 D．2004．某校為落實“雙減”政策，在課后服務時間開展了豐富多彩的體育興趣小組活動.現(xiàn)有，，，四名同學擬參加足球、籃球、排球、羽毛球、乒乓球等五項活動，由于受個人精力和時間限制，每個人只能等可能的參加其中一項，則恰有兩人參加同一項活動的概率為（

）A． B． C． D．5．當前，國際疫情仍未得到有效控制，國內(nèi)防控形勢依然嚴峻?復雜.某地區(qū)安排A，B，C，D四名同志到三個地區(qū)開展防疫宣傳活動，每個地區(qū)至少安排一人，每人只去一個地區(qū)，且A，B兩人不安排在同一個地區(qū)，則不同的分配方法總數(shù)為（

）A．24種 B．30種 C．36種 D．72種二、填空題6．某辦公樓前有7個連成一排的車位，現(xiàn)有三輛不同型號的車輛停放，恰有兩輛車停放在相鄰車位的方法有___________種．7．二項式定理，又稱牛頓二項式定理，由艾薩度克·牛頓于1664年、1665年間提出，據(jù)考證，我國至遲在11世紀，北宋數(shù)學家賈憲就已經(jīng)知道了二項式系數(shù)法則.在的二項式展開式中，的系數(shù)為______.三、解答題8．中國古代中的“禮、樂、射、御、書、數(shù)”合稱“六藝”．某校國學社團開展“六藝