10.1 隨機(jī)事件與概率（精練）-2022版高中數(shù)學(xué)新同步精講精煉（必修第二冊）（教師版含解析）

10.1隨機(jī)事件與概率(精練)【題組一有限樣本空間與隨機(jī)事件】1．(2020·全國高一課時練習(xí))下列事件是必然事件的是()A．連續(xù)兩次擲一枚硬幣，兩次都出現(xiàn)正面向上B．異性電荷相互吸引C．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1℃時結(jié)冰D．任意擲一枚骰子朝上的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)【答案】B【解析】四個選項(xiàng)都是隨機(jī)事件，根據(jù)定義只有B選項(xiàng)是一定會發(fā)生的，是必然事件.故選：B.2．(2020·全國高一課時練習(xí))下列事件中，是必然事件的是()A．對任意實(shí)數(shù)x，有x2≥0B．某人練習(xí)射擊，擊中10環(huán)C．從裝有1號，2號，3號球的不透明的袋子中取一球是1號球D．某人購買彩票中獎【答案】A【解析】選項(xiàng)中的事件都不確定發(fā)生，因此都不是必然事件；A選項(xiàng)，當(dāng)時，總有發(fā)生，是必然事件.故選：A.3．(2021·全國高一課時練習(xí))關(guān)于樣本點(diǎn)、樣本空間，下列說法錯誤的是()A．樣本點(diǎn)是構(gòu)成樣本空間的元素B．樣本點(diǎn)是構(gòu)成隨機(jī)事件的元素C．隨機(jī)事件是樣本空間的子集D．隨機(jī)事件中樣本點(diǎn)的個數(shù)可能比樣本空間中的多【答案】D【解析】由定義知A，B，C均正確.因?yàn)殡S機(jī)事件是樣本空間的子集，所以由子集的定義可知D錯.故選：D4．(2020·全國高一課時練習(xí))一個家庭有兩個小孩，把第一個孩子的性別寫在前邊，第二個孩子的性別寫在后邊，則所有的樣本點(diǎn)有()A．(男，女)，(男，男)，(女，女)B．(男，女)，(女，男)C．(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)D．(男，男)，(女，女)【答案】C【解析】由題知所有的樣本點(diǎn)是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女).故選：C.5．(2021·全國高一課時練習(xí))指出下列事件是必然事件、不可能事件還是隨機(jī)事件：(1)某人購買福利彩票一注，中獎萬元；(2)三角形的內(nèi)角和為；(3)沒有空氣和水，人類可以生存下去；(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，都出現(xiàn)正面向上；(5)從分別標(biāo)有、、、的四張標(biāo)簽中任取一張，抽到1號標(biāo)簽；(6)科學(xué)技術(shù)達(dá)到一定水平后，不需任何能量的“永動機(jī)”將會出現(xiàn)．【答案】(1)隨機(jī)事件；(2)必然事件；(3)不可能事件；(4)隨機(jī)事件；(5)隨機(jī)事件；(6)不可能事件.【解析】(1)購買一注彩票，可能中獎，也可能不中獎，所以是隨機(jī)事件；(2)所有三角形的內(nèi)角和均為，所以是必然事件；(3)空氣和水是人類生存的必要條件，沒有空氣和水，人類無法生存，所以是不可能事件；(4)同時拋擲兩枚硬幣一次，不一定都是正面向上，所以是隨機(jī)事件；(5)任意抽取，可能得到、、、號標(biāo)簽中的任一張，所以是隨機(jī)事件；(6)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永動機(jī)”不會出現(xiàn)，所以是不可能事件．6．(2020·全國高一課時練習(xí))在所有考試中，小明同學(xué)的語文、數(shù)學(xué)、英語這三科的成績都是優(yōu)秀或良好，隨機(jī)抽取一次考試的成績，記錄小明同學(xué)的語文，數(shù)學(xué)，英語這三科成績的情況.(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示下列事件：A=“至少有兩科成績?yōu)閮?yōu)秀”；B=“三科成績不都相同”【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】解：分別用表示語文，數(shù)學(xué)，英語的成績，則樣本點(diǎn)表示為.用1表示優(yōu)秀，用0表示良好，則.(1)該試驗(yàn)的樣本空間可表示為，用列舉法表示為.(2)；.7．(2020·全國高一課時練習(xí))如圖，一個電路中有A，B，C三個電器元件，每個元件可能正常，也可能失效，把這個電路是否為通路看成是一個隨機(jī)現(xiàn)象，觀察這個電路中各元件是否正常.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)用集合表示下列事件：M=“恰好兩個元件正?！保籒=“電路是通路”；T=“電路是斷路”【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析【解析】分別用和表示元件A，B和C的可能狀態(tài)，則這個電路的工作狀態(tài)可用表示，進(jìn)一步地，用1表示元件的“正常”狀態(tài)，用0表示“失效”狀態(tài)。(1)則樣本空間如圖，還可以借助樹狀圖幫助我們列出試驗(yàn)的所有可能結(jié)果(2)“恰好兩個元件正常”等價于，且中恰有兩個為1，所以.“電路是通路”等價于，，且中至少有一個是1，所以.同理，“電路是斷路”等價于，，或.所以.8．(2020·全國高一課時練習(xí))如圖，由A，B兩個元件分別組成串聯(lián)電路(圖(1))和并聯(lián)電路(圖(2))，觀察兩個元件正常或失效的情況.(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間；(2)對串聯(lián)電路，寫出事件M=“電路是通路”包含的樣本點(diǎn)；(3)對并聯(lián)電路，寫出事件N=“電路是斷路”包含的樣本點(diǎn).【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)詳見解析【解析】A，B兩個元件中每個元件都有正常(用1表示)或失效(用0表示)兩種可能結(jié)果：(1)故該試驗(yàn)的樣本空間可以表示為；(2)對串聯(lián)電路，只有當(dāng)A，B都正常時電路才是通路，故M包含的樣本點(diǎn)為；(3)對并聯(lián)電路，只有當(dāng)A，B都失效時電路才是斷路，故N包含的樣本點(diǎn)為.9．(2020·全國高一課時練習(xí))連續(xù)擲3枚硬幣，觀察落地后這3枚硬幣出現(xiàn)正面還是反面.(與先后順序有關(guān))(1)寫出這個試驗(yàn)的樣本空間及樣本點(diǎn)的個數(shù)；(2)寫出事件“恰有兩枚正面向上”的集合表示.【答案】(1)8個，見解析(2){(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.【解析】(1)這個試驗(yàn)的樣本空間{(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(正，反，反)，(反，正，正)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)}，樣本點(diǎn)的個數(shù)是8.(2)記事件“恰有兩枚正面向上”為事件A，則{(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)}.10．(2020·全國高一課時練習(xí))從0，1，2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，每次取一個，構(gòu)成有序數(shù)對，其中x為第1次取到的數(shù)字，y為第2次取到的數(shù)字.(1)寫出樣本空間；(2)寫出“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件的集合表示.【答案】(1)；(2).【解析】(1)用有序數(shù)對表示事件，所以．(2)根據(jù)題意可知，0，1，2這3個數(shù)字中，不放回地取兩次，第一次取出2，則第二次取出的只能是0或1，所以“第1次取出的數(shù)字是2”這一事件為：．11．(2021·全國高一課時練習(xí))從含有兩件正品和一件次品的3件產(chǎn)品中每次任取1件，每次取出后不放回，連續(xù)取兩次.(1)寫出這個試驗(yàn)的樣本空間；(2)下列隨機(jī)事件由哪些樣本點(diǎn)構(gòu)成：事件A：取出的兩件產(chǎn)品都是正品；事件B：取出的兩件產(chǎn)品恰有1件次品.【答案】(1)(2)；【解析】1)該試驗(yàn)的樣本空間(2)事件，包含2個樣本點(diǎn).事件，包含4個樣本點(diǎn).【題組二事件的關(guān)系和運(yùn)算】1．(2020·全國高一課時練習(xí))在試驗(yàn)“連續(xù)拋擲一枚硬幣3次，觀察落地后正面、反面出現(xiàn)的情況”中，設(shè)事件A表示隨機(jī)事件“第一次出現(xiàn)正面”，事件B表示隨機(jī)事件“3次出現(xiàn)同一面”，事件C表示隨機(jī)事件“至少1次出現(xiàn)正面”.(1)試用樣本點(diǎn)表示事件，，，；(2)試用樣本點(diǎn)表示事件，，，；(3)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件.【答案】(1)詳見解析(2)詳見解析(3)A與B不互斥，A與C不互斥，B與C不互斥【解析】用H代表“出現(xiàn)正面”,用T代表“出現(xiàn)反面”.,,,.(1),,,.(2),,,.(3),,,∴A與B不互斥,A與C不互斥,B與C不互斥.2．(2020·全國高一課時練習(xí))拋擲一顆質(zhì)地均勻的骰子，有如下隨機(jī)事件：=“點(diǎn)數(shù)為i”，其中；=“點(diǎn)數(shù)不大于2”，=“點(diǎn)數(shù)大于2”，=“點(diǎn)數(shù)大于4”；E=“點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，F(xiàn)=“點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”.判斷下列結(jié)論是否正確.(1)與互斥；(2)，為對立事件；(3)；(4)；(5)，；(6)；(7)；(8)E，F(xiàn)為對立事件；(9)；(10)【答案】(1)正確；(2)錯誤；(3)正確；(4)正確；(5)正確；(6)正確；(7)正確；(8)正確；(9)正確；(10)正確.【解析】該試驗(yàn)的樣本空間可表示為,由題意知,,,,,.(1),,滿足,所以與互斥,故正確；(2),,滿足但不滿足.所以為互斥事件,但不是對立事件,故錯誤；根據(jù)對應(yīng)的集合易得,(3)正確；(4)正確；(5)正確；(6),所以,故正確；(7),故正確；(8)因?yàn)?,所以E,F為對立事件,故正確；(9)正確；(10)正確.3．(2020·全國高一課時練習(xí))一個袋子中有大小和質(zhì)地相同的4個球，其中有有2個紅色球(標(biāo)號為1和2)，2個綠色球(標(biāo)號為3和4)，從袋中不放回地依次隨機(jī)摸出2個球.設(shè)事件=“第一次摸到紅球”，=“第二次摸到紅球”，R=“兩次都摸到紅球”，G=“兩次都摸到綠球”，M=“兩個球顏色相同”，N=“兩個球顏色不同”.(1)用集合的形式分別寫出試驗(yàn)的樣本空間以及上述各事件；(2)事件R與，R與G，M與N之間各有什么關(guān)系？(3)事件R與事件G的并事件與事件M有什么關(guān)系？事件與事件的交事件與事件R有什么關(guān)系？【答案】(1)詳見解析(2)事件包含事件R；事件R與事件G互斥；事件M與事件N互為對立事件(3)事件M是事件R與事件G的并事件；事件R是事件與事件的交事件.【解析】(1)所有的試驗(yàn)結(jié)果如圖所示,用數(shù)組表示可能的結(jié)果,是第一次摸到的球的標(biāo)號,是第二次摸到的球的標(biāo)號,則試驗(yàn)的樣本空間事件=“第一次摸到紅球”,即或2,于是；事件=“第二次摸到紅球”,即或2,于是.同理,有,,,.(2)因?yàn)?所以事件包含事件R；因?yàn)?所以事件R與事件G互斥；因?yàn)?,所以事件M與事件N互為對立事件.(3)因?yàn)?所以事件M是事件R與事件G的并事件；因?yàn)?所以事件R是事件與事件的交事件.4．(2020·全國高一課時練習(xí))拋擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，記事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1或2”，事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2或3或4”，則事件“出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2”可以記為()A． B． C． D．【答案】B【解析】由題意可得：，，，.故選B.5．(2020·全國高一課時練習(xí))打靶3次，事件“擊中發(fā)”，其中.那么表示()A．全部擊中 B．至少擊中1發(fā) C．至少擊中2發(fā) D．全部未擊中【答案】B【解析】表示的是這三個事件中至少有一個發(fā)生,即可能擊中1發(fā)、2發(fā)或3發(fā).故選：B.6．(2020·全國高一課時練習(xí))一批產(chǎn)品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.從這批產(chǎn)品中任意抽取5件，現(xiàn)給出以下四個事件：事件A：恰有一件次品；事件B：至少有兩件次品；事件C：至少有一件次品；事件D：至多有一件次品.并給出以下結(jié)論：①；②是必然事件；③；④.其中正確結(jié)論的序號是()A．①② B．③④ C．①③ D．②③【答案】A【解析】解析：事件：至少有一件次品,即事件C,所以①正確；事件,③不正確；事件：至少有兩件次品或至多有一件次品,包括了所有情況,所以②正確；事件：恰有一件次品,即事件A,所以④不正確.故選：A【題組三互斥與對立】1．(2020·全國高一課時練習(xí))袋內(nèi)分別有紅?白?黑球3，2，1個，從中任取2個，則互斥而不對立的兩個事件是()A．至少有一個白球；都是白球 B．至少有一個白球；至少有一個紅球C．恰有一個白球；一個白球一個黑球 D．至少有一個白球；紅?黑球各一個【答案】D【解析】對于A，“至少有一個白球”說明有白球，白球的個數(shù)可能為1或2，而“都是白球”說明兩個全是白球，這兩個事件可以同時發(fā)生，故A不是互斥的；對于B，當(dāng)兩球一個白球一個紅球時，“至少有一個白球”與“至少有一個紅球”均發(fā)生，故不互斥；對于C，“恰有一個白球”，表示黑球個數(shù)為0或1，這與“一個白球一個黑球”不互斥；對于D，“至少一個白球”發(fā)生時，“紅?黑球各一個”不會發(fā)生，故互斥，但不對立，故選：D2．(2020·全國高一課時練習(xí))一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是()A．兩次都不中靶 B．兩次都中靶 C．只有一次中靶 D．至多有一次中靶【答案】A【解析】對A,“兩次都不中靶”與“至少有一次中靶”不可能同時發(fā)生,故A正確.對B,“至少有一次中靶”包含“兩次都中靶”的情況.故B錯誤.對C,“至少有一次中靶”包含“只有一次中靶”的情況.故C錯誤.對D,“至少有一次中靶”和“至多有一次中靶”均包含“一次中靶”的情況.故D錯誤.故選：A3(2021·全國高一課時練習(xí))一個均勻的正方體玩具的各個面上分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，5，6.將這個玩具向上拋擲一次，設(shè)事件表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，事件表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則()A．與是互斥而非對立事件 B．與是對立事件C．與是互斥而非對立事件 D．與是對立事件【答案】D【解析】事件包含，，，共個基本事件.事件包含，，，共個基本事件.事件包含，，，共個基本事件.因?yàn)槌霈F(xiàn)點(diǎn)數(shù)或，所以與不互斥也不對立.因?yàn)?，，所以與是對立事件.故選：D4．(2020·全國高一課時練習(xí))一袋中裝有除顏色外完全相同的5個白球,3個黃球,從中有放回地摸球,用表示第一次摸得黃球,表示第二次摸得白球,則事件與()A．是相互獨(dú)立事件 B．不是相互獨(dú)立事件 C．是互斥事件 D．是對立事件【答案】A【解析】由于采用有放回地摸球,因此與相互獨(dú)立,于是事件與是相互獨(dú)立事件.故選：A5．(2021·全國高一課時練習(xí))從裝有完全相同的4個紅球和2個黃球的盒子中任取2個小球，則互為對立事件的是()A．“至少一個紅球”與“至少一個黃球” B．“至多一個紅球”與“都是紅球”C．“都是紅球”與“都是黃球” D．“至少一個紅球”與“至多一個黃球”【答案】B【解析】從裝有完全相同的4個紅球和2個黃球的盒子中任取2個小球，各種情況為：兩紅，一紅一黃，兩黃，三種情況，“至少一個紅球”即一紅一黃或兩紅，“至少一個黃球”即一紅一黃或兩黃，所以這兩個事件不是對立事件；“至多一個紅球”即一黃一紅或兩黃，與“都是紅球”互為對立事件；“都是紅球”與“都是黃球”僅僅是互斥事件；“至少一個紅球”即一紅一黃或兩紅，“至多一個黃球”即一紅一黃或兩紅，不是對立事件.故選：B6．(2020·全國高一課時練習(xí))如果事件A，B互斥，記，分別為事件A，B的對立事件，那么().A．是必然事件 B．是必然事件C．與一定互斥 D．與一定不互斥【答案】B【解析】用集合的Venn圖解決此類問題較為直觀，如圖所示，是必然事件.故選：B.7．(2020·全國高一課時練習(xí))把紅、黃、藍(lán)、白4張紙牌隨機(jī)分給甲、乙、丙、丁4個人，每人分得一張，事件“甲分得紅牌”與事件“乙分得紅牌”是A．對立事件 B．互斥但不對立事件C．不可能事件 D．以上都不對【答案】B【解析】因?yàn)槭录凹追值眉t牌”與事件“乙分得紅牌”不可能同時發(fā)生，所以它們是互斥事件，因?yàn)槭录凹追值眉t牌”與事件“乙分得紅牌”不包含所有的可能事件，所以它們不是對立事件，所以它們是互斥但不對立事件，故選B．8．(2021·全國高一課時練習(xí))一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是A．兩次都中靶B．至少有一次中靶C．兩次都不中靶D．只有一次中靶【答案】A【解析】一個人打靶時連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是兩次都中靶．故選：A．9．(2020·全國高一課時練習(xí))從裝有3個紅球和3個白球的口袋里任取3個球，那么互斥而不對立的兩個事件是()A．至少2個白球，都是紅球 B．至少1個白球，至少1個紅球C．至少2個白球，至多1個白球 D．恰好1個白球，恰好2個紅球【答案】A【解析】選項(xiàng)A中，“至少2個白球”包括“2個白球”和“2個白球和個紅球”兩種情況，“都是紅球”即為“3個紅球”．故這兩個事件不可能同時發(fā)生，而這兩個事件的和事件不是必然事件，故A正確．選項(xiàng)B中，“至少1個白球”包括“1個白球2個紅球”、“2個白球和1個紅球”、“3個白球”三種情況；“至少1個紅球”包括“1個紅球2個白球”、“2個紅球和1個白球”、“3個紅球”三種情況．所以這兩個事件不互斥，所以B不正確．選項(xiàng)C中，“至少2個白球”包括“2個白球1個紅球”、“3個白球”兩種情況；“至多1個白球”包括“1個白球和2個紅球”、“3個紅球”兩種情況，所以這兩個事件為對立事件，故C不正確．選項(xiàng)D中，“恰好1個白球”和“恰好2個紅球”為同一事件，所以D不正確．故選A．10．(2020·全國高一課時練習(xí))將一枚質(zhì)地均勻的骰子向上拋擲1次.設(shè)事件A表示向上的一面出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)，事件B表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不超過3，事件C表示向上的一面出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不小于4，則()A．A與B是互斥而非對立事件 B．A與B是對立事件C．B與C是互斥而非對立事件 D．B與C是對立事件【答案】D【解析】對于A、B中，當(dāng)向上的一面出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)時，事件同時發(fā)生了，所以事件與不是互斥事件，也不是對立事件；對于事件與不能同時發(fā)生且一定有一個發(fā)生，所以事件與是對立事件，故選D．【題組四古典概型】1．(2020·全國高一課時練習(xí))某袋中有編號為1，2，3，4，5，6的6個小球(小球除編號外完全相同)，甲先從袋中摸出一個球，記下編號后放回，乙再從袋中摸出一個球，記下編號，則甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是()A． B． C． D．【答案】A【解析】甲先從袋中摸出一個球，有6種可能的結(jié)果，乙再從袋中摸出一個球，有6種可能的結(jié)果如果按(甲，乙)方法得出總共的結(jié)果為：36個甲、乙兩人所摸出球的編號不同的結(jié)果為30個甲、乙兩人所摸出球的編號不同的概率是，故選：A．2．(2020·全國高一課時練習(xí))在長分別為1cm、2cm、3cm、4cm的四條線段中，任取三條，這三條線段能構(gòu)成三角形的概率為()A． B． C． D．【答案】C【解析】從四條線段中任意取三條，共有：，，，，四種情況，三條線段能構(gòu)成三角形共有：一種情況，故能構(gòu)成三角形的概率為.故選：C3．(2021·全國高一課時練習(xí))為了解一種植物果實(shí)的情況，隨機(jī)抽取一批該植物果實(shí)樣本測量重量(單位：克)，按照分為5組，其頻率分布直方圖如圖所示．(1)求圖中a的值；(2)估計(jì)這種植物果實(shí)重量的平均數(shù)和方差(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表)；(3)已知這種植物果實(shí)重量不低于32.5克的即為優(yōu)質(zhì)果實(shí)．若所取樣本容量，從該樣本分布在和的果實(shí)中，隨機(jī)抽取2個，求抽到的都是優(yōu)質(zhì)果實(shí)的概率．【答案】(1)；(2)40，28.75；(3).【解析】(1)組距，由，得．(2)各組中點(diǎn)值和相應(yīng)的頻率依次為：中點(diǎn)值3035404550頻率0.10.20.3750.250.075所以，．(3)由已知，果實(shí)重量在和內(nèi)的分別有4個和3個，分別記為和從中任取2個的取法有：，，，共21種取法，其中都是優(yōu)質(zhì)果實(shí)的取法有，共3種取法，所以抽到的都是優(yōu)質(zhì)果實(shí)的概率．4．(2020·全國高一課時練習(xí))某大學(xué)為調(diào)研學(xué)生在，兩家餐廳用餐的滿意度，在，兩家餐廳都用過餐的學(xué)生中隨機(jī)抽取了100人，每人分別對這兩家餐廳進(jìn)行評分，滿分均為60分.整理評分?jǐn)?shù)據(jù)，將分?jǐn)?shù)以10為組距分成6組：，，，，，，得到餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，和餐廳分?jǐn)?shù)的頻數(shù)分布表：B餐廳分?jǐn)?shù)頻數(shù)分布表分?jǐn)?shù)區(qū)間頻數(shù)[0，10)2[10，20)3[20，30)5[30，40)15[40，50)40[50，60]35(1)在抽樣的100人中，求對餐廳評分低于30的人數(shù)；(2)從對餐廳評分在范圍內(nèi)的人中隨機(jī)選出2人，求2人中恰有1人評分在范圍內(nèi)的概率；(3)求學(xué)生對A餐廳評分的平均數(shù).【答案】(1)20；(2)；(3)41.9.【解析】(1)由餐廳分?jǐn)?shù)的頻率分布直方圖，得對餐廳評分低于的頻率為，所以，對餐廳評分低于的人數(shù)為.(2)對餐廳評分在范圍內(nèi)的有人，設(shè)為，對餐廳評分在范圍內(nèi)的有人，設(shè)為從這人中隨機(jī)選出人的選法為：，，，，，，，，，共種其中，恰有人評分在范圍內(nèi)的選法為：，，，，，.共6種.故人中恰有人評分在范圍內(nèi)的概率為.(3)平均數(shù)為：.5．(2020·全國高一課時練習(xí))由于受疫情的影響，某國某市的一個小區(qū)505人參加某次核酸檢測，根據(jù)年齡段使用分層抽樣的方法從中隨機(jī)抽取101人，記錄其核酸檢測結(jié)果(陰性或陽性).現(xiàn)將核酸檢測呈陰性的人員，按年齡段分為5組：(0，20]，(20，40]，(40，60]，(60，80]，(80，100]，得到如圖所示頻率分布直方圖，其中年齡在(20，40]的有20人.(1)估計(jì)核酸檢測呈陰性人員的年齡的中位數(shù)；(2)用樣本估計(jì)該小區(qū)此次核酸檢測呈陽性的人數(shù)；(3)若此次核酸檢測呈陽性的人中，男女比例為3：2，從中任選兩人，求至少選到一名男性的概率【答案】(1)50；(2)5；(3).【解析】(1)由頻率直方圖可知，因，所以所求中位數(shù)在,不妨設(shè)中位數(shù)為x，則,得.所以核酸檢測呈陰性人員年齡的中位數(shù)為50；(2)因樣本中核酸檢測呈陰性的人員中年齡在有20人，設(shè)樣本中核酸檢測呈陰性的人數(shù)為n,則，即，用樣本估計(jì)總體，所以該小區(qū)此次核酸檢測呈陽性的人數(shù)為,即該小區(qū)此次核酸檢測呈陽性的人數(shù)為5；(3)由(2)可知，此次核酸檢測呈陽性的人數(shù)為5，又因其男女比例為3：2，所以其中男性為3人，女性為2人，將其3名男性分別記為1，2，3，2名女性記為a,b，從中任選兩人的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)，共10種，其中至少有一名男性的基本事件有(1，2)，(1，3)，(1，a)，(1，b)，(2，3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，共9種.所以至少選到一名男性的概率.6．(2020·全國高一課時練習(xí))海關(guān)對同時從三個不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如下表所示，工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測．地區(qū)ABC數(shù)量/件50150100(1)求這6件樣品中來自A，B，C三個地區(qū)商品的數(shù)量；(2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測，求這2件商品來自相同地區(qū)的概率．【答案】(1)1，3，2；(2).【解析】(1)由題意，樣品中來自A地區(qū)商品的數(shù)量為，來自B地區(qū)商品的數(shù)量為，來自C地區(qū)商品的數(shù)量為；(2)設(shè)來自地區(qū)的樣品編號為，來自地區(qū)的樣品編號為,,，來自地區(qū)的樣品編號為,，則從6件樣品中抽取2件產(chǎn)品的所有基本事件為:,,,,,,,,,,,,,,,共15個；抽取的這2件產(chǎn)品來自相同地區(qū)的基本事件有:,,,,共4個；故所求概率.【題組五概率的基本性質(zhì)】1．(2020·吳起高級中學(xué))氣象臺預(yù)報“本市明天降雨概率是70%”，下列說法正確的是()A．本市明天將有70%的地區(qū)降雨 B．本市有天將有70%的時間降雨C．明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大 D．明天出行不帶雨具肯定要淋雨【答案】C【解析】氣象臺預(yù)報“本市明天降雨概率是70%”,則本市明天降雨的可能性比較大.與降水地區(qū)面積和降水時間無關(guān),所以A,B錯誤.降水概率是事件發(fā)生的可能,不是一定會發(fā)生的事情,所以D錯誤.而由降水概率是70%,可知降水概率較大,所以明天出行不帶雨具淋雨的可能性很大,所以C正確.故選:C.2．(2021·全國高一課時練習(xí))某種彩票中獎的概率為，這是指A．買10000張彩票一定能中獎B．買10000張彩票只能中獎1次C．若買9999張彩票未中獎，則第10000張必中獎D．買一張彩票中獎的可能性是【答案】D【解析】彩票中獎的概率為，只是指中獎的可能性為，不是買10000張彩票一定能中獎，概率是指試驗(yàn)次數(shù)越來越大時，頻率越接近概率．所以選D.3．(2020·全國高一課時練習(xí))拋擲一個質(zhì)地均勻的骰子的試驗(yàn)，事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，則一次試驗(yàn)中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為()A． B． C． D．【答案】A【解析】事件A表示“小于5的偶數(shù)點(diǎn)出現(xiàn)”，事件B表示“不小于5的點(diǎn)數(shù)出現(xiàn)”，∴P(A)，P(B)，又小于5的偶數(shù)點(diǎn)有2和4，不小于5的點(diǎn)數(shù)有5和6，所以事件A和事件B為互斥事件，則一次試驗(yàn)中，事件A或事件B至少有一個發(fā)生的概率為P(A∪B)＝P(A)+P(B)，故選：A．4(2020·全國高一課時練習(xí))柜子里有3雙不同的鞋，分別用表示6只鞋,如果從中隨機(jī)地取出2只，那么(1)寫出試驗(yàn)的樣本空間;(2)求下列事件的概率，并說明它們的關(guān)系;①A=“取出的鞋不成雙”②B=“取出的鞋都是左腳的”；③C=“取出的鞋都是一只腳的”；④D=“取出的鞋子是一只左腳一只右腳的，但不是一雙鞋”.【答案】(1)見解析；(2)①；②；③；④.，B與D互斥，C與D互斥，.【解析】1)該試驗(yàn)的樣本空間可表示為(2)由(1)得.①..②，.③.④，A，B，C，D之間有如下關(guān)系：，B與D互斥，C與D互斥，.5．(2020·全國高一課時練習(xí))有一批貨物需要用汽車從城市甲運(yùn)至城市乙，已知從城市甲到城市乙只有兩條公路，且通過這兩條公路所用的時間互不影響.據(jù)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，通過這兩條公路從城市甲到城市乙的200輛汽車所用時間的頻數(shù)分布如下表：所用的時間/h10111213通過公路1的頻數(shù)20402020通過公路2的頻數(shù)10404010(1)為進(jìn)行某項(xiàng)研究，從所用時間為12h的60輛汽車中隨機(jī)抽取6輛.(ⅰ)若用分層隨機(jī)抽樣的方法抽取，求從通公路1和公路2的汽車中各抽取幾輛；(ⅱ)若從(ⅰ)的條件下抽取的6輛汽車中，再任意抽取2輛汽車，求這2輛汽車至少有1輛通過公路1的概率.(2)假設(shè)汽車只能在約定時間的前11h出發(fā)，汽車只能在約定時間的前12h出發(fā).為了盡最大可能在各自允許的時間內(nèi)將貨物從城市甲運(yùn)到城市乙，汽車和汽車應(yīng)如何選擇各自的道路？【答案】(1)(i)通過公路1的汽車中抽取(輛)，從通過公路2的汽車中抽取(輛).(ii)(2)汽車應(yīng)選擇公路1；汽車應(yīng)選擇公路2【解析】(1)(ⅰ)由分層隨機(jī)抽樣的特點(diǎn)，易得從通過公路1的汽車中抽取(輛)，從通過公路2的汽車中抽取(輛).(ⅱ)記通過公路1的2輛汽車分別為，通過公路2的4輛汽車分別為，從6輛汽車中任意抽取2輛汽車共有15種可能的情況：.其中至少有1輛通過公路1的情況有9種，所以至少有1輛通過公路1的概率為.(2)作出頻率分布表，如下：所用的時間/h10111213通過公路1的頻率0.20.40.20.2通過公路2的頻率0.10.40.40.1設(shè)分別表示事件汽車在約定時間的前11h出發(fā)選擇公路1，2將貨物按時從城市甲運(yùn)到城市乙；分別表示事件汽車在約定時間的前12h出發(fā)選擇公路1，2將貨物按時從城市甲運(yùn)到城市乙.則，，所以汽車應(yīng)選擇公路1.，，所以汽車應(yīng)選擇公路2.6．(2020·全國高一課時練習(xí))從甲地到乙地沿某條公路行駛一共200公里，遇到紅燈個數(shù)的概率如下表所示：紅燈個數(shù)0123456個及6個以上概率0.020.10.350