第2章電路的基本分析方法

第2章

直流電阻性電路的分析教學(xué)內(nèi)容

電阻的串、并聯(lián),星形和三角形等效變換。兩種實(shí)際電源模型的等效變換。

教學(xué)要求

1.理解深刻理解等效電路的概念。

2.掌握電阻的串、并聯(lián),星形和三角形等效變換方法及等效電阻的計(jì)算。

3.掌握實(shí)際電源模型的等效變換。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)

重點(diǎn)：等效電阻的計(jì)算及電路的化簡(jiǎn)。

難點(diǎn)：電阻的星形網(wǎng)絡(luò)和三角形網(wǎng)絡(luò)的等效變換。2-1等效電路的概念定義：兩個(gè)單口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓、電流關(guān)系相同，則稱其為等效單口網(wǎng)絡(luò)或等效電路。

最簡(jiǎn)單的二端網(wǎng)絡(luò)示例

關(guān)聯(lián)方向NUIURIUS-+RSUI無(wú)源二端網(wǎng)絡(luò)有源二端網(wǎng)絡(luò)非關(guān)聯(lián)方向NUI一、電阻的串聯(lián)電路中若干個(gè)電阻依次聯(lián)接，各電阻流過(guò)同一電流，這種聯(lián)接形式稱為電阻的串聯(lián)。

設(shè)n個(gè)電阻串聯(lián)UIReq+-UIR1R2Rn+-1.等效電阻2-1電阻的串聯(lián)、并聯(lián)和混聯(lián)電路電阻串聯(lián)時(shí)，每電阻上的電壓2.分壓作用說(shuō)明:在串聯(lián)電路中，當(dāng)外加電壓一定時(shí)，各電阻端電壓的大小與它的電阻值成正比。電阻串聯(lián)時(shí)，每個(gè)電阻的功率與電阻的關(guān)系為：同理推出:P1:P2

:…:

Pn=R1

:R2

:…:Rn電阻串聯(lián)的應(yīng)用很多，例如，為了擴(kuò)大電壓表的量程，就需要與電壓表（或電流表）串聯(lián)電阻；當(dāng)負(fù)載的額定電壓低于電源電壓時(shí)，可以通過(guò)串聯(lián)一個(gè)電阻來(lái)分壓；為了調(diào)節(jié)電路中的電流，通?？稍陔娐分写?lián)一個(gè)變阻器。例2-1

如圖所示，要將一個(gè)滿刻度偏轉(zhuǎn)電流Ig為50μA，電阻Rg為2kΩ的電流表，制成量程為50V/100V的直流電壓表，應(yīng)串聯(lián)多大的附加電阻R1、R2？-+50V+100V-Ug+R1

R2Ig例2-1電路圖

為了擴(kuò)大量程，必須串上附加電阻來(lái)分壓，可列出以下方程解得附加電阻R1=998kΩ，R2=106Ω=1000kΩ滿刻度時(shí)，表頭所承受電壓為解:-+50V+100V-Ug+R1

R2Ig例2-1電路圖二、電阻的并聯(lián)電路中若干個(gè)電阻聯(lián)接在兩個(gè)公共點(diǎn)之間，每個(gè)電阻承受同一電壓，這樣的聯(lián)接形式稱為電阻的并聯(lián)。設(shè)n個(gè)電阻并聯(lián)UIReq+-IInI2R2IR1Rn+U－1.等效電阻IInI2R2IR1Rn+U－UIReq+-兩個(gè)電阻并聯(lián)時(shí)的等效：2.分流作用說(shuō)明:兩個(gè)電阻并聯(lián)，電阻小分流大；電阻大分流小。電阻并聯(lián)時(shí)，每個(gè)電阻的功率與電阻的關(guān)系為：同理推出:IR2I2R1I1兩電阻并聯(lián)：電阻并聯(lián)時(shí)，各電阻上的功率與它的阻值的倒數(shù)成正比或與它的電導(dǎo)成正比。并聯(lián)電路分流作用的應(yīng)用之一是電流表擴(kuò)展量程。例2-2電路如圖，要將一個(gè)滿刻度偏轉(zhuǎn)電流Ig=50μA，內(nèi)阻Rg為2kΩ的表頭制成量程為50mA的直流電流表，并聯(lián)分流電阻Rs應(yīng)多大？依題意，已知Ig=50μA，Rg=2kΩ，由分流式得分流電阻Rs≈2.00ΩIRgIgRs

例2-2電路圖解:三、電阻的混聯(lián)

例2-3電路如圖，計(jì)算ab兩端的等效電阻Rab。ba6Ω7Ω9Ω3Ωba6Ω1Ω7Ω9Ω3Ωba4.5Ωba2Ω7Ω9Ω例2-3電路圖解:得例2-4圖示橋式電路，若已知I5=0，R1=1Ω，R2=2Ω，R3=2Ω，R4=4Ω，R5=5Ω。求ab兩端的等效電阻Req。II5R5R4R3R2R1+U－abI+U－R4R3R2R1abI+U－R4R3R2R1ba例2-4電路圖I5=0，R5支路開(kāi)路I5=0，R5支路短路解:2-3電阻的Y與Δ聯(lián)結(jié)及等效變換如例2-4中I5≠0時(shí)，對(duì)R5支路既不能開(kāi)路也不能短路處理，此時(shí)電路無(wú)法用電阻串并聯(lián)關(guān)系進(jìn)行分析，則引出Y、Δ變換問(wèn)題，例如:1231231231231.Y形聯(lián)接：三個(gè)電阻一端連接為一點(diǎn)，另一端分別引出三個(gè)端頭。2.△形聯(lián)接：三個(gè)端鈕,每?jī)蓚€(gè)端鈕之間連接一個(gè)電阻。RcaRabRbcabci1ii23'''UabUbcUcacabaRbRcI1I3I2RUabUbcUca兩電路的三個(gè)對(duì)應(yīng)端a、b、c的電流Ia、Ib、Ic及三個(gè)對(duì)應(yīng)端之間的電壓Uab、Ubc、Uca應(yīng)相等，則兩電路（對(duì)外）等效。利用電路等效概念推出Y-△等效變換公式△→Y：分母為三個(gè)電阻的和，分子為三個(gè)待求電阻相鄰兩電阻之積。Y→△：分子為電阻兩兩相乘再相加，分母為待求電阻對(duì)面的電阻。Y→△△→Y特例對(duì)稱三角形聯(lián)結(jié)或星形聯(lián)結(jié)：若

Ra=Rb=Rc=RY，則有若R12=R23=R31=RΔ，則有R12=R23=R31=RΔ=3RY注：電阻星形聯(lián)結(jié)有時(shí)又稱為T形電阻，電阻三角形聯(lián)結(jié)也稱為Π形電路。例2-6圖示電路，已知Us=100V，R1=100Ω，R2=20Ω，R3=80Ω，R4=R5=40Ω，求電流I。

IR5R4R3R2R1dacb+Us－Rc+Us－dacbR3R5IRbRaΔ

→Y解:練習(xí)：若將Y→△（如下圖），情況如何。aR5R4R3R2R1dcbadReqRbdRadRabR2R5abdReqadReqab

說(shuō)明:使用△-Y

等效變換公式前，應(yīng)先標(biāo)出3個(gè)端子標(biāo)號(hào)，再套用公式計(jì)算,切記在△-Y變換時(shí)標(biāo)出的3個(gè)端子不要變沒(méi)了。2-4電源的聯(lián)結(jié)及兩種實(shí)際電源模型的等效變換

一、電源的聯(lián)結(jié)n個(gè)電壓源串聯(lián)：n個(gè)電流源并聯(lián)：IsnbaIs2Is1bIsaab+Us1-+Us2-+Usn-

+Us

-ababI＋Us－R＋Us－abI＋Us－abIIsR－Us

＋I(xiàn)sab＋U

－＋U

－Isbaa＋U

－－Us

＋I(xiàn)sb例2-7求圖(a)所示電路的最簡(jiǎn)等效電路。據(jù)電源等效概念，化簡(jiǎn)得到最簡(jiǎn)電路。＋10V－5Ωab1A2A(a)＋10V－5Ωab2A(b)2Aab(c)解:等效電路如圖(c)所示。二、兩種實(shí)際電源模型的等效變換＋Us－IRs1＋U－外電路I′Rs2Is外電路＋U′－①②實(shí)際電流源模型實(shí)際電壓源模型Rs1=Rs2=Rs

或1.推證若兩個(gè)電路相互等效，即U=U

、I=I

則有1.當(dāng)實(shí)際電壓源等效變換為實(shí)際電流源時(shí)2.當(dāng)實(shí)際電流源等效變換為實(shí)際電壓源時(shí)4.利用電源等效變換可以簡(jiǎn)化電路。結(jié)論：另外，兩種電源模型等效變換時(shí)，還應(yīng)注意：2.理想電壓源（Rs=0）與理想電流源（Rs=∞）之間不能等效變換。3.等效變換時(shí)應(yīng)注意電壓源的Us和電流源的Is參考方向相反。Rs2=Rs1Rs1=Rs21.電源等效變換是對(duì)外電路而言，電路內(nèi)部并不等效。例2-9將圖(a)所示電路化簡(jiǎn)為一個(gè)實(shí)際電流源模型。ab1Ω＋2V－2Ω＋10V－1A(a)1Ω＋2V－ab2Ω5A1A(b)1Ω＋2V－＋8V－2Ωab(d)ab1Ω＋2V－2Ω4A(c)＋6V－3Ωab(e)ab2A3Ω(f)解:小結(jié)2.串聯(lián)電路的等效電阻等于各電阻之和；并聯(lián)電路的等效電導(dǎo)等于各電導(dǎo)之和；混聯(lián)電路的等效電阻可由電阻串并聯(lián)計(jì)算得出。1.等效網(wǎng)絡(luò)的概念：一個(gè)N端網(wǎng)絡(luò)的端口電壓電流關(guān)系與另一個(gè)N端口網(wǎng)絡(luò)的端口電壓電流關(guān)系相同，這兩個(gè)網(wǎng)絡(luò)對(duì)外部而言稱為等效網(wǎng)絡(luò)。3.串聯(lián)電阻具有分壓作用，電阻越大，分壓越高；并聯(lián)電阻具有分流作用，電阻越小，分流越大。5.實(shí)際電壓源和實(shí)際電流源可以相互等效變換,其等效變換關(guān)系式為4.電阻Y聯(lián)接和△聯(lián)接可以等效變換，對(duì)稱情況下等效變換條件：R△=3RY教學(xué)內(nèi)容

支路電流法、網(wǎng)孔電流法和結(jié)點(diǎn)電位法。教學(xué)要求

1.加深基爾霍夫定律的理解。

2.熟練掌握支路電流法的應(yīng)用。

3.初步掌握網(wǎng)孔電流法。

4.熟練掌握結(jié)點(diǎn)電位法的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：支路電流法、結(jié)點(diǎn)電位法。難點(diǎn)：理想電壓源的電流和理想電流源的電壓的求解。2-5支路電流法

方法：以支路電流為未知量，直接應(yīng)用KCL和KVL分別對(duì)結(jié)點(diǎn)和回路列出所需要的結(jié)點(diǎn)電流方程及回路電壓方程，然后聯(lián)立求解，得出各支路的電流值。

電路分析I2R2baI1I3＋Us1－＋Us3－R1R3IⅢⅡ

結(jié)點(diǎn)數(shù)

n=2支路數(shù)b=3結(jié)點(diǎn)a：結(jié)點(diǎn)b：回路I：回路Ⅱ：回路Ⅲ：網(wǎng)孔是最容易選擇的獨(dú)立回路。?n個(gè)結(jié)點(diǎn)有(n-1)個(gè)獨(dú)立的KCL方程?？梢宰C明：?獨(dú)立的回路m=b-（n-1）。解方程組就可以求得I1、I2和I3。（n-1）獨(dú)立結(jié)點(diǎn)。支路電流法的一般步驟如下：（1）選定支路電流的參考方向，標(biāo)明在電路圖上，b條支路共有b個(gè)未知變量。（2）根據(jù)KCL列出結(jié)點(diǎn)方程，n個(gè)結(jié)點(diǎn)可列(n-1)個(gè)獨(dú)立方程。（3）選定網(wǎng)孔繞行方向，標(biāo)明在電路圖上，根據(jù)KVL列出網(wǎng)孔方程，網(wǎng)孔數(shù)就等于獨(dú)立回路數(shù)，可列m個(gè)獨(dú)立電壓方程。（4）聯(lián)立求解上述b個(gè)獨(dú)立方程，求得各支路電流。例2-10用支路電流法求圖示電路各支路電流。

選定并標(biāo)出支路電流I1、I2、I3。由結(jié)點(diǎn)a按KCL，有選定網(wǎng)孔繞行方向，由網(wǎng)孔Ⅰ按KVL，有由網(wǎng)孔Ⅱ，按KVL，有I1=3A，I2=-2A，I3=1A聯(lián)立以上三個(gè)式子，求解得_9V+II1aI33Ω3Ω6Ω+12V-bⅡI2例2-10電路圖解:例2-11用支路電流法求圖示電路各支路電流。

標(biāo)出支路電流I1、I2、I3和電流源端電壓U0，并選定網(wǎng)孔繞向。列KCL和KVL方程得

補(bǔ)充一個(gè)輔助方程

聯(lián)立方程組得

2A+U0－I2II1I32Ω2Ω+2V-+2V-Ⅱ例2-11電路圖支路中含有恒流源的情況支路電流未知數(shù)少一個(gè)是否能少列一個(gè)方程?結(jié)果：2個(gè)未知電流+1個(gè)電壓未知=3個(gè)未知數(shù)，由3個(gè)方程求解。不能解:2-6網(wǎng)孔電流法

方法：以假想的網(wǎng)孔電流為未知量，應(yīng)用KVL列出網(wǎng)孔方程，聯(lián)立方程求得各網(wǎng)孔電流，再根據(jù)網(wǎng)孔電流與支路電流的關(guān)系式，求得各支路電流。

I2R2baI1I3＋Us1－＋Us3－R1R3Il1Il2電路分析網(wǎng)孔電流Il1、Il2是假想的，網(wǎng)孔電流與支路電流的關(guān)系?選取網(wǎng)孔繞行方向與網(wǎng)孔電流參考方向一致，根據(jù)KVL可列網(wǎng)孔方程：?整理得：?可以概括為如下形式規(guī)律：（1）R11、R12分別稱為網(wǎng)孔1、2的自電阻之和，其值等于各網(wǎng)孔中所有支路的電阻之和，它們總?cè)≌担琑11=R1+R2，R22=R2+R3。（2）R12、R21

稱為網(wǎng)孔1、2之間的互電阻，R12=-R2，R21=-R2，可以看出，R12=R21，其絕對(duì)值等于這兩個(gè)網(wǎng)孔的公共支路的電阻。當(dāng)兩個(gè)網(wǎng)孔電流流過(guò)公共支路的參考方向相同時(shí)，互電阻取正號(hào)，否則取負(fù)號(hào)。（3）Us11、Us22分別稱為網(wǎng)孔1、2中所有電壓源的代數(shù)和，Us11=Us1、Us22=-Us3。當(dāng)電壓源電壓的參考方向與網(wǎng)孔電流方向一致時(shí)取負(fù)號(hào)，否則取正號(hào)。

一般形式：網(wǎng)孔電流法的一般步驟如下：（1）選定網(wǎng)孔電流的參考方向，標(biāo)明在電路圖上，并以此方向作為網(wǎng)孔的繞行方向。m個(gè)網(wǎng)孔就有m個(gè)網(wǎng)孔電流。（2）按上述規(guī)則列出網(wǎng)孔電流方程。（3）聯(lián)立并求解方程組，求得網(wǎng)孔電流。（4）根據(jù)網(wǎng)孔電流與支路電流的關(guān)系式，求得各支路電流或其他需求的電量。例2-13

用網(wǎng)孔電流法求圖示電路電流I。電路中含有電流源，選取網(wǎng)取電流Il1、Il2如圖示。Il1唯一流過(guò)含電流源的網(wǎng)孔電流，且參考方向與電流源電流方向相反，所以Il2=－1A。列左邊網(wǎng)孔方程為將Il2代入，并整理得1A+10V－4ΩIl2IIl16Ω4Ω例2-13電路圖解:2-7結(jié)點(diǎn)電位法

以結(jié)點(diǎn)電位為未知量，將各支路電流用結(jié)點(diǎn)電位表示，應(yīng)用KCL列出獨(dú)立結(jié)點(diǎn)的電流方程，聯(lián)立方程求得各結(jié)點(diǎn)電位，再根據(jù)結(jié)點(diǎn)電位與各支路電流關(guān)系式，求得各支路電流。方法：OI1Is1bI4R4R5+Us5－I5I2+Us2

－

R2I3R3R1a電路分析設(shè)獨(dú)立結(jié)點(diǎn)的電位為Va、Vb。圖示各支路電流與結(jié)點(diǎn)電位存在以下關(guān)系式：?將前頁(yè)☆式代入上式子得

OI1Is1bI4R4R5+Us5－I5I2+Us2

－

R2I3R3R1a?對(duì)結(jié)點(diǎn)a、b分別列寫KCL方程?整理得?可以概括為如下形式規(guī)律：（1）Gaa、Gbb分別稱為結(jié)點(diǎn)a、b的自導(dǎo)，Gaa=G1+G2+G3，Gbb=G2+G3+G4+G5，其數(shù)值等于各獨(dú)立結(jié)點(diǎn)所連接的各支路的電導(dǎo)之和，它們總?cè)≌?。?）Gab、Gba稱為結(jié)點(diǎn)a、b的互導(dǎo)，Gab=Gba=－(G2+G3)，其數(shù)值等于兩點(diǎn)間的各支路電導(dǎo)之和，它們總?cè)∝?fù)值。（3）Isaa、Isbb分別稱為流入結(jié)點(diǎn)a、b的等效電流源的代數(shù)和，若是電壓源與電阻串聯(lián)的支路，則看成是已變換了的電流源與電導(dǎo)相并聯(lián)的支路。當(dāng)電流源的電流方向指向相應(yīng)結(jié)點(diǎn)時(shí)取正號(hào)，反之，則取負(fù)號(hào)。一般形式：結(jié)點(diǎn)電位法的一般步驟如下：（1）選定參考結(jié)點(diǎn)O，用“⊥”符號(hào)表示，并以獨(dú)立結(jié)點(diǎn)的結(jié)點(diǎn)電位作為電路變量。（2）按上述規(guī)則列出結(jié)點(diǎn)電位方程。（3）聯(lián)立并求解方程組，求得出各結(jié)點(diǎn)電位。（4）根據(jù)結(jié)點(diǎn)電位與支路電流的關(guān)系式，求得各支路電流或其他需求的電量。例2-14用結(jié)點(diǎn)電位法求圖示電路中各支路電流。ObaI4-4V+I14ΩI32Ω5A4ΩI2＋12V－2Ω例2-14電路圖設(shè)結(jié)點(diǎn)電位為Va、Vb，列方程為解方程組得Va=4VVb=-4V化簡(jiǎn)得解:根據(jù)圖中標(biāo)出的各支路電流的參考方向，可計(jì)算得ObaI4-4V+I14ΩI32Ω5A4ΩI2＋12V－2Ω例2-15用結(jié)點(diǎn)電位法求圖示電路電流I1、I2、I3。電位選擇如圖，設(shè)結(jié)點(diǎn)電位Va、Vb、Vc。因?yàn)榻Y(jié)點(diǎn)c與參考結(jié)點(diǎn)o連接有理想電壓源，有Vc=1V。－2V+Obac1Ω1Ω2ΩI3-1V++10V－2ΩI1

0.5ΩI22A例2-15電路圖結(jié)點(diǎn)a：?列結(jié)點(diǎn)電位方程：結(jié)點(diǎn)b：Vc=1V結(jié)點(diǎn)