2023-2024學(xué)年上海重點(diǎn)大學(xué)附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

第=page11頁(yè)，共=sectionpages11頁(yè)2023-2024學(xué)年上海重點(diǎn)大學(xué)附中高二（上）期末數(shù)學(xué)試卷一、單選題：本題共4小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.用一個(gè)平面截如圖所示圓柱體，截面的形狀不可能是(

)A.

B.

C.

D.2.設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，則下列命題中正確的是(

)A.若l/?/α，l/?/β，則α/?/β B.若l/?/α，l⊥β3.如圖所示，已知直線y=kx與曲線y=f(x)相切于兩點(diǎn)，函數(shù)A.有極小值點(diǎn)，沒(méi)有極大值點(diǎn)

B.有極大值點(diǎn)，沒(méi)有極小值點(diǎn)

C.至少有兩個(gè)極小值點(diǎn)和一個(gè)極大值點(diǎn)

D.至少有一個(gè)極小值點(diǎn)和兩個(gè)極大值點(diǎn)4.如圖，斜線段AB與平面α所成的角為60°，B為斜足，平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，則點(diǎn)P的軌跡是A.直線 B.拋物線 C.橢圓 D.雙曲線的一支二、填空題：本題共12小題，共54分。5.已知二次函數(shù)y=2x2的圖象是一條拋物線，則其準(zhǔn)線方程為6.直線m與平面α所成角為60°，則m與平面α內(nèi)任意直線所成角的取值范圍是______．7.已知長(zhǎng)方體全部棱長(zhǎng)的和為36，表面積為52，則其對(duì)角線的長(zhǎng)為______．8.若一個(gè)圓錐的軸截面是邊長(zhǎng)為2的等邊三角形，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積為

．9.如圖Rt△O′A′B′

10.已知雙曲線x2a2?y2b211.在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，B

12.已知正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中AB=2，AA13.如圖是一座拋物線型拱橋，拱橋是拋物線的一部分且以拋物線的軸為對(duì)稱軸，當(dāng)水面在l時(shí)，拱頂離水面2米，水面寬4米.當(dāng)水位下降，水面寬為6米時(shí)，拱頂?shù)剿娴木嚯x為

．

14.空間中有三個(gè)點(diǎn)A，B，C，且AB=BC=CA=1，在空間中任取2個(gè)不同的點(diǎn)，使得它們與A，15.能使得命題“曲線x29?y2a2=1(a≠0)上存在四個(gè)點(diǎn)A，16.三面角是立體幾何的基本概念之一，而三面角余弦定理是解決三面角問(wèn)題的重要依據(jù).三面角P?ABC是由公共端點(diǎn)P且不共面的三條射線PA、PB、PC以及相鄰兩條射線之間的平面部分組成的圖形.設(shè)∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，平面APC與平面B三、解答題：本題共5小題，共78分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。17.(本小題14分)

如圖所示，正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，H是BC的中點(diǎn)，O為底面中心，∠SHO=60°．

18.(本小題14分)

(1)如圖所示，一只裝有半杯水的圓柱形水杯，將其傾斜使水杯與水平桌面成30°，此時(shí)水杯內(nèi)成橢圓形，求橢圓的離心率；

(2)如圖，AB為圓柱下底面圓O的直徑，C是下底面圓周上一點(diǎn)，已知∠AOC=π3，19.(本小題14分)

(1)“老六”和他的老鐵們要參加學(xué)校的“科目三”表演活動(dòng)，他們要用一張邊長(zhǎng)為1m的正方形藍(lán)色紙片做一頂圓錐形裝飾帽子，以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫弧，剪下一個(gè)最大的扇形，并用這個(gè)扇形圍成了一個(gè)圓錐.如圖所示，其中OP是該圓錐的高，求該圓錐的體積；

(2)“老六”將周長(zhǎng)為4的矩形AB20.(本小題18分)

如圖，已知正方體ABCD?A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為6，點(diǎn)P在該正方體的表面上運(yùn)動(dòng)．

(1)若AP=62，求點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度；

(2)已知P到三個(gè)平面ABCD、ADD1A121.(本小題18分)

已知拋物線Γ：y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F，過(guò)點(diǎn)F傾斜角為θ的直線l交拋物線于A、B兩點(diǎn).點(diǎn)A在x軸上方，點(diǎn)B在x軸下方．

(1)求證：|BF|=p1+cosθ；

(2

答案和解析1.【答案】D

【解析】解：當(dāng)截面與軸截面垂直時(shí)，得到的截面形狀是圓；

當(dāng)截面與軸截面平行時(shí)，得到的形狀為長(zhǎng)方形；

當(dāng)截面與軸截面斜交時(shí)，得到的截面的形狀是橢圓；

所以截面的形狀不可能是等腰梯形．

故選：D．

根據(jù)從不同角度截得幾何體的形狀判斷出正確選項(xiàng)．

本題考查幾何體的截面形狀，考查空間想象能力，屬基礎(chǔ)題．2.【答案】B

【解析】解：設(shè)l是直線，α，β是兩個(gè)不同的平面，

對(duì)于A，若l/?/α，l/?/β，則α與β相交或平行，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B，若l/?/α，l⊥β，則由面面垂直的判定定理得α⊥β，故B正確；

對(duì)于C，若α⊥β，l⊥α，則l與β平行或l?β，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D，若α⊥β，l/?/α，則l與β相交、平行或l?β，故D正確．

故選：B．3.【答案】C

【解析】解：∵g(x)=kx+m(m>0)，∴F(x)=kx+m?f(x)，則F′(x)=k?f′(x)，

直線y=kx與曲線y=f(x)相切于兩點(diǎn)，設(shè)兩切點(diǎn)橫坐標(biāo)分別為x1，x2，且x1<x2，

∴F′(x)=0的兩個(gè)零點(diǎn)為x1，x2，

由圖知，存在x0∈(x1,x2)，使F′(x0)=04.【答案】C

【解析】【分析】本題考查動(dòng)點(diǎn)的軌跡問(wèn)題，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于較難題．

根據(jù)題意，∠PAB=30°為定值，可得點(diǎn)【解答】

解：用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；

把平面漸漸傾斜，得到橢圓；

當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時(shí)，得到拋物線．

此題中平面α上的動(dòng)點(diǎn)P滿足∠PAB=30°，

可理解為P在以AB為軸、以AP所在直線的線段為母線的圓錐的側(cè)面上，

再由斜線段AB與平面α所成的角為605.【答案】y=【解析】解：將拋物線方程寫為標(biāo)準(zhǔn)形式為x2=12y，

由此刻判斷拋物線焦點(diǎn)在y軸正半軸，其準(zhǔn)線方程為y=?186.【答案】[π【解析】解：直線與平面所成的角是直線與平面內(nèi)任意一條直線所成角中最小的角，

且直線與平面所成角的范圍為0≤θ≤π2，

則m與平面α內(nèi)任意直線所成角的取值范圍是[π3,π7.【答案】29【解析】解：設(shè)長(zhǎng)，寬，高分別為x，y，z，

則2(xy+xz+yz)=52，4(8.【答案】2π【解析】【分析】由軸截面易得底面半徑和母線長(zhǎng)，代入公式得解．

此題考查圓錐側(cè)面積，屬于基礎(chǔ)題．【解答】

解：如圖為圓錐的軸截面，

∴其底面半徑為OB=1，母線AB=2，

∴9.【答案】2【解析】解：∵Rt△O′A′B′是一平面圖形的直觀圖，斜邊O′B′=2，

∴直角三角形的直角邊長(zhǎng)是2，

∴直角三角形的面積是12×10.【答案】y=【解析】解：已知雙曲線x2a2?y2b2=1(a>0,b>0)的離心率為2，

則ca=2，

即a2+11.【答案】21【解析】解：∵在直三棱柱ABC?A1B1C1中，AB=1，BC=2，AC=3,AA1=1，

∴AB2+AC2=BC2，∴AB⊥AC，

故建系如圖，

則根據(jù)題意可得：A1(0,012.【答案】10【解析】解：如圖，

正四棱柱ABCD?A1B1C1D1中，AB=2，AA1=3，

則正四棱柱ABCD?A1B1C13.【答案】4.5米

【解析】解：如圖建立直角坐標(biāo)系，

設(shè)拋物線方程為x2=my，

將A(2,?2)代入x2=my，

得m=?2，

∴x2=?2y，

代入B14.【答案】9

【解析】解：如圖所示，有兩種情況：

①當(dāng)ABC為四棱錐的一個(gè)側(cè)面時(shí)，其余兩點(diǎn)在平面ABC的同側(cè)，

若AB為底面棱有兩種(平面ABC左右兩側(cè)各一組)，同理BC、AC為底面棱時(shí)有各兩種，

故共有6種；

②當(dāng)ABC為四棱錐的一個(gè)對(duì)角面時(shí)，其余兩點(diǎn)在平面ABC的異側(cè)，

若AB為底面對(duì)角線則有一組，同理BC、AC為底面對(duì)角線各有一組，

故共有3種；

綜上所述，共有6+3=15.【答案】5

【解析】解：要使曲線x29?y2a2=1(a≠0)上存在四個(gè)點(diǎn)A，B，C，D滿足四邊形ABCD是正方形，

則直線y=x必與曲線x29?y2a2=1(a≠0)有交點(diǎn)，

又曲線x216.【答案】92【解析】解：如圖，

由題意∠APC=α，∠BPC=β，∠APB=γ，平面APC與平面BPC所成的角為θ，

作BD⊥PC，BM⊥平面APC，則該二面角的平面角為∠BDM，

由題意得：VP?ABC=VB?APC=13?S△APC?BM，

因?yàn)镻A=6，∠APC=60°，∠BPC=45°，∠17.【答案】解：(1)如圖，

∵正六棱錐的底面邊長(zhǎng)為4，

在正六棱錐S?ABCDEF中，∵SB=SC，H為BC中點(diǎn)，∴SH⊥BC，

∵O是正六邊形ABCDEF的中心，∴SO為正六棱錐的高，

在正三角形OBC中，由BC=4，可得OH=2tan60°=23，

在Rt△【解析】(1)由條件依次求得SO，SH，SB的長(zhǎng)即可；18.【答案】解：(1)如圖，根據(jù)題意可得∠PMN=30°，且|PM|=2a，|MN|=2b，

∴cos∠PMN=|MN||PM|，∴32=2b2a，

∴34=b2a2，

∴橢圓的離心率e=a2?b2a2=【解析】(1)作出圖形，根據(jù)橢圓的幾何性質(zhì)，即可求解；

(219.【答案】解：(1)根據(jù)題意，如圖：

圓錐的母線長(zhǎng)為正方形邊長(zhǎng)，即PE=1，

圓錐底面圓周長(zhǎng)為以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫弧，剪下一個(gè)最大的扇形的弧長(zhǎng)，

不妨設(shè)圓錐底面半徑為OE=r，所以2πr=π2×1，

解可得OE=r=14，

所以圓錐的高h(yuǎn)=PO=1?116=154，

則該圓錐的體積V=13πr2h=π3×(14【解析】(1)由題意得母線長(zhǎng)為正方形邊長(zhǎng)，圓錐底面圓周長(zhǎng)為以正方形的一個(gè)頂點(diǎn)為圓心，邊長(zhǎng)為半徑畫弧，剪下一個(gè)最大的扇形的弧長(zhǎng)，由此即可求出圓錐的底面半徑以及高，進(jìn)而得解；

(220.【答案】解：(1)若AP=62，則點(diǎn)P以點(diǎn)A為球心，半徑為62的球面上運(yùn)動(dòng)，

又P在正方體表面運(yùn)動(dòng)，AD=6，AD⊥平面CDD1C1，

則P在以D為圓心，半徑為(62)2?62=6的圓上(正方形CDD1C1內(nèi)部)，如圖所示，

D1C=6×π2=3π，同理可得：B1C=B1D1=6×π2=3π，

故點(diǎn)P的軌跡長(zhǎng)度為3π×3=9π；

(2)若P到平面ABCD、ADD1A1距離相等，根據(jù)對(duì)稱性知，P在平面ADC1B1上，

AD⊥平面AA1B1B，AD?平面ADC1B1，

故平面ADC1B1⊥平面AA1B1B，

故P到平面ABB1A1的距離即P到AB1的距離，

設(shè)正方體的中心為Q，即dP?AB1=|PQ|，

故P的軌跡為平面ADC1B1內(nèi)的一條拋物線，

正方體棱長(zhǎng)為6，AB【解析】(1)確定點(diǎn)P以點(diǎn)A為球心的，半徑為62的球面上運(yùn)動(dòng)且與正方體的三個(gè)面相交，利用弧長(zhǎng)公式求解；

(2)確定P在平面ADC1B1上，根據(jù)dP21.【答案】解：(1)證明：拋物線Γ：y2=2px(p>0)的準(zhǔn)線方程l：x=?p2，