考點(diǎn)15 旋轉(zhuǎn)變換（解析版）

旋轉(zhuǎn)變換通常結(jié)合全等三角形探索角的數(shù)量關(guān)系，線(xiàn)段與線(xiàn)段之間的位置關(guān)系與數(shù)量關(guān)系，經(jīng)常作為作為中等偏難一點(diǎn)的題型出現(xiàn)．★★★○○○○旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)有：①旋轉(zhuǎn)角是對(duì)應(yīng)點(diǎn)與旋轉(zhuǎn)中心所連線(xiàn)段的夾角是旋轉(zhuǎn)角；②旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；③對(duì)應(yīng)點(diǎn)到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等．如圖，△ABC繞點(diǎn)O逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)∠AOA′到△A′B′C′的位置，則①旋轉(zhuǎn)角是∠AOA′＝∠BOB′＝∠COC′；②△ABC≌△A′B′C′；③OA＝OA′，OB＝OB′，OC＝OC′．1.注意旋轉(zhuǎn)的三要素：旋轉(zhuǎn)中心，旋轉(zhuǎn)方向，旋轉(zhuǎn)角；2.抓住旋轉(zhuǎn)只是改變圖形的位置，不改變圖形的形狀和大小，即旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等；3.能夠用旋轉(zhuǎn)解題的圖形的基本特征是有公共端點(diǎn)且相等的兩條線(xiàn)段，這個(gè)公共端點(diǎn)往往會(huì)是旋轉(zhuǎn)中心．例1.如圖，將Rt△ABC（其中∠B＝35°，∠C＝90°）繞點(diǎn)A按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)到△AB1C1的位置，使得點(diǎn)C，A，B1在同一條直線(xiàn)上，那么旋轉(zhuǎn)角等于()A.55°B.70°C.125°D.155°【答案】C例2.如圖，點(diǎn)P為定角∠AOB的平分線(xiàn)上的一個(gè)定點(diǎn)，且∠MPN與∠AOB互補(bǔ)，若∠MPN在繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，其兩邊分別與OA、OB相交于M、N兩點(diǎn)，則以下結(jié)論：（1）PM＝PN恒成立；（2）OM＋ON的值不變；（3）四邊形PMON的面積不變；（4）MN的長(zhǎng)不變，其中正確的個(gè)數(shù)為（）A.4B.3C.2D.1【答案】B學(xué)科@網(wǎng)【精細(xì)解讀】因?yàn)榻瞧椒志€(xiàn)上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等，所以存在著隱性的有公共端點(diǎn)的相等線(xiàn)段的特征，故可考慮過(guò)點(diǎn)P作∠AOB的兩邊的垂線(xiàn)，再結(jié)合旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)求解．如圖作PE⊥OA于E，PF⊥OB于F．例3.如圖1，在△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)P為△ABC內(nèi)一點(diǎn).（1）連接PB，PC，將△BCP沿射線(xiàn)CA方向平移，得到△DAE，點(diǎn)B，C，P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為點(diǎn)D、A、E，連接CE.①依題意，請(qǐng)?jiān)趫D2中補(bǔ)全圖形；②如果BP⊥CE，BP＝3，AB＝6，求CE的長(zhǎng)．（2）如圖3，以點(diǎn)A為旋轉(zhuǎn)中心，將△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△AMN，連接PA、PB、PC，當(dāng)AC＝3，AB＝6時(shí)，根據(jù)此圖求PA＋PB＋PC的最小值．【答案】（1）（2）∵△BCP沿射線(xiàn)CA方向平移，得到△DAE，∴BC∥AD且BC＝AD，∵∠ACB＝90°，∴四邊形BCAD是矩形，∴CD＝AB＝6，∵BP＝3，∴DE＝BP＝3，∵BP⊥CE，BP∥DE，∴DE⊥CE，∴在Rt△DCE中，；（2）證明：如圖所示，1.把邊長(zhǎng)為3的正方形ABCD繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°得到正方形AB′C′D′，邊BC與D′C′交于點(diǎn)O，則四邊形ABOD′的周長(zhǎng)是()A.62B.6C.32D.3＋32【答案】A【解析】試題解析：連接BC′，∵旋轉(zhuǎn)角∠BAB′＝45°，∠BAD′＝45°，∴B在對(duì)角線(xiàn)AC′上，∵B′C′＝AB′＝3，在Rt△AB′C′中，AC′＝A'B'2+B'C'2=32，∴在等腰Rt△OBC′中，OB＝BC′＝32－3，在直角三角形OBC′中，OC′＝2（32－3）＝6－32，∴OD′＝3－OC′＝32－3，∴四邊形ABOD′的周長(zhǎng)是：2AD′＋OB＋OD′＝6＋32－3＋32－3＝62．故選A．2.兩個(gè)全等的三角尺重疊放在△ACB的位置，將其中一個(gè)三角尺繞著點(diǎn)C按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)至△DCE的位置，使點(diǎn)A恰好落在邊DE上，AB與CE相交于點(diǎn)F．已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠B＝30°，AB＝8cm，則CF＝_________cm．【答案】3.如圖，菱形ABCD中，邊長(zhǎng)為2，∠B＝60°，將△ACD繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)，當(dāng)AC（即A′C）與AB交于一點(diǎn)E，CD（即CD′）同時(shí)與AD交于一點(diǎn)F時(shí)，點(diǎn)E，F(xiàn)和點(diǎn)A構(gòu)成△AEF．試探究△AEF的周長(zhǎng)是否存在最小值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；如果存在，請(qǐng)計(jì)算出△AEF周長(zhǎng)的最小值.【答案】2＋（每道試題10分，總計(jì)100分）1.如圖，在□ABCD中，AE⊥BC于點(diǎn)E，以點(diǎn)B為中心，取旋轉(zhuǎn)角等于∠ABC，把△BAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BA′E′，連接DA′，若∠ADC＝60°，∠ADA′＝50°，則∠DA′E′的大小為（）A.130°B.150°C.160°D.170°【答案】C【解析】根據(jù)平行四邊形對(duì)角相等、鄰角互補(bǔ)，得∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，再由∠A′DC＝10°，可運(yùn)用三角形外角求出∠DA′B＝130°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得到∠BA′E′＝∠BAE＝30°，從而得到答案．解：∵四邊形ABCD是平行四邊形，∠ADC＝60°，∴∠ABC＝60°，∠DCB＝120°，∵∠ADA′＝50°，∴∠A′DC＝10°，∴∠DA′B＝130°，∵AE⊥BC于點(diǎn)E，∴∠BAE＝30°，∵△BAE順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，得到△BA′E′，∴∠BA′E′＝∠BAE＝30°，∴∠DA′E′＝∠DA′B＋∠BA′E′＝160°．故選C．學(xué)科@網(wǎng)2.如圖，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，將△ABC繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△AB1C1，當(dāng)點(diǎn)C1、B1、C三點(diǎn)共線(xiàn)時(shí)，旋轉(zhuǎn)角為α，連接BB1，交AC于點(diǎn)D．下面結(jié)論：①△AC1A.①③④B.①②④C.②③④D.①②③④【答案】B3.三角板ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，AC＝2，三角板繞直角頂點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，當(dāng)點(diǎn)A的對(duì)應(yīng)點(diǎn)A′落在A(yíng)B邊的起始位置上時(shí)即停止轉(zhuǎn)動(dòng)，則B點(diǎn)轉(zhuǎn)過(guò)的路徑長(zhǎng)為（）A.πB.πC.2πD.3π【答案】C4.如圖，將△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′C′B，且BC＝2，那么CC′的長(zhǎng)是___________.【答案】2；【解析】試題解析：∵△ABC繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△A′C′B，∴BC＝BC′＝2，∠CBC′＝60°，∴△BCC′為等邊三角形，∴CC′＝BC＝BC′＝2.學(xué)科@網(wǎng)5.如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，∠ABC＝60°，AB＝12cm，將△ABC以點(diǎn)B為中心順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)到AB邊延長(zhǎng)線(xiàn)上的點(diǎn)D處，則AC邊掃過(guò)的圖形（陰影部分）的面積是_____cm2．（結(jié)果保留π）．【答案】36π6.在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝1，BC＝3，點(diǎn)O為Rt△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接AO、BO、CO，且∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，則OA＋OB＋OC＝__________．【答案】【解析】試題解析：∵∠ACB＝90°，AC＝1，BC＝3，∴tan∠ABC＝ACBC∴∠ABC＝30°，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，∴∠A′BC＝∠ABC＋60°＝30°＋60°＝90°，∴A′B⊥CB，∵∠ACB＝90°，AC＝1，∠ABC＝30°，∴AB＝2AC＝2，∵△AOB繞點(diǎn)B順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)60°，得到△A′O′B，∴A′B＝AB＝2，BO＝BO′，A′O′＝AO，∴△BOO′是等邊三角形，∴BO＝OO′，∠BOO′＝∠BO′O＝60°，∵∠AOC＝∠COB＝∠BOA＝120°，∴∠COB＋∠BOO′＝∠BO′A′＋∠BO′O＝120°＋60°＝180°，∴C、O、A′、O′四點(diǎn)共線(xiàn)，在Rt△A′BC中，A′C＝BC2+A'B2=7，∴OA＋OB＋OC＝A′O′＋OO′＋OC7.如圖，⊙P的半徑為5，A、B是圓上任意兩點(diǎn)，且AB＝6，以AB為邊作正方形ABCD（點(diǎn)D、P在直線(xiàn)AB兩側(cè)）．若AB邊繞點(diǎn)P旋轉(zhuǎn)一周，則CD邊掃過(guò)的面積為_(kāi)___．【答案】9π8.如圖，四邊形ABCD是正方形，△ADF按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)一定角度后得到△ABE，若AF＝4，AB＝7.（1）旋轉(zhuǎn)中心為_(kāi)_____；旋轉(zhuǎn)角度為_(kāi)_____；（2）DE的長(zhǎng)度為_(kāi)_____；（3）指出BE與DF的位置關(guān)系如何？并說(shuō)明理由.【答案】（1）A，90°；（2）3；（3）BE⊥DF，理由見(jiàn)解析.9.如圖（1），已知△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，AE是過(guò)A的一條直線(xiàn)，且B、C在A(yíng)、E的異側(cè)，BD⊥AE于D，CE⊥AE于E（1）試說(shuō)明：BD＝DE＋CE．（2）若直線(xiàn)AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時(shí)（BD＜CE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果；（3）若直線(xiàn)AE繞A點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到圖（3）位置時(shí)（BD＞CE），其余條件不變，問(wèn)BD與DE、CE的關(guān)系如何？請(qǐng)直接寫(xiě)出結(jié)果，不需說(shuō)明理由．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）DE＝BD＋CE；（3）DE＝BD＋CE．10.（1）探究：如圖，四邊形中，已知，，點(diǎn)分別在邊上，；①如圖1，若都是直角，把繞點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至，使與重合，則能證得，請(qǐng)寫(xiě)出推理過(guò)程；②如圖2，若不是直角，則當(dāng)滿(mǎn)足數(shù)量關(guān)系時(shí)，仍有；（2）拓展：如圖3，在中，，，點(diǎn)均在邊上，且，若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）①證明見(jiàn)解析；②當(dāng)∠B＋∠ADC＝180°時(shí)，EF＝BE＋DF；(2)DE＝.【解析】試題分析:（1）①根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，BE＝DG，求出∠EAF＝∠GAF＝45°，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；②根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AE＝AG，∠B＝∠ADG，∠BAE＝∠DAG，求出C、D、G在一條直線(xiàn)上，根據(jù)SAS推出△EAF≌△GAF，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得出EF＝GF，即可求出答案；（2）根據(jù)等腰直角三角形性質(zhì)好勾股定理求出∠ABC＝∠C＝45°，BC＝4，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出AF＝AE，∠FBA＝∠C＝45°，∠BAF＝∠CAE，求出∠FAD＝∠DAE＝45°，證△FAD≌△EAD，根據(jù)全等得出DF＝DE，設(shè)DE＝x，則DF＝x，BF＝CE＝3?x，根據(jù)勾股定理得出方程，求出x即可．②當(dāng)∠B＋∠ADC＝180°時(shí)，EF＝BE＋DF；把△ACE旋轉(zhuǎn)到ABF的位置，連接DF，則∠FAB＝∠CAE.∵∠BAC＝90°，∠DAE＝45°，∴∠BAD＋∠CAE＝45°，又∵∠FAB＝∠CAE，∴∠FAD＝∠DAE＝45°，則在△ADF和△ADE中，，∴△ADF≌△ADE，∴DF＝DE，∠C＝∠ABF＝45°，∴∠BDF＝90°，∴△BDF是直角三角形，∴，∴．∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝，∴BC＝4，∵BD＝1，∴DC＝3，EC＝3－DE，∴，解得DE＝．學(xué)科@網(wǎng)__________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________