專題08 幾何圖形初步中求線段長度重難點題型分類（解析版）-2023-2024學年七年級數(shù)學上冊重難點題型分類高分必刷題（人教版）

專題08幾何圖形初步中求線段長度重難點題型分類（解析版）專題簡介：本份資料包含《幾何圖形初步》這一章中求線段長度這一模塊全部重要題型，所選題目源自各名校月考、期末試題中的典型考題，具體包含五類題型：簡單利用線段的和差求線段長度、雙中點問題中的線段長度、按比例分配的線段長度、點在直線上的分情況討論求線段長度、用方程方法求線段長度、線段長度中的動點問題，適合于培訓機構(gòu)的老師給學生作復習培訓時使用或者學生考前刷題時使用。題型一：簡單利用線段的和差求線段長度1．（雅禮）如圖，線段AB＝8cm，點C在BA的延長線上，AC＝2cm，M是BC中點，則AM的長是cm．【解答】解：∵AB＝8cm，AC＝2cm，∴BC＝AB+AC＝8cm+2cm＝10cm，∵M是BC的中點，∴CM＝BC＝×10cm＝5cm，∴AM＝CM﹣AC＝5﹣2＝3（cm），故答案為：3．2．（北雅）已知點C，D在線段AB上，且AC＝BD＝1.5，若AB＝7，則CD的長為．【解答】解：如圖：∵AC＝BD＝1.5，AB＝7，∴CD＝AB﹣AC﹣BD＝4，故答案為：4．3.（長梅）如圖，已知M是線段AB的中點，N在AB上，，若，求AB的長.【解答】解：∵MN＝AM，MN＝2m，∴AM＝5cm，∵M是線段AB的中點，∴AB＝2AM＝10cm，即AB的長是10cm4．（雅禮）已知線段AB如圖所示，延長AB至C，使BC＝AB，反向延長AB至D，使AD＝BC，點E是線段CD的中點．（1）依題意補全圖形；（2）若AB的長為4，求BE的長．【解答】解：（1）圖形如圖所示：（2）∵AB＝BC＝4，AD＝AB＝2，∴CD＝AD+AB+BC＝10，∴DE＝EC＝CD＝5，∴EB＝EC﹣BC＝5﹣4＝1．題型二：雙中點問題中的線段長度兩中點間線段長度=“大一半+小一半”或“大一半-小一半”5．（長郡）如圖，C為線段AB的中點，D是線段BC的中點，BD＝4cm，AB＝cm．【解答】解：∵點D是線段BC的中點，BD＝4cm，∴BC＝2BD＝2×4＝8（cm），∵點C是線段AB的中點，∴AB＝2BC＝16（cm），故答案為：16．6．（青竹湖）如圖，已知點C在線段AB上，點M、N分別是AC、BC的中點，且AB＝8cm，則MN的長度為cm．【解答】解：∵點C在線段AB上，點M、N分別為AC和BC的中點，∴MC＝AC，NC＝BC，∴MN＝MC+NC＝（AC+CB）＝AB＝×8＝4（cm），故答案為：4．7．（長郡）如圖，已知線段AB＝16cm，M是AB的中點，P是線段MB上一點，N為PB的中點，NB＝3cm，則線段MP＝cm．【解答】解：∵M是AB的中點，AB＝16cm，∴AM＝BM＝8cm，∵N為PB的中點，NB＝3cm，∴PB＝2NB＝6cm，∴MP＝BM﹣PB＝8﹣6＝2（cm）．故答案為：2．8．（北雅）線段AB＝1，C1是AB的中點，C2是C1B的中點，C3是C2B的中點，C4是C3B的中點，依此類推……，線段AC2022的長為．【解答】解：因為線段AB＝1，C1是AB的中點，所以C1B＝AB＝×1＝；因為C2是C1B的中點，所以C2B＝C1B＝×＝；因為C3是C2B的中點，所以C3B＝C2B＝×＝；...，所以C2022B＝，所以AC2022＝AB﹣C2022B＝1﹣，故答案為：1﹣．9．（一中雙語）如圖，已知C點為線段AB的中點，D點為BC的中點，AB＝10cm，求AD的長度．【解答】解：∵C點為線段AB的中點，D點為BC的中點，AB＝10cm，∴AC＝CB＝AB＝5cm，CD＝BC＝2.5cm，∴AD＝AC+CD＝5+2.5＝7.5cm．10.（青竹湖）如圖，已知點為上一點，，，、分別是、的中點，求的長.【解答】解：∵AC＝18cm，CB＝AC，∴BC＝×18＝12cm，則AB＝AC+BC＝30cm，∵D、E分別為AC、AB的中點，∴AD＝AC＝9cm，AE＝AB＝15cm，∴DE＝AE﹣AD＝15﹣9＝6cm，答：DE的長是6cm．11．（明德）如圖，點C為線段AB的中點，點E為線段AB上的一點，點D為線段AE的中點．（1）若線段AB＝m，CE＝n，|m﹣10|+|n﹣3|＝0，求m，n的值；（2）在（1）的條件下，求線段DC的長．【解答】解：（1）|m﹣10|+（n﹣3）2＝0，∴m﹣10＝0，n﹣3＝0，∴m＝10，n＝3；（2）∵點C為線段AB的中點，AB＝10，∴AC＝BC＝AB＝5，∵CE＝3，∴AE＝AC+CE＝5+3＝8，∵點D為線段AE的中點，∴AD＝AE＝4，∴CD＝AC﹣AD＝5﹣4＝1．12．（廣益）如圖，C是線段AB上一點，線段AB＝25cm，，D是AC的中點，E是AB的中點．（1）求線段CE的長；（2）求線段DE的長．【解答】解：（1）∵AB＝25cm，BC＝AC，∴BC＝AB＝×25＝10（cm），∵E是AB的中點，∴BE＝AB＝12.5cm，∴EC＝12.5﹣10＝2.5（cm）；（2）由（1）得，AC＝AB﹣CB＝25﹣10＝15（cm），∵點D、E分別是AC、AB的中點，∴AE＝AB＝＝12.5（cm），AD＝AC＝＝7.5（cm），∴DE＝AE﹣AD＝12.5﹣7.5＝5（cm）．13．（雅禮）如圖，已知線段AC＝12cm，點B在線段AC上，滿足BC＝AB．（1）求AB的長；（2）若D是AB的中點，E是AC的中點，求DE的長．【解答】解：（1）∵BC＝AB，AC＝12cm，∴BC＝AC＝4cm，∴AB＝AC﹣CB＝12﹣4＝8（cm）；（2）∵D是AB的中點，AB＝8cm，∴AD＝AB＝4cm，∵E是AC的中點，AC＝12cm，∴AE＝AC＝6cm，∴DE＝AE﹣AD＝6﹣4＝2（cm）．14.（青竹湖）如圖，已知線段上有兩點C、D，且，M、N分別是線段AC、AD的中點，若，，且a、b滿足.(1)求AB，AC的長度；(2)求線段MN的長度.【解答】解：（1）由題意可知：（a﹣10）2+|b﹣6|＝0，∴a＝10，b＝6，∴AB＝10cm，AC＝6cm；（2）∵BD＝AC＝6cm，∴AD＝AB﹣BD＝4cm，又∵M、N是AC、AD的中點，∴AM＝3cm，AN＝2cm．∴MN＝AM﹣AN＝1cm．15.（青竹湖）如圖，已知，點是線段的中點，點為線段上的一點，點為線段的中點，。（1）求線段的長；（2）求線段的長。【解答】解：（1）∵點E為線段DB的中點，EB＝6．∴DE＝EB＝6；（2）∵AB＝40，C是AB的中點，∴BC＝AB＝20，又∵E為BD的中點，EB＝6，∴BD＝2EB＝12，∴CD＝BC﹣BD＝20﹣12＝8．16.（周南）如圖，、是線段上兩點，已知，、分別為、的中點，且，（1）求線段的長；（2）求線段的長．【解答】解：（1）∵AC：CD：DB＝1：2：3,AC+CD+DB＝AB＝12cm，∴CD＝AB＝4cm；（2）解：∵AC：CD：DB＝1：2：3，AB＝12cm，∴AC＝2cm，CD＝4cm，DB＝6cm，∵M、N分別為AC、DB的中點，∴MC＝AC＝1cm，DN＝BD＝3cm，∴MN＝MC+CD+DN＝8cm．17．（雅禮）如圖，已知線段AB＝12，點O在線段AB上，點C，D分別是AO，BO的中點．（1）AO＝CO；BO＝DO；（2）求線段CD的長度；（3）小南在反思過程中突發(fā)奇想：若點O在線段AB的延長線上，點C，D分別是AO，BO的中點，請幫小南畫出圖形分析，并求線段CD的長度．【解答】解：（1）∵點C、D分別是AO、BO的中點，∴AO＝2CO；BO＝2DO；故答案為：2，2；（2）∵點C、D分別是AO、BO的中點，∴CO＝AO，DO＝BO，∴CD＝CO+DO＝AO+BO＝AB＝6；（3）仍然成立，如圖：理由：∵點C、D分別是AO、BO的中點，∴CO＝AO，DO＝BO，∴CD＝CO﹣DO＝AO﹣BO＝（AO﹣BO）＝AB＝×12＝6．題型三：按比例分配的線段長度18.(郡維)已知：如圖，兩點把線段分成三部分，是的中點，若，求：線段的長；【解答】解：∵B、C兩點把線段AD分成2：4：3的三部分，2+4+3＝9，∴AB＝AD，BC＝AD，CD＝AD，又∵CD＝6，∴AD＝18，∵M是AD的中點，∴MD＝AD＝9，∴MC＝MD﹣CD＝9﹣6＝3．19．（北雅）如圖，點A、B、C、D在同一條直線上，且AB：BC：CD＝2：3：5，線段BC＝6．（1）求線段AB、CD的長；（2）若在直線上存在一點M使得AM＝2，求線段DM的長．【解答】解（1）∵AB：BC：CD＝2：3：5，且BC＝6；∴AB＝4，CD＝10；（2）∵AB＝4，CD＝10，BC＝6，∴AD＝20，若點M在點A左側(cè)，則DM＝AM+AD＝22，若點M在點A左側(cè)，則DM＝AD﹣AM＝18，綜上所述，線段DM的長為22或18．20．（長郡）如圖，點C，E是線段AB上兩點，點D為線段AB的中點，AB＝6，CD＝1．（1）求BC的長；（2）若AE：EC＝1：3，求EC的長．【解答】解：（1）∵點D為線段AB的中點，AB＝6，∴BD＝AB＝3，∵CD＝1，∴BC＝BD﹣CD＝3﹣1＝2；（2）∵點D為線段AB的中點，AB＝6，∴AD＝AB＝3，∵CD＝1，∴AC＝AD+CD＝4，∵AE：EC＝1：3，∴EC＝×4＝3．題型四：點在直線上的分情況討論求線段長度21．（一中）點A，B，C在直線l上．若AB＝4，AB＝2AC，則BC的長度為．【解答】解：如圖，若點C在AB之間，則BC＝AB﹣AC＝4﹣2＝2；如圖，若點C在BA的延長線上，則BC＝AB+AC＝4+2＝6；故答案為：2或6．22．（3分）已知線段AB＝8cm，在直線AB上有一點C，且BC＝2cm，點M為線段AC的中點，則線段AM的長是cm．【解答】解：①當點C在線段AB的延長線上時，此時AC＝AB+BC＝10cm，∵M是線段AC的中點，則AM＝AC＝5（cm）；②當點C在線段AB上時，AC＝AB﹣BC＝6cm，∵M是線段AC的中點，則AM＝AC＝3（cm）．故答案為：5或3．23.（雅禮）在直線l上取A，B兩點，使AB=10厘米，再在l上取一點C，使AC=2厘米，M，N分別是AB，AC中點．求MN的長度?！窘獯稹拷猓骸逜B＝10厘米，AC＝2厘米，點M、點N分別是AB、AC中點，∴AM＝×10＝5厘米，AN＝×2＝1厘米，①點C在線段AB上時，MN＝AM﹣AN＝5﹣1＝4厘米，②點C不在線段AB上時，MN＝AM+AN＝5+1＝6厘米，綜上所述，MN的長度為4厘米或6厘米．24．（長郡）如圖，點C為線段AB上一點，點D為BC的中點，且AB＝12，AC＝4CD．（1）求AC的長；（2）若點E在直線AB上，且AE＝3，求DE的長．【解答】解：（1）由點D為BC的中點，得BC＝2CD＝2BD，由線段的和差，得AB＝AC+BC＝4CD+2CD＝12，解得：CD＝2，∴AC＝4CD＝4×2＝8；（2）①當點E在線段AB上時，由線段的和差，得DE＝AB﹣AE﹣DB＝12﹣3﹣2＝7，②當點E在線段BA的延長線上，由線段的和差，得DE＝AB+AE﹣BD＝12+3﹣2＝13．綜上所述：DE的長為7或13．題型五：用方程方法求線段長度25．（一中）如圖，已知線段AB的長為x，延長線段AB至點C，使BC＝AB．（1）用含x的代數(shù)式表示線段BC的長和AC的長；（2）取線段AC的中點D，若DB＝3，求x的值．【解答】解：（1）∵AB＝x，BC＝AB，∴BC＝x，∵AC＝AB+BC，∴AC＝x+x＝x．（2）∵AD＝DC＝AC，AC＝x，∴DC＝x，∵DB＝3，BC＝x，∵DB＝DC﹣BC，∴3＝x﹣x，∴x＝12．26.（長郡）如圖，點，在線段上，且滿足．點，分別為線段，的中點，如果，求線段的長度．【解答】解：∵CD＝AD＝BC，∴AD＝4CD，BC＝6CD，設(shè)CD為，則AD＝4，BC＝6，∵點E、F分別為線段AC，BD的中點，∴EC＝AC＝，DF＝BD＝；∵EF＝5cm，∴EF＝EC+CD+DF＝++＝10，∴＝2，∴AB＝9CD＝9×2＝18（cm）．27.（廣益）如圖，已知線段AB的長度是xcm，線段BC的長度比線段AB的長度的2倍多1cm，線段AD的長度比線段BC長度的2倍少1cm，若圖形中所有線段之和為50cm，求線段BC，AD和CD的長.【解答】解：根據(jù)題意得，BC＝（2x+1）cm，AD＝2BC﹣1＝2（2x+1）﹣1＝（4x+1）cm，CD＝DA+AB+BC＝（4x+1）+x+（2x+1）＝（7x+2）cm，∵圖形中所有線段之和為50cm，∴AD+BD+CD+AB+AC+BC＝AD+AD+AB+CD+AB+AB+BC+BC＝2AD+3AB+2BC+CD＝2（4x+1）+3x+2（2x+1）+7x+2＝50，解得：x＝2，∴BC＝5，AD＝9，CD＝16．題型六：線段長度中的動點問題 28．（明德）如圖①，已知線段MN＝24cm，線段AB在線段MN上運動（點A不超過點M，點B不超過點N），點C和點D分別是AM，BN的中點．（1）若AM＝8cm，AB＝2cm，求CD的長度；（2）若AB＝2acm，線段AB運動時，試判斷線段CD的長度是否發(fā)生變化？如果不變，請求出CD的長度，如果變化，請說明理由．【解答】解：（1）∵MN＝24cm，AB＝2cm，AM＝8cm，∴BN＝MN﹣AB﹣AM＝14（cm），∵點C和點D分別是AM，BN的中點，∴AC＝AM＝4cm，BD＝BN＝7cm．∴AC+BD＝11（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝11+2＝13（cm）．即CD的長為14cm．（2）不變，理由如下：∵點C和點D分別是AM，BN的中點，∴AC＝AM，BD＝BN，∴AC+BD＝AM+BN＝（AM+BN）．又∵MN＝24cm，AB＝2acm，∴AM+BN＝MN﹣AB＝24﹣2a（cm）．∴AC+BD＝（AM+BN）＝12﹣a（cm）．∴CD＝AC+AB+BD＝12﹣a+2a＝12+a（cm）．29．（長郡）我們將數(shù)軸上點P表示的數(shù)記為xP．對于數(shù)軸上不同的三個點M，N，T，若有xN﹣xT＝k（xM﹣xT），其中k為有理數(shù)，則稱點N是點M關(guān)于點T的“k星點”．已知在數(shù)軸上，原點為O，點A，點B表示的數(shù)分別為xA＝﹣2，xB＝3．（1）若點B是點A關(guān)于原點O的“k星點”，則k＝；若點C是點A關(guān)于點B的“2星點”，則xC＝；（2）若線段AB在數(shù)軸上沿正方向運動，每秒運動1個單位長度，取線段AB的中點D．是否存在某一時刻，使得點D是點A關(guān)于點O的“﹣2星點”？若存在，求出線段AB的運動時間；若不存在，請說明理由；（3）點Q在數(shù)軸上運動（點Q不與A，B兩點重合），作點A關(guān)于點Q的“3星點”，記為A'，作點B關(guān)于點Q的“3星點”，記為B'．當點Q運動時，QA'+QB'是否存在最小值？若存在，求出最小值及相應點Q的位置；若不存在，請說明理由．【解答】解：（1）∵點B是點A關(guān)于原點O的“k星點”，∴3﹣0＝k（﹣2﹣0），解得：k＝﹣，∵點C是點A關(guān)于點B的“2星點”，∴xC﹣3＝2×（﹣2﹣3），∴xC＝﹣7，故答案為：﹣，﹣7；（2）設(shè)點表示的數(shù)為a，點B表示的數(shù)a+5，則線段AB的中點D表示的數(shù)為，∵點D是點A關(guān)于點O的“﹣2星點”，∴﹣0＝﹣2×（a﹣0），∴a＝﹣，∴t＝＝，∴當t＝，使得點D是點A關(guān)于點O的“﹣2星點”；（3）當點Q在線段AB（點Q不與A，B兩點重合）上時，QA'+QB'存在最小值，理由如下：設(shè)點Q表示的數(shù)為y，∵點A'是點A關(guān)于點Q的“3星點”，∴點A'表示的數(shù)為﹣6﹣2y，∵點B'是點B關(guān)于點Q的“3星點”，∴點B'表示的數(shù)是9﹣2y，∴QA'+QB'＝|﹣6﹣2y﹣y|+|9﹣2y﹣y|＝|﹣6﹣3y|+|9﹣3y|，當y＜﹣2時，QA'+QB'＝3﹣6y＞15，當﹣2＜y＜3時，QA'+QB'＝15，當y＞3時，QA'+QB'＝6y﹣3＞15，∴當點Q在線段AB（點Q不與A，B兩點重合）上時，QA'+QB'存在最小值，最小值為15．30．（雅禮）我們定義：如果線段上的一個點將這條線段分成長度分別是a，b的兩部分，并且滿足3a＝4b，那么這個點叫做這條線段的“三高四新點”．（1）如圖1，點C是線段AB的“三高四新點”，AC＝3且AC＜BC，則AB＝；（2）若點D也是（1）中線段AB的“三高四新點”（不同于C點），求AC與DB的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖2，點O是數(shù)軸原點，點D對應的數(shù)是3，點E對應的數(shù)是12，在點E處有一擋板．小球P從點O出發(fā)以每秒1個單位長度的速度向左勻速運動，小球Q從點D同時出發(fā)，以每秒3個單位長度的速度向右勻速運動，碰到擋板后立即以每秒3個單位長度的速度向左運動．Q追上P時，兩小球同時停止運動．設(shè)運動時間為t秒，當P、D、Q三點中某一點為其余兩點所構(gòu)成線段的“三高四新點”時，請求出t的值．【解答】解：（1）∵點C是線段AB的“三高四新點”，∴4AC＝3BC，∵AC＝3，∴BC＝，∴AB＝AC+BC＝7；故答案為：7；（2）∵點D也是線段AB的“三高四新點”（不同于C點），∴3AD＝4BD，即AD＝，∵AB＝AD+BD＝7，∴，∴BD＝3，∵AC＝3，∴AC＝BD；（3）①當0＜t≤3時，點Q向右運動，點D時線段PQ的“三高四新點”，此時點P表示的數(shù)為﹣t，點Q表示的數(shù)為3+3t，∴DP＝3+t，DQ＝3t，當3DP＝4DQ時，得3（3+t）＝4×3t，解得：t＝1，當3DQ＝4DP時，得3×3t＝4（3+t），解得：t＝；②當3＜t≤6時，點Q向左運動，并且在點D的右邊，此時點P表示的數(shù)為﹣t，點Q表示的數(shù)為21﹣3t，∴DP＝3+t，DQ＝18﹣3t，當3DP＝4DQ時，得3（3+t）＝4×（18﹣3t），解得：，當3DQ＝4DP時，得3×（18﹣3t）＝4（3+t），解得：t＝；③當6＜t≤時，點Q向左運動，并且在點D的左邊，此時點P表示的數(shù)為﹣t，點Q表示的數(shù)為21﹣3t，∴DQ