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第四節(jié)幾種特殊類型函數(shù)的不定積分有理函數(shù)的定義：兩個(gè)多項(xiàng)式的商表示的函數(shù)稱之.一、有理函數(shù)的不定積分假定分子與分母之間沒(méi)有公因式這有理函數(shù)是真分式；這有理函數(shù)是假分式；

利用多項(xiàng)式除法,假分式可以化成一個(gè)多項(xiàng)式和一個(gè)真分式之和.例問(wèn)題：(1)如何將有理真分式分解成較簡(jiǎn)單的分式之和(2)這些較簡(jiǎn)單的分式的最簡(jiǎn)形式有那些？它們的不定積分好積嗎？定理：設(shè)有理真分式，若其分母有分解式（1）分母中若有因式，則分解后為有理函數(shù)化為部分分式之和的一般規(guī)律：特殊地：分解后為（2）分母中若有因式，其中則分解后為特殊地：分解后為真分式化為部分分式之和的待定系數(shù)法例1代入特殊值來(lái)確定系數(shù)取取取并將值代入例2例3整理得例4

求積分解例5

求積分解例6

求積分解令說(shuō)明將有理函數(shù)化為部分分式之和后，只出現(xiàn)三類情況：多項(xiàng)式；討論積分令則記這三類積分均可積出,且原函數(shù)都是初等函數(shù).結(jié)論有理函數(shù)的原函數(shù)都是初等函數(shù).例7

求積分解法一解法二三角有理式的定義：

由三角函數(shù)和常數(shù)經(jīng)過(guò)有限次四則運(yùn)算構(gòu)成的函數(shù)稱之．一般記為二、三角函數(shù)有理式的不定積分令（萬(wàn)能置換公式）例8

求積分解法一由萬(wàn)能置換公式解法二則兩式聯(lián)立得：解法三例9

求積分解（一）解（二）修改萬(wàn)能置換公式,令解（三）可以不用萬(wàn)能置換公式.結(jié)論比較以上三種解法,便知萬(wàn)能置換不一定是最佳方法,故三角有理式的計(jì)算中先考慮其它手段(恒等變形如倍角、半角公式等),不得已才用萬(wàn)能置換.例10

求積分解討論類型解決方法作代換去掉根號(hào).例11

求積分解令三、簡(jiǎn)單無(wú)理函數(shù)的不定積分例12

求積分解令說(shuō)明無(wú)理函數(shù)去根號(hào)時(shí),取根指數(shù)的最小公倍數(shù).例13

求積分解先對(duì)分母進(jìn)行有理化原式簡(jiǎn)單無(wú)理式的積分.有理式分解成部分分式之和的積分.（注意：必須化成真分式）三角有理式的積分.（萬(wàn)能置換公式）（注意：萬(wàn)能公式并不萬(wàn)能）小結(jié)思考題將分式分解成部分分式之和時(shí)應(yīng)注意什么？思考題解答分解后的部分分式必須是最簡(jiǎn)分式.習(xí)題4.4

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