高二數(shù)學(xué)寒假講義練習(xí)（新人教A專用）第01講 空間向量與立體幾何（教師卷）

第01講空間向量與立體幾何【【考點目錄】【【知識梳理】知識點1空間向量的有關(guān)概念1．在空間，把具有方向和大小的量叫做空間向量，空間向量的大小叫做空間向量的長度或模．注：數(shù)學(xué)中討論的向量與向量的起點無關(guān)，只與大小和方向有關(guān)，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內(nèi)任意平移，故我們稱之為自由向量。2.表示法：（1）幾何表示法：空間向量用有向線段表示，有向線段的長度表示空間向量的模（2）字母表示法：用字母表示，若向量a的起點是A，終點是B，則a也可記作eq\o(AB,\s\up6(→))，其模記為|a|或|eq\o(AB,\s\up6(→))|.3．幾類特殊的空間向量名稱定義表示法零向量規(guī)定長度為0的向量叫做零向量記為0單位向量模為1的向量叫做單位向量|a|＝1或|eq\o(AB,\s\up7(→))|＝1相反向量與向量a長度相等而方向相反的向量，叫做a的相反向量記為－a共線向量如果表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，那么這些向量叫做共線向量或平行向量．規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對于任意向量a，都有0∥aa∥b或eq\o(AB,\s\up7(→))∥eq\o(CD,\s\up7(→))相等向量方向相同且模相等的向量稱為相等向量．在空間，同向且等長的有向線段表示同一向量或相等向量a＝b或eq\o(AB,\s\up7(→))＝eq\o(CD,\s\up7(→))知識點2空間向量的線性運算（一）空間向量的加減運算加法運算三角形法則語言敘述首尾順次相接，首指向尾為和圖形敘述平行四邊形法則語言敘述共起點的兩邊為鄰邊作平行四邊形，共起點對角線為和圖形敘述減法運算三角形法則語言敘述共起點，連終點，方向指向被減向量圖形敘述加法運算交換律a＋b＝b＋a結(jié)合律(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)（二）空間向量的數(shù)乘運算定義與平面向量一樣，實數(shù)λ與空間向量a的乘積λa仍然是一個向量，稱為空間向量的數(shù)乘幾何意義λ>0λa與向量a的方向相同λa的長度是a的長度的|λ|倍λ<0λa與向量a的方向相反λ＝0λa＝0，其方向是任意的運算律結(jié)合律λ(μa)＝(λμ)a分配律(λ＋μ)a＝λa＋μa，λ(a＋b)＝λa＋λb知識點3共線向量與共面向量1．共線向量與共面向量的區(qū)別共線(平行)向量共面向量定義表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，這些向量叫做共線向量或平行向量注：規(guī)定：零向量與任意向量平行，即對任意向量a，都有0∥a.平行于同一個平面的向量叫做共面向量充要條件共線向量定理：對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ使a＝λb.注：（1）存在唯一實數(shù)，使得；（2）存在唯一實數(shù)，使得，則．注意：不可丟掉，否則實數(shù)就不唯一．共面向量定理：若兩個向量a，b不共線，則向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.對空間任一點O，eq\o(OP,\s\up7(→))＝xeq\o(OA,\s\up7(→))＋yeq\o(OB,\s\up7(→))(x＋y＝1)．1、空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件：存在有序?qū)崝?shù)對(x，y),使eq\o(AP,\s\up8(→))＝xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→))或?qū)臻g任意一點O，有eq\o(OP,\s\up8(→))＝eq\o(OA,\s\up8(→))＋xeq\o(AB,\s\up8(→))＋yeq\o(AC,\s\up8(→)).2、空間中四點共面的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對，使得對空間中任意一點，都有用途共線向量定理的用途：①判定兩條直線平行；（進(jìn)而證線面平行）②證明三點共線。注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進(jìn)而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法。證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點。共面向量定理的用途：①證明四點共面②線面平行（進(jìn)而證面面平行）。2.直線l的方向向量如圖O∈l，在直線l上取非零向量a，設(shè)P為l上的任意一點，則?λ∈R使得eq\o(OP,\s\up7(→))＝λa.定義：把與a平行的非零向量稱為直線l的方向向量．知識點4空間向量的夾角定義如圖，已知兩個非零向量a，b，在空間任取一點O，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，eq\o(OB,\s\up6(→))＝b，則∠AOB叫做向量a，b的夾角，記作〈a，b〉范圍0≤〈a，b〉≤π向量垂直如果〈a，b〉＝eq\f(π,2)，那么向量a，b互相垂直，記作a⊥b知識點5空間向量的數(shù)量積運算1．(1)空間向量的數(shù)量積已知兩個非零向量a，b，則|a||b|cos〈a，b〉叫做a，b的數(shù)量積，記作a·b，即a·b＝|a||b|·cos〈a，b〉．零向量與任意向量的數(shù)量積為0，即0·a＝0.注：等于的長度與在的方向上的投影的乘積．(2)運算律數(shù)乘向量與數(shù)量積的結(jié)合律(λa)·b＝λ(a·b)，λ∈R交換律a·b＝b·a分配律a·(b＋c)＝a·b＋a·c2.投影向量及直線與平面所成的角(1)如圖①，在空間，向量a向向量b投影，由于它們是自由向量，因此可以先將它們平移到同一個平面α內(nèi)，進(jìn)而利用平面上向量的投影，得到與向量b共線的向量c，c＝|a|cos〈a，b〉eq\f(b,|b|)，向量c稱為向量a在向量b上的投影向量．類似地，可以將向量a向直線l投影(如圖②)．(2)如圖③，向量a向平面β投影，就是分別由向量a的起點A和終點B作平面β的垂線，垂足分別為A′，B′，得到向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))，向量eq\o(A′B′,\s\up6(→))稱為向量a在平面β上的投影向量．這時，向量a，eq\o(A′B′,\s\up6(→))的夾角就是向量a所在直線與平面β所成的角．知識點6空間向量數(shù)量積運算律及性質(zhì)1、數(shù)量乘積的運算律：；；．2、若，為非零向量，為單位向量，則有；；，，；；．知識點7空間向量基本定理1．定理如果三個向量a，b，c不共面，那么對任意一個空間向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使得p=xa+yb+zc.其中{a，b，c}叫做空間的一個基底，a，b，c都叫做基向量．如果p=xa+yb+zc，則稱xa+yb+zc為p在基底{a，b，c}下的分解式.2．空間向量的正交分解(1)單位正交基底：空間的一個基底中的三個基向量兩兩垂直，且長度都為1，常用{i，j，k}表示．(2)正交分解：由空間向量基本定理可知，對空間中的任意向量a，均可以分解為三個向量xi，yj，zk，使a＝xi＋yj＋zk.像這樣，把一個空間向量分解為三個兩兩垂直的向量，叫做把空間向量正交分解．知識點8空間向量基本定理應(yīng)用1、證明平行、共面問題(1)對于空間任意兩個向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb.(2)如果兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使p＝xa＋yb.(3)直線平行和點共線都可以轉(zhuǎn)化為向量共線問題；點線共面可以轉(zhuǎn)化為向量共面問題．2、求夾角、證明垂直問題(1)θ為a，b的夾角，則cosθ＝eq\f(a·b,|a||b|).(2)若a，b是非零向量，則a⊥b?a·b＝0.3、求距離(長度)問題eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(a))＝eq\r(a·a)(eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\o(AB,\s\up6(→))))＝eq\r(\o(AB,\s\up6(→))·\o(AB,\s\up6(→))))．知識點9空間直角坐標(biāo)系1．空間直角坐標(biāo)系(1)空間直角坐標(biāo)系：在空間選定一點O和一個單位正交基底{i，j，k}，以O(shè)為原點，分別以i，j，k的方向為正方向，以它們的長為單位長度建立三條數(shù)軸：x軸、y軸、z軸，它們都叫做坐標(biāo)軸，這時我們就建立了一個空間直角坐標(biāo)系Oxyz.(2)相關(guān)概念：O叫做原點，i，j，k都叫做坐標(biāo)向量，通過每兩條坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)平面，分別稱為Oxy平面、Oyz平面、Ozx平面，它們把空間分成八個部分．注意點：(1)基向量：|i|＝|j|＝|k|＝1，i·j＝i·k＝j(luò)·k＝0.(2)畫空間直角坐標(biāo)系Oxyz時，一般使∠xOy＝135°(或45°)，∠yOz＝90°.(3)建立的坐標(biāo)系均為右手直角坐標(biāo)系．在空間直角坐標(biāo)系中，讓右手拇指指向x軸的正方向，食指指向y軸的正方向，如果中指指向z軸的正方向，則稱這個坐標(biāo)系為右手直角坐標(biāo)系．2．空間一點的坐標(biāo)、向量的坐標(biāo)（1）空間點的坐標(biāo)在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，i，j，k為坐標(biāo)向量，對空間任意一點A，對應(yīng)一個向量eq\o(OA,\s\up6(→))，且點A的位置由向量eq\o(OA,\s\up6(→))唯一確定，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使eq\o(OA,\s\up6(→))＝xi＋yj＋zk.在單位正交基底{i，j，k}下與向量eq\o(OA,\s\up6(→))對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，叫做點A在空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作A(x，y，z)，其中x叫做點A的橫坐標(biāo)，y叫做點A的縱坐標(biāo)，z叫做點A的豎坐標(biāo)．注：空間直角坐標(biāo)系中坐標(biāo)軸、坐標(biāo)平面上的點的坐標(biāo)特點點的位置x軸上y軸上z軸上坐標(biāo)的形式(x,0,0)(0，y,0)(0,0，z)點的位置Oxy平面內(nèi)Oyz平面內(nèi)Ozx平面內(nèi)坐標(biāo)的形式(x，y,0)(0，y，z)(x,0，z)（2）空間點的對稱問題①空間點的對稱問題可類比平面直角坐標(biāo)系中點的對稱問題，要掌握對稱點的變化規(guī)律，才能準(zhǔn)確求解．②對稱點的問題常常采用“關(guān)于誰對稱，誰保持不變，其余坐標(biāo)相反”這個結(jié)論．（3）空間向量的坐標(biāo)向量的坐標(biāo)：在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中，給定向量a，作eq\o(OA,\s\up6(→))＝a，由空間向量基本定理，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)，使a＝xi＋yj＋zk.有序?qū)崝?shù)組(x，y，z)叫做a在空間直角坐標(biāo)系Oxyz中的坐標(biāo)，可簡記作a＝(x，y，z)．知識點10空間向量的坐標(biāo)運算1．空間向量的坐標(biāo)運算法則設(shè)向量a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，λ∈R，那么向量運算向量表示坐標(biāo)表示加法a＋b(a1＋b1，a2＋b2，a3＋b3)減法a－b(a1－b1，a2－b2，a3－b3)數(shù)乘λa(λa1，λa2，λa3)數(shù)量積a·ba1b1＋a2b2＋a3b3注意點：(1)空間向量運算的坐標(biāo)表示與平面向量的坐標(biāo)表示完全一致．(2)設(shè)A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，z2)，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．即一個空間向量的坐標(biāo)等于表示此向量的有向線段的終點坐標(biāo)減去起點坐標(biāo)．(3)運用公式可以簡化運算：(a±b)2＝a2±2a·b＋b2；(a＋b)·(a－b)＝a2－b2.(4)向量線性運算的結(jié)果仍是向量，用坐標(biāo)表示；數(shù)量積的結(jié)果為數(shù)量．2．空間向量相關(guān)結(jié)論的坐標(biāo)表示設(shè)a＝(a1，a2，a3)，b＝(b1，b2，b3)，則有(1)平行關(guān)系：當(dāng)b≠0時，a∥b?a＝λb?a1＝λb1，a2＝λb2，a3＝λb3(λ∈R)；(2)垂直關(guān)系：a⊥b?a·b＝0?a1b1＋a2b2＋a3b3＝0.(3)|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3)).(4)cos〈a，b〉＝eq\f(a·b,|a||b|)＝eq\f(a1b1＋a2b2＋a3b3,\r(a\o\al(2,1)＋a\o\al(2,2)＋a\o\al(2,3))·\r(b\o\al(2,1)＋b\o\al(2,2)＋b\o\al(2,3))).3．空間兩點間的距離公式在空間直角坐標(biāo)系中，設(shè)P1(x1，y1，z1)，P2(x2，y2，z2)．(1)eq\o(P1P2,\s\up7(――→))＝(x2－x1，y2－y1，z2－z1)．(2)P1P2＝|eq\o(P1P2,\s\up7(――→))|＝eq\r((x2－x1)2＋(y2－y1)2＋(z2－z1)2).(3)若O(0,0,0)，P(x，y，z)，則|eq\o(OP,\s\up6(→))|＝eq\r(x2＋y2＋z2).知識點11空間中點、直線和平面的向量表示1．空間直線的向量表示式設(shè)A是直線上一點，a是直線l的方向向量，在直線l上取eq\o(AB,\s\up6(→))＝a，設(shè)P是直線l上任意一點，(1)點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(AP,\s\up6(→))＝ta，即eq\o(AP,\s\up6(→))＝teq\o(AB,\s\up6(→)).(2)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t.使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋ta.(3)取定空間中的任意一點O，點P在直線l上的充要條件是存在實數(shù)t，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(AB,\s\up6(→)).2．空間平面的向量表示式①如圖，設(shè)兩條直線相交于點O，它們的方向向量分別為a和b，P為平面α內(nèi)任意一點，由平面向量基本定理可知，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得eq\o(OP,\s\up6(→))＝xa＋yb.②如圖，取定空間任意一點O，空間一點P位于平面ABC內(nèi)的充要條件是存在實數(shù)x，y，使eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋xeq\o(AB,\s\up6(→))＋yeq\o(AC,\s\up6(→)).我們把這個式子稱為空間平面ABC的向量表示式．③由此可知，空間中任意平面由空間一點及兩個不共線向量唯一確定．如圖，直線l⊥α，取直線l的方向向量a，我們稱向量a為平面α的法向量．給定一個點A和一個向量a，那么過點A，且以向量a為法向量的平面完全確定，可以表示為集合{P|a·eq\o(AP,\s\up6(→))＝0}．知識點12空間平行、垂直關(guān)系的向量表示設(shè)u1，u2分別是直線l1，l2的方向向量，n1，n2分別是平面α，β的法向量．線線平行l(wèi)1∥l2?u1∥u2??λ∈R，使得u1＝λu2注：此處不考慮線線重合的情況．但用向量方法證明線線平行時，必須說明兩直線不重合證明線線平行的兩種思路：①用基向量表示出要證明的兩條直線的方向向量，通過向量的線性運算，利用向量共線的充要條件證明．②建立空間直角坐標(biāo)系，通過坐標(biāo)運算，利用向量平行的坐標(biāo)表示．線面平行l(wèi)1∥α?u1⊥n1?u1·n1＝0注：證明線面平行時，必須說明直線不在平面內(nèi)；(1)證明線面平行的關(guān)鍵看直線的方向向量與平面的法向量垂直．(2)特別強(qiáng)調(diào)直線在平面外．面面平行α∥β?n1∥n2??λ∈R，使得n1＝λn2注:證明面面平行時，必須說明兩個平面不重合．(1)利用空間向量證明面面平行，通常是證明兩平面的法向量平行．(2)將面面平行轉(zhuǎn)化為線線平行然后用向量共線進(jìn)行證明．線線垂直l1⊥l2?u1⊥u2?u1·u2＝0(1)兩直線垂直分為相交垂直和異面垂直，都可轉(zhuǎn)化為兩直線的方向向量相互垂直．(2)基向量法證明兩直線垂直即證直線的方向向量相互垂直，坐標(biāo)法證明兩直線垂直即證兩直線方向向量的數(shù)量積為0.線面垂直l1⊥α?u1∥n1??λ∈R，使得u1＝λn1（1）基向量法：選取基向量，用基向量表示直線所在的向量，證明直線所在向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（2）坐標(biāo)法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)，證明直線的方向向量與兩個不共線向量的數(shù)量積均為零，從而證得結(jié)論．（3）法向量法：建立空間直角坐標(biāo)系，求出直線方向向量的坐標(biāo)以及平面法向量的坐標(biāo)，然后說明直線方向向量與平面法向量共線，從而證得結(jié)論．面面垂直α⊥β?n1⊥n2?n1·n2＝0(1)常規(guī)法：利用面面垂直的判定定理轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直去證明．(2)法向量法：證明兩個平面的法向量互相垂直知識點13空間距離及向量求法分類點到直線的距離點到平面的距離圖形語言文字語言設(shè)u為直線l的單位方向向量，A∈l，Pl，eq\o(AP,\s\up7(→))＝a，向量eq\o(AP,\s\up7(→))在直線l上的投影向量為eq\o(AQ,\s\up7(→))（eq\o(AQ,\s\up7(→))＝(a·u)u.），則PQ＝eq\r(|eq\o(AP,\s\up7(→))|2－|eq\o(AQ,\s\up7(→))|2)＝eq\r(a2－a·u2)設(shè)已知平面α的法向量為n，A∈α，Pα，向量eq\o(AQ,\s\up7(→))是向量eq\o(AP,\s\up7(→))在平面上的投影向量，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(eq\o(AP,\s\up7(→))·\f(n,|n|)))＝eq\f(|eq\o(AP,\s\up7(→))·n|,|n|)注：實質(zhì)上，n是直線l的方向向量，點P到平面α的距離就是eq\o(AP,\s\up6(→))在直線l上的投影向量eq\o(QP,\s\up6(→))的長度．知識點14空間角及向量求法角的分類向量求法范圍異面直線所成的角設(shè)兩異面直線所成的角為θ，兩直線的方向向量分別為u，v，則cosθ＝|cos〈u，v〉|＝eq\f(|u·v|,|u||v|)兩異面直線所成角的范圍是eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))兩異面直線所成的角與其方向向量的夾角是相等或互補(bǔ)的關(guān)系．直線與平面所成的角設(shè)直線l與平面α所成的角為θ，l的方向向量為u，平面α的法向量為n，則sinθ＝|cos〈u，n〉|＝eq\f(|u·n|,|u||n|)(1)線面角的范圍為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2))).(2)直線與平面所成的角等于其方向向量與平面法向量所成銳角的余角．兩平面的夾角平面α與平面β相交，形成四個二面角，把不大于eq\f(π,2)的二面角稱為這兩個平面的夾角．設(shè)平面α與平面β的夾角為θ，兩平面α，β的法向量分別為n1，n2，則cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝eq\f(|n1·n2|,|n1||n2|)(1)兩個平面的夾角的范圍是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))(2)兩平面的夾角是兩法向量的夾角或其補(bǔ)角．【【考點剖析】考點一空間向量及其線性運算1．（2023·重慶·高二期末）在長方體中，（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的運算法則得到，帶入化簡得到答案.【詳解】在長方體中，易知，所以.故選：D.2．（2023·湖南益陽·高二期末）在四面體中，為的中點，為棱上的點，且，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】利用空間向量加法運算，減法運算，數(shù)乘運算即可得到答案.【詳解】如圖故選：A3．（2023·陜西商洛·高二期末（理））在平行六面體中，點在上，且，若，則（

）A． B．1 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量的加法、減法、數(shù)乘運算即可求解.【詳解】如圖，,所以，所以，故選:C.4．（2023·福建師大附中高二期末）如圖所示，在平行六面體ABCD－A1B1C1D1中，M為A1C1與B1D1的交點.若，，，則下列向量中與相等的向量是（

）.A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量線性運算的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】，故選：A考點二共線問題5．（2023·全國·高二期末）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量共線判斷三點共線即可．【詳解】解：，又與過同一點B，∴A、B、D三點共線．故選：C．6．（2023·山西呂梁·高二期末）在平行六面體中，點P在上，若，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】利用空間向量基本定理，結(jié)合空間向量加法的法則進(jìn)行求解即可.【詳解】因為，，所以有，因此，故選：C7．（2023·上海松江·高二期末）設(shè)是正三棱錐，是的重心，是上的一點，且，若，則為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】如圖所示,連接AG1交BC于點M，則M為BC中點,利用空間向量的運算法則求得，即得.【詳解】如圖所示,連接AG1交BC于點M,則M為BC中點，)=,.因為所以=3(),∴

.則，∴

，，，故選：A.考點三共面問題8．【多選】（2023·廣東江門·高二期末）若構(gòu)成空間的一個基底，則下列向量共面的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)空間向量的共面定理判斷即可.【詳解】A：，A是；B:，B是；C：構(gòu)成空間的一個基底，故無法用表示，C不是；D：，D是；故選：ABD9．（2023·山東·巨野縣第一中學(xué)高二期末）對于空間一點O和不共線三點A，B，C，且有，則（

）A．O，A，B，C四點共面 B．P，A，B，C四點共面C．O，P，B，C四點共面 D．O，P，A，B，C五點共面【答案】B【分析】利用向量加減法，根據(jù)空間向量的加減法，可得三個向量共面，可得答案.【詳解】由，得，即，故共面.又因為三個向量有同一公共點，所以共面.故選：B.10．（2023·上海市建平中學(xué)高二期末）已知A?B?C?D?E是空間中的五個點，其中點A?B?C不共線，則“平面ABC”是“存在實數(shù)x?y，使得的（

）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【分析】根據(jù)充分條件、必要條件的定義結(jié)合向量共面的判定定理即可得出答案.【詳解】若平面ABC，則共面，故存在實數(shù)x?y，使得.若存在實數(shù)x?y，使得，則，，共面則平面ABC或平面ABC.所以“平面ABC”是“存在實數(shù)x?y，使得的充分而不必要條件.故選：A.11．（2023·福建廈門·高二期末）已知是空間的一個基底，，，，若四點共面．則實數(shù)的值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由共面定理列式得，再根據(jù)對應(yīng)系數(shù)相等計算.【詳解】因為四點共面，設(shè)存在有序數(shù)對使得，則，即，所以得.故選：A12．（2023·江西·臨川一中高二期末（理））已知空間向量，，，若，，共面，則m＋2t＝（

）A．－1 B．0 C．1 D．－6【答案】D【分析】根據(jù)向量共面列方程，化簡求得.【詳解】，所以不共線，由于，，共面，所以存在，使，即，，，，，即.故選：D13．（2023·全國·高二期末）已知，，，若P，A，B，C四點共面，則λ=___________.【答案】【分析】由已知可得共面，根據(jù)共面向量的基本定理，即可求解.【詳解】由P，A，B，C四點共面，可得共面，，，解得.故答案為：考點四空間向量基本定理14．（2023·重慶長壽·高二期末）如圖，在斜棱柱中，AC與BD的交點為點M，，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的線性運算用表示出即可得．【詳解】-＝，.故選：A．15．（2023·天津市第九十五中學(xué)益中學(xué)校高二期末）在四棱錐中，底面ABCD是正方形，E為PD中點，若，，，則（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)向量線性運算法則計算即可.【詳解】．故選：C．16．（2023·河南鄭州·高二期末（理））已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用空間向量基本定理進(jìn)行計算.【詳解】.故選：A17．（2023·江蘇無錫·高二期末）定義：設(shè)是空間的一個基底，若向量，則稱有序?qū)崝?shù)組為向量在基底下的坐標(biāo)．已知是空間的單位正交基底，是空間的另一個基底，若向量在基底下的坐標(biāo)為．(1)求向量在基底下的坐標(biāo)；(2)求向量在基底下的模．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)為，得出向量在基底下的坐標(biāo)；（2）根據(jù)向量在基底下的坐標(biāo)直接計算模即可．(1)因為向量在基底下的坐標(biāo)為，則，所以向量在基底下的坐標(biāo)為.(2)因為向量在基底下的坐標(biāo)為，所以向量在基底下的模為.考點五空間向量的數(shù)量積及其性質(zhì)的應(yīng)用18．（2023·廣西欽州·高二期末（理））如圖，正四棱柱是由四個棱長為1的小正方體組成的，是它的一條側(cè)棱，是它的上底面上其余的八個點，則集合的元素個數(shù)（

）A．1 B．2 C．4 D．8【答案】A【分析】用空間直角坐標(biāo)系看正四棱柱，根據(jù)向量數(shù)量積進(jìn)行計算即可.【詳解】建立空間直角坐標(biāo)系，為原點，正四棱柱的三個邊的方向分別為軸、軸和軸，如右圖示，，設(shè)，則AB所以集合，元素個數(shù)為1.故選：A.19．（2023·福建省華安縣第一中學(xué)高二期末）三棱錐中，，，，則______．【答案】-2【分析】根據(jù)向量的減法運算，結(jié)合數(shù)量積的運算，可求得答案.【詳解】由題意得，故，,故答案為：-220．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知在四面體ABCD中，，，則______．【答案】24【分析】由線段的空間關(guān)系有，應(yīng)用向量數(shù)量積的運算律及已知條件即可求.【詳解】由題設(shè)，可得如下四面體示意圖，則，又，，所以.故答案為：2421．（2023·河南新鄉(xiāng)·高二期末（理））已知空間向量，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的運算公式，求得，結(jié)合，即可求解.【詳解】由題意，空間向量，，，可得，則.故選：A.22．（2023·北京昌平·高二期末）已知正三棱錐的底面的邊長為2，M是空間中任意一點，則的最小值為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用轉(zhuǎn)化法求向量數(shù)量積的最值即可.【詳解】解：設(shè)中點為,連接,設(shè)中點為,則,當(dāng)與重合時，取最小值0.此時有最小值，故選：A23．（2023·江蘇省揚(yáng)州市教育局高二期末）如圖，平行六面體的底面是邊長為1的正方形，且，，則線段的長為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先以為基底表示空間向量，再利用數(shù)量積運算律求解.【詳解】解：，，，，所以，故選：B24．（2023·江蘇宿遷·高二期末）四面體中，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)空間向量數(shù)量積的運算律及定義計算可得；【詳解】解：因為，，所以所以，所以，又，所以，所以，因為，所以；故選：C25．（2023·福建廈門·高二期末）在四面體OABC中，，，，則與AC所成角的大小為（

）A．30° B．60° C．120° D．150°【答案】B【分析】以為空間的一個基底，求出空間向量求的夾角即可判斷作答.【詳解】在四面體OABC中，不共面，則，令，依題意，，設(shè)與AC所成角的大小為，則，而，解得，所以與AC所成角的大小為.故選：B26．（2023·全國·高二期末）已知，，，，點在直線上運動，當(dāng)取最小值時，點的坐標(biāo)是______【答案】【分析】先利用向量共線定理設(shè)出Q點坐標(biāo)，再利用向量的數(shù)量積運算得到關(guān)于的函數(shù)式，利用二次函數(shù)求最值即可得到答案.【詳解】因為點在直線上運動，所以存在，使得，因為，所以，所以點的坐標(biāo)為.所以，，所以，所以當(dāng)時，取最小值，此時點的坐標(biāo)為.故答案為：.27．【多選】（2023·湖北黃岡·高二期末）棱長為2的正方體的側(cè)面(含邊界)內(nèi)有一動點，則（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則存在非零向量使【答案】BCD【分析】對于每一個選項中所出現(xiàn)的向量用基底表示，然后通過分析或計算數(shù)量積就可以對每一個選項進(jìn)行判斷.【詳解】對于A，，則，從而可知點在線段上，由于不垂直側(cè)面，故不成立，所以A錯誤；對于B，易證，，從而可知平面，由，可知點在線段上，因此，所以，B正確；對于C，，故C正確；對于D，設(shè)，所以，得，從而可知不會是零向量，故D正確.故選：BCD考點六空間向量的運算的坐標(biāo)表示空間向量坐標(biāo)的基本運算28．（2023·內(nèi)蒙古烏蘭察布·高二期末（理））已知向量，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)向量加減法運算的坐標(biāo)表示即可得到結(jié)果【詳解】故選：B.29．（2023·重慶九龍坡·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，若，，則點B的坐標(biāo)為（

）A．（3，1，﹣2） B．（-3，1，2） C．（-3，1，-2） D．（3，-1，2）【答案】C【分析】利用點的坐標(biāo)表示向量坐標(biāo)，即可求解.【詳解】設(shè)，，，所以，，，解得：，，，即.故選：C30．（2023·福建寧德·高二期末）已知，，，則的坐標(biāo)為______．【答案】【分析】由向量的坐標(biāo)表示可得，再根據(jù)向量坐標(biāo)的線性運算求的坐標(biāo).【詳解】由題設(shè)，，所以.故答案為：31．（2023·陜西·綏德中學(xué)高二期末（理））若,,則與同方向的單位向量是_______.【答案】【分析】先由已知求出的坐標(biāo)，再除以可得答案【詳解】因為,，所以所以與同方向的單位向量為，故答案為：32．【多選】（2023·福建三明·高二期末）已知正方體的棱長為2，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．點的坐標(biāo)為（2，0，2）B．C．的中點坐標(biāo)為（1，1，1）D．點關(guān)于y軸的對稱點為（－2，2，－2）【答案】BCD【分析】根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，可求點的坐標(biāo)，由此判斷A;求出的坐標(biāo)，可判斷B;利用中點坐標(biāo)公式求得的中點坐標(biāo)，可判斷C;根據(jù)空間點關(guān)于坐標(biāo)軸的對稱點的特點可判斷D.【詳解】根據(jù)題意可知點的坐標(biāo)為，故A錯誤；由空間直角坐標(biāo)系可知：,故B正確；由空間直角坐標(biāo)系可知：,故的中點坐標(biāo)為（1，1，1），故C正確；點坐標(biāo)為，關(guān)于于y軸的對稱點為（－2，2，－2），故D正確，故選：BCD空間向量平行的坐標(biāo)運算33．（2023·河南焦作·高二期末（理））已知向量，，且，則的值為（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】根據(jù)空間向量平行的性質(zhì)得，代入數(shù)值解方程組即可.【詳解】因為，所以，所以，所以，解得或.故選：C.34．（2023·浙江·杭州四中高二期末）已知向量，，且與互相平行，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由空間向量共線的坐標(biāo)表示求解【詳解】，，則，解得，故選：D35．（2023·北京昌平·高二期末）已知是直線的方向向量，是直線的方向向量．若直線，則________．【答案】【分析】由，則，從而可得出的值，得出答案.【詳解】由，則由，則，解得所以故答案為：36．（2023·重慶長壽·高二期末）已知是直線l的方向向量，為平面的法向量，若，則y的值為（

）A． B．C． D．4【答案】D【分析】根據(jù)得，計算得解.【詳解】因為，所以，所以，計算得.故選：D.空間向量垂直的坐標(biāo)運算37．（2023·廣東廣州·高二期末）已知向量，，若，則實數(shù)m的值是___________.【答案】【分析】結(jié)合已知條件和空間向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式即可求解.【詳解】因為，所以，解得.故答案為：.38．【多選】（2023·福建福州·高二期末）已知空間向量，且，則（

）A． B． C． D．【答案】AC【分析】根據(jù)空間向量，可由，解得答案.【詳解】由可得：，即，解得，又|b故選：AC.39．（2023·河北保定·高二期末）已知，，若，則實數(shù)______．【答案】2【分析】由向量垂直的坐標(biāo)公式得出實數(shù).【詳解】解析：∵，，∴=，∵，故答案為：40．（2023·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二期末（文））已知向量a→=(1，1，k)，b→=(?1，0，?1)，c→=(0，2，1)，且向量A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算和向量垂直數(shù)量積為0可解.【詳解】解：根據(jù)題意，易得a→∵

與兩向量互相垂直，∴

0+2+k+2=0，解得.故選：D空間向量模長的坐標(biāo)運算41．（2023·湖北·黃石市有色第一中學(xué)高二期末）若點，，點在軸上，且則______.【答案】【解析】設(shè)出D的坐標(biāo)，求出的坐標(biāo)，根據(jù)向量的垂直關(guān)系求出答案即可.【詳解】因為點在軸上，可設(shè)D（0,0，m）故因為，所以，解得：m=6.故.故答案為：42．（2023·天津市濱海新區(qū)塘沽第一中學(xué)高二期末）已知向量，，若與垂直，則___________.【答案】【分析】根據(jù)與垂直，可知，根據(jù)空間向量的數(shù)量積運算可求出的值，結(jié)合向量坐標(biāo)求向量模的求法，即可得出結(jié)果.【詳解】解：與垂直，，則，解得：，，則，.故答案為：.43．（2023·江蘇·南京市大廠高級中學(xué)高二期末）向量，，，且，，則______.【答案】【分析】利用向量平行、垂直的坐標(biāo)表示求出x，y，再利用坐標(biāo)求出向量的模作答.【詳解】因，，而，則有，解得，即又，且，則有，解得，即，于是得，，所以.故答案為：44．（2023·江蘇·沭陽如東中學(xué)高二期末）已知，則的最小值（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)空間向量模長的坐標(biāo)求解，結(jié)合二次函數(shù)的最小值，即可求得結(jié)果.【詳解】由題可知，，故，即的最小值.故選：B.空間向量夾角的坐標(biāo)運算45．（2023·吉林遼源·高二期末）已知空間向量，是單位向量，，則向量與的夾角為______.【答案】【分析】根據(jù)空間向量的幾何意義求出向量的模，利用數(shù)量積的定義計算即可得出夾角.【詳解】，，因為，所以，所以，由，得向量與的夾角為.故答案為：46．（2023·全國·高二期末）若向量，，，夾角為鈍角，則的取值范圍是______.【答案】【解析】根據(jù)向量與的夾角為鈍角，則·<0，求得λ的范圍，在將與共線且反向的情況排除即可.【詳解】∵向量與的夾角為鈍角，∴·＝解得.當(dāng)與共線時，設(shè)＝k(k<0)，可得，解得，即當(dāng)時，向量與共線且反向，此時·<0，但與的夾角不是鈍角.綜上：λ的取值范圍是.故答案為：47．（2023·江蘇淮安·高二期末）如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，，M為PC上一動點，，若∠BMD為鈍角，則實數(shù)t可能為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用即可求解.【詳解】分別以、、為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，設(shè)，，故，,，,由可知，，即，又因為為鈍角，所以，由,,可知，，，整理得，解得，故選：D.48．（2023·廣東江門·高二期末）若兩個單位向量與向量的夾角都等于，則__________.【答案】【分析】根據(jù)已知可得，，利用完全平方公式求得，再根據(jù)即可求得答案.【詳解】因為兩個單位向量與向量的夾角都等于，，，，，，又，則，，即，，.故答案為：.空間向量投影的坐標(biāo)運算49．（2023·上海金山·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，已知向量，則在軸上的投影向量為________.【答案】【分析】根據(jù)向量坐標(biāo)意義及投影的定義得解.【詳解】因為向量，所以在軸上的投影向量為.故答案為:50．（2023·天津天津·高二期末）已知空間向量，，則向量在向量上的投影向量的坐標(biāo)是__________．【答案】【分析】根據(jù)投影向量概念求解即可.【詳解】因為空間向量，，所以，，所以向量在向量上的投影向量為：，故答案為：.51．（2023·廣東惠州·高二期末）已知，，則在上的投影向量為（

）A．1 B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意得，進(jìn)而根據(jù)投影向量的概念求解即可.【詳解】解：因為，，所以，所以，所以在上的投影向量為故選：C考點七空間向量在立體幾何平行、垂直問題中的應(yīng)用平行問題52．（2023·黑龍江·哈爾濱工業(yè)大學(xué)附屬中學(xué)校高二期末（文））如圖，已知四棱錐的底面是矩形，平面分別是棱的中點．(1)求證：∥平面；(2)求平面與平面夾角的大?。敬鸢浮?1)證明見詳解；(2)【分析】（1）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，然后與法向量垂直可證；（2）分別求出兩個平面的法向量再根據(jù)平面與平面夾角公式可求得.【詳解】（1）如圖建系，設(shè)平面的法向量為所以不妨取又又平面，∥平面；（2）由（1）知：,設(shè)平面的法向量為，平面的法向量所以不妨取同理不妨取設(shè)平面與平面夾角為所以53．（2023·安徽滁州·高二期末）如圖，在多面體ABCDEF中，AD⊥平面ABC，AD//BE//CF，且AD＝1，BE＝5，CF＝3，△ABC是邊長為2的正三角形，G是AB的中點．(1)求證：CG//平面DEF；(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）以B為坐標(biāo)原點，BA所在直線為x軸，在平面ABC中，過B作AB的垂線為y軸，BE所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明CG//平面DEF；（2）求出平面DEF的法向量和平面ADF的法向量，利用向量法能求出二面角的余弦值．（1）證明：以B為坐標(biāo)原點，BA所在直線為x軸，在平面ABC中，過B作AB的垂線為y軸，BE所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，設(shè)平面DEF的法向量，則，取x＝2，得，∵0，所以，又平面DEF，∴CG//平面DEF；（2）解：平面DEF的法向量，，，設(shè)平面ADF的法向量，則，取b＝1，得，則，有圖可知二面角為鈍二面角，所以二面角的余弦值為.垂直問題54．（2023·安徽省宿州市第二中學(xué)高二期末）如圖，邊長為2的等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，，M為BC的中點.(1)證明：；(2)求平面PAM與平面ABCD的夾角的大小；(3)求點D到平面AMP的距離.【答案】(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）以為原點，為軸，為軸，過作平面的垂線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能證明；（2）求出平面的法向量和平面的法向量，利用向量法能求出平面與平面夾角的大??；（3）求出平面的法向量，利用向量法能求出點到平面的距離．【詳解】（1）證明：等邊所在的平面垂直于矩形ABCD所在的平面，以D點為原點，分別以直線DA，DC為x軸、y軸，過D作平面ABCD的垂線為z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，（其他建系方法按步驟給分）依題意，可得，，，，，，，即，；

（2）解：設(shè)為平面PAM的法向量，則，即，取，得，取，顯然為平面ABCD的一個法向量，??，故平面PAM與平面ABCD的夾角的大小為；（3）解：設(shè)點D到平面AMP的距離為d，由可知與平面PAM垂直，則，即點D到平面AMP的距離為55．（2023·福建福州·高二期末）如圖，在正四棱柱中，已知，，E，F(xiàn)分別為，上的點，且．(1)求證：平面ACF：(2)求點B到平面ACF的距離．【答案】(1)證明見詳解.(2).【分析】（1）以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系通過證明與平面的一個法向量重合來證明平面.（2）利用點面距離公式即可計算出點到平面的距離.【詳解】（1）以為坐標(biāo)原點，為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示：則,設(shè)面的一個法向量為，，可得，即，不妨令則,平面.（2），則點到平面的距離為.56．（2023·湖北恩施·高二期末）在三棱臺ABC－A1B1C1中，C1C⊥平面ABC，AB⊥BC，且AB=BC=C1C=2A1B1，O為AC的中點，P是C1C的中點.(1)證明：平面A1BC⊥平面POB；(2)求二面角B1－A1B－C的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先證明BO⊥AC，以O(shè)為坐標(biāo)原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量可得，即可證明；（2）利用空間向量，分別求解平面A1B1B和平面A1BC的法向量，即可求解二面角B1－A1B－C的余弦值.(1)證明：連接A1O設(shè)A1B1=1，則AB=BC=C1C=2，AC=，A1C1=因為C1C⊥平面ABC，O為AC的中點，所以A1O⊥平面ABC,因為AB=BC，所以BO⊥AC.以O(shè)為坐標(biāo)原點，以，，的方向分別為x，y，z軸的正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系O－，則A(0，－，0)，B(，0，0)，C(0，，0)，(0，0，2)，(，，2)，(0，，2)，P(0，，1).因為，所以，所以A1C⊥OB，A1C⊥OP.因為，所以A1C⊥平面POB..因為平面A1BC，所以平面A1BC⊥平面POB.(2)解：由（1）知,設(shè)平面A1B1B的法向量為,則,令，但,設(shè)平面A1BC的法向量為,則,令，得,因為，且二面角為銳角，所以的余弦值為.綜合問題57．（2023·浙江·杭州四中高二期末）已知平面法向量為，直線的方向向量為，則（

）A．與平行 B．與垂直C．與相交但不垂直 D．以上都不對【答案】B【分析】利用向量共線判斷出為平面的一個法向量，即可判斷.【詳解】因為，，所以，所以與垂直.故選：B58．【多選】（2023·廣東深圳·高二期末）直三棱柱中，分別為，的中點，點是棱上一動點，則（

）A．對于棱上任意點，有B．棱上存在點，使得面C．對于棱上任意點，有面D．棱上存在點，使得【答案】AD【分析】對于A，連接，證明平面即可；對于B，建立空間直角坐標(biāo)系，判斷MN與BN是否可能垂直即可；對于C、D，當(dāng)N是AC中點時，MN∥DE，即可判斷.【詳解】A選項：連接，由題可知四邊形是正方形，則，由題知平面平面，平面平面，，平面ABC，∴平面，又，∴，又，平面，∴平面，∵平面，∴.故A正確；B選項：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)AC＝BC＝＝2，則，，，，，設(shè)，，則，，若BN⊥MN，則，即，方程無實數(shù)根，即BN與MN不垂直，則不存在點N，使得平面，B錯誤；C選項：當(dāng)N是AC中點時，MN∥，∥DE，∴MN∥平面；當(dāng)N不是AC中點時，MN和B1C相交，若∥平面，結(jié)合∥平面可知平面∥平面，這顯然與圖形不符(與AC相交)，故此時與平面不平行；故C錯誤；D選項：由C項可知，N為AC中點滿足題意，故D正確.故選：AD.59．（2023·北京房山·高二期末）如圖，正方體中，是的中點，則下列說法正確的是（

）A．直線與直線垂直，直線平面B．直線與直線平行，直線平面C．直線與直線異面，直線平面D．直線與直線相交，直線平面【答案】A【分析】根據(jù)空間的平行和垂直關(guān)系進(jìn)行判定.【詳解】連接；由正方體的性質(zhì)可知，是的中點，所以直線與直線垂直；由正方體的性質(zhì)可知，所以平面平面，又平面，所以直線平面，故A正確；以為原點，建立如圖坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為1，顯然直線與直線不平行，故B不正確；直線與直線異面正確，，，所以直線與平面不垂直，故C不正確；直線與直線異面，不相交，故D不正確；故選：A.考點八空間角的計算異面直線所成的角60．（2023·廣東江門·高二期末）在直三棱柱中，分別是的中點，，則與所成角的正弦值是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得所成角的余弦值，從而求得所求.【詳解】根據(jù)題意易知兩兩相互垂直，由此建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，不妨設(shè)，則故，，設(shè)所成角為，，則，所以，即與所成角的正弦值是.故選：C.61．（2023·貴州六盤水·高二期末（理））如圖是正方體的平面展開圖，則在這個正方體中：①BM與ED平行②BM與CE垂直③CE與平面ABCD所成角的正切值為④CN與BM所成角為以上四個命題中，正確命題的序號是（

）A．①② B．②③ C．②④ D．③④【答案】C【分析】根據(jù)展開圖還原正方體，設(shè)其棱長為1，建立空間直角坐標(biāo)系，即可判斷異面直線的位置關(guān)系，計算出夾角，以及CE與平面ABCD所成角的正弦值，進(jìn)而求出正切值.【詳解】解：根據(jù)平面展開圖，還原正方體，并建立空間直角坐標(biāo)系，如下圖所示，設(shè)正方體棱長為1，則，，，，，，①BM與ED平行，由圖可看出BM與ED不平行，錯誤；②BM與CE垂直，，，即，正確；③CE與平面ABCD所成角的正切值為，由圖可知為平面ABCD的一個法向量，且，設(shè)CE與平面ABCD所成的角為，則，，，錯誤；④CN與BM所成角為，設(shè)CN與BM所成角為，，，，，正確；故選：C.62．（2023·黑龍江·雙鴨山一中高二期末）如圖，在四棱錐中，底面為等腰梯形，，，面，，點為線段中點(1)求證：面；(2)求異面直線與所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）建立直角坐標(biāo)系，求出平面的法向量，若與平面的法向量的數(shù)量積為0，則可證明；（2）求異面直線所成的角的大小可以根據(jù)數(shù)量積的計算公式，即可求解.（1）證明：由面建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，以A點為坐標(biāo)原點，分別以，垂直于AD以及為方向建立軸，如圖所示:由底面是等腰梯形以及可知：，，，又由點為線段中點，可知，，設(shè)為平面的法向量，故可知：，解得令，可知平面的法向量一個法向量為：根據(jù)線面平行的向量法判斷法則可知面（2）解：由題意得：由（1）分析可知，可知向量互相垂直，故異面直線與所成角的大小為直線與平面所成的角63．【多選】（2023·山東·巨野縣第一中學(xué)高二期末）已知在直三棱柱中，底面是一個等腰直角三角形，且，E、F、G、M分別為的中點．則（

）A．與平面夾角余弦值為 B．與所成角為C．平面EFB D．平面⊥平面【答案】BCD【分析】建系，利用坐標(biāo)法，根據(jù)線面角，線線角的向量求法可判斷AB，根據(jù)線面平行的判定定理可判斷C，利用線面垂直的判定定理先證平面，可得，再證平面，然后根據(jù)面面垂直的判定定理即得．【詳解】如圖1，建立空間之間坐標(biāo)系，設(shè)，則有：，∴，，，，，設(shè)平面ACC1A1的法向量為則有，令x＝1，則，則，∴與平面夾角的正弦值為，則余弦值為，A錯誤；∵，∴AB1與BC1所成角的余弦值為，則夾角為，B正確；如圖2：連接，設(shè)，連接OF，E、M分別為的中點，則且，∴為平行四邊形，則O為的中點，又∵F為的中點，則，平面EFB，平面EFB，∴平面EFB，C正確；由題可知平面即為平面，由題意可得：，又，平面，∴平面，平面，則，又∵為正方形，則，又，平面，所以平面，平面，∴平面⊥平面，即平面⊥平面，D正確.故選：BCD．64．（2023·河南南陽·高二期末（理））如圖，四邊形為直角梯形，且，為正方形，且平面平面，，，，則______，直線與平面所成角的正弦值為______．【答案】

.

.【分析】以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系,根據(jù)空間向量的線性運算求得向量的坐標(biāo)，由此求得，由線面角的空間向量求解方法求得答案.【詳解】解：以點為坐標(biāo)原點，，，所在直線分別為軸，軸，軸建立空間直角坐標(biāo)系（如下圖所示）．由題意可知，，，．因為，，所以，故．設(shè)平面的法向量為，則，令，得．因為，所以直線與平面所成角的正弦值為．故答案為：；.65．（2023·福建省仙游縣度尾中學(xué)高二期末）如圖，在三棱錐中，是正三角形，，是的中點．(1)證明：；(2)求直線與平面所成角的正弦值．【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）先由三線合一得到，再由中位線定理可得，從而利用線面垂直的判定定理證得面，由此可得；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用及空間兩點距離公式求得，從而求得平面的法向量，由此利用向量法即可求得直線與平面所成角的正弦值．【詳解】（1）取的中點，連接，因為是正三角形，所以，因為是的中點，所以，因為所以，又面，所以面，又因為面，所以..（2）以為軸?軸，過作軸⊥底面，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，則，記，又，則，因為，解得，則，由易得直線的一個方向向量為，設(shè)平面的法向量為，，則，令，則平面的一個法向量為，記直線與平面所成角為，那么.66．（2023·甘肅·測試·編輯教研五高二期末（理））如圖，在直三棱柱中，，，，點，分別在棱，上，且，，為棱的中點.(1)求證：；(2)求直線與平面所成角的正弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建系，可得點、、、的坐標(biāo)，進(jìn)而可得、的坐標(biāo)，利用數(shù)量積公式，即可得證；（2）求得的坐標(biāo)和平面的法向量，利用線面角的夾角公式，即可求得結(jié)果.【詳解】（1）證明：依題意，以為原點，分別以，，的方向為軸、軸、軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，可得，，，，，，，，，依題意，，，所以，所以；（2）由（1）知，，設(shè)為平面的法向量，則，即，不妨設(shè)，可得，又，設(shè)與平面所成角為，所以，直線與平面所成角的正弦值為.67．（2023·四川綿陽·高二期末（理））如圖，在四棱錐中，底面，，，，，為棱的中點，是線段上一動點.(1)求證：平面平面；(2)若直線與平面所成角的正弦值為時，求二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明出平面，利用面面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；（2）以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，利用已知條件求出的值，然后利用空間向量法可求得二面角的余弦值.【詳解】（1）證明：因為，，則，平面，平面，，，、平面，平面，平面，因此，平面平面.（2）解：因為底面，，以點為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則、、、、、，設(shè)，，其中，易知平面的一個法向量為，由已知可得，解得，所以，為的中點，即，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，易知平面的一個法向量為，所以，，由圖可知，二面角的平面角為鈍角，故二面角的余弦值為.平面與平面所成的角（二面角）68．（2023·青海玉樹·高二期末（理））如圖,在四棱錐中,平面,,正方形的對角線交于點O．(1)求證:平面PAC;(2)求二面角的余弦值．【答案】(1)證明見解析;(2)【分析】(1)由于平面,則,由正方形,則,根據(jù)線面平行判定定理即可證明線面垂直;(2)根據(jù)題意建立合適的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),找到點的坐標(biāo),求出,再求出平面的法向量,根據(jù)題中條件,找到平面法向量,求出法向量夾角的余弦值的絕對值,根據(jù)圖像判斷二面角大小的范圍,即可求出其余弦值.【詳解】（1）解:由題知平面,,正方形,,平面,平面,平面.（2）由題知平面,為正方形,以為坐標(biāo)原點,方向為軸,方向為軸,方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示:不妨設(shè),,,,記平面法向量為,,即,不妨取,則,平面,平面法向量為,,由圖可知二面角的大小為鈍角,故二面角的余弦值為.69．（2023·云南曲靖·高二期末）如圖所示，⊥平面，四邊形為矩形，，.(1)求證：∥平面；(2)求平面與平面所成銳二面角的余弦值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）由面面平行判斷定理證平面BFC平面ADE，再證∥平面即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，由向量法即可求【詳解】（1）證明：四邊形為矩形，∴，又，平面，平面ADE，故平面ADE，平面ADE，又平面BFC，∴平面BFC平面ADE，∵平面BFC，∴∥平面；（2）建立空間直角坐標(biāo)系如圖，則，設(shè)平面CDF的法向量為，則，取得，平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，則，故平面與平面所成銳二面角的余弦值為70．（2023·廣東中山·高二期末）如圖，在四棱錐中，底面四邊形為直角梯形，，，，，，.(1)求證：平面平面；(2)求平面和平面的夾角大小.【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間平面向量夾角公式【詳解】（1）如圖，過作于.由題意可知，在直角梯形中，，，，所以，.又，，所以，所以.因為，又，面，所以面.因為面，所以面面；（2）由（1）可知，，，兩兩垂直，故可以點為坐標(biāo)原點，以，，分別為x，y，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.易知，，，，則，，，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，即，設(shè)平面的法向量為，則令，則，，即，所以，即平面和平面的夾角為.71．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）如圖，在三棱錐中，，，為的中點.(1)證明：平面；(2)若點在棱上，，且二面角為30°，求的值.【答案】(1)證明過程見詳解(2)【分析】（1）由已知可得，求解三角形可得，再由直線與平面垂直的判定可得平面.（2）以點為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系,由得到的坐標(biāo)，進(jìn)而求出平面的法向量，再由二面角為30°列式求出的值.（1）證明：連接，且為的中點

且又

且

又

平面（2）如圖，以點為原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標(biāo)系.則,，點在棱上

設(shè)平面的法向量則

即令，則取平面的法向量二面角為30°解得或（舍）故：考點九空間距離的計算點到直線的距離72．（2023·吉林白山·高二期末）已知，，，則點C到直線AB的距離為（

）A．3 B． C． D．【答案】D【分析】應(yīng)用空間向量的坐標(biāo)運算求在上投影長及的模長，再應(yīng)用勾股定理求點C到直線AB的距離.【詳解】因為，，所以．設(shè)點C到直線AB的距離為d，則故選：D73．（2023·安徽省宿州市第二中學(xué)高二期末）已知直線經(jīng)過點，且是的方向向量，則點到的距離為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由空間向量夾角的坐標(biāo)表示求，再根據(jù)點到直線距離為即可求結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，則，所以，而，故到l的距離為.故選：C74．（2023·青海海東·高二期末（理））在正方體中，分別是線段的中點，則點到直線的距離是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，然后，列出計算公式進(jìn)行求解即可【詳解】如圖，以為坐標(biāo)原點，分別以的方向為軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.因為，所以，所以，則點到直線的距離故選：A點到平面的距離、直線到平面的距離、平面到平面的距離75．（2023·上海市奉賢中學(xué)高二期末）經(jīng)過原點的平面的一個法向量為，點坐標(biāo)為，則點到平面的距離為______.【答案】【分析】使用空間向量法求點到平面的距離,點到平面的距離可視為在上的投影大小.【詳解】設(shè)坐標(biāo)原點為,則,點到平面的距離可視為在上的投影大小,故.故答案為：76．（2023·青?！ずＤ喜刈遄灾沃莞呒壷袑W(xué)高二期末（理））設(shè)正方體的棱長為，則點到平面的距離是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量所學(xué)點到面的距離公式求解即可.【詳解】建立如下圖所示空間直角坐標(biāo)系，以為坐標(biāo)原點，所在直線為軸，所在直線為軸，所在直線為軸.因為正方體的邊長為4，所以，，，，，所以，，，設(shè)平面的法向量，所以，，即，設(shè)，所以，，即，設(shè)點到平面的距離為，所以，故選：D.77．（2023·江蘇·南京師大附中高二期末）在矩形ABCD中，，點E是線段AD的中點，將△ABE沿BE折起到△PBE位置（如圖），點F是線段CP的中點．(1)求證：DF∥平面PBE：(2)若二面角的大小為，求點A到平面PCD的距離．【答案】(1)證明見解析；(2).【分析】（1）利用線面平行的判定定理即得；（2）由題建立空間直角坐標(biāo)系，利用點到平面的距離的向量求法即得.（1）設(shè)PB的中點為G點，連接GF和GE，因為點G、點F分別為PB和PC的中點，所以且，又且，所以且，所以四邊形GFDE為平行四邊形，所以，又GE平面PBE，DF平面PBE，所以DF∥平面PBE；（2）由二面角的大小為可知，平面平面，取BE得中點O，連接，則，平面，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，設(shè)平面PCD的法向量為，則，令則，又，所以點A到平面PCD的距離為.78．（2023·浙江省杭州第九中學(xué)高二期末）若兩平行平面、分別經(jīng)過坐標(biāo)原點O和點，且兩平面的一個法向量為，則兩平面間的距離是______．【答案】【分析】根據(jù)給定條件，結(jié)合平行平面距離的意義，利用空間向量計算作答.【詳解】依題意，平行平面間的距離即為點O到平面的距離，而，所以平行平面、間的距離.故答案為：異面直線的距離79．（2023·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）如圖，在正方體中，AB＝1，M，N分別是棱AB，的中點，E是BD的中點，則異面直線，EN間的距離為______.【答案】【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示出，求出同時垂直于的，再通過公式求距離即可.【詳解】以為原點，的方向為軸建立空間直角坐標(biāo)系，易知，，設(shè)同時垂直于，由，令，得，又，則異面直線，EN間的距離為.故答案為：.80．（2023·浙江寧波·高二期末）如圖，正四棱錐的棱長均為2，點E為側(cè)棱PD的中點．若點M，N分別為直線AB，CE上的動點，則MN的最小值為______．【答案】【分析】根據(jù)題意，先建立空間直角坐標(biāo)系，然后寫出相關(guān)點的坐標(biāo)，再寫出相關(guān)的向量，然后根據(jù)點分別為直線上寫出點的坐標(biāo)，這樣就得到，然后根據(jù)的取值范圍而確定【詳解】建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則有：，，，，，可得：設(shè)，且則有：，可得：則有：故則當(dāng)且僅當(dāng)時，故答案為：81．（2023·全國·高二期末）在如圖所示實驗裝置中，正方形框架的邊長都是1，且平面平面，活動彈子分別在正方形對角線，上移動，則長度的最小值是___________．【答案】【分析】將問題轉(zhuǎn)化為異面直線與之間距離的求解問題，以為原點建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線間距離的空間向量求法可求得結(jié)果.【詳解】是異面直線，上兩點，的最小值即為兩條異面直線間距離.平面平面，，平面平面，平面，又，則以為坐標(biāo)原點可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，設(shè)異面直線，的公垂向量，則，令，則，，，，即的最小值為.故答案為：.考點十空間向量與立體幾何的綜合問題82．【多選】（2023·廣東茂名·高二期末）（多選）如圖，在長方體中，，，是側(cè)面的中心，是底面的中心，以為坐標(biāo)原點，、、所在直線分別為、、軸建立空間直角坐標(biāo)系，則（

）A．是單位向量B．三棱錐外接球的表面積為C．直線與所成角的余弦值為D．平面【答案】ABD【分析】求出，可判斷A選項的正誤；求出長方體的外接球半徑，結(jié)合球體的表面積公式可判斷B選項的正誤；利用空間向量法可判斷C選項的正誤；利用線面平行的判定定理可判斷D選項的正誤.【詳解】對于A選項，、，則，A對；對于B選項，長方體的外接球半徑為，所以，三棱錐外接球和長方體的外接球為同一球，該球的表面積為，B對；對于C選項，、，，，，C錯；對于D選項，，，則，所以，，平面，平面，故平面，D對.故選：ABD.83．【多選】（2023·遼寧遼陽·高二期末）在空間直角坐標(biāo)系中，，則（

）A．B．點B到平面的距離是2C．異面直線與所成角的余弦值D．點O到直線的距離是【答案】BD【分析】由已知，選項A，可以通過三點的坐標(biāo)，直接計算即可驗證；選項B，可先求解平面的法向量，然后再利用點到平面距離公式即可求解；選項C，分別表示出異面直線與的方向向量，然后利用向量數(shù)量積計算夾角即可；選項D，先計算在上的投影，然后再計算點到直線的距離.【詳解】因為，所以，A錯誤．在空間直角坐標(biāo)系中，結(jié)合A與C兩點的坐標(biāo)可知y軸與平面垂直，所以為平面的一個法向量，則點B到平面的距離是，B正確．因為，所以異面直線與所成角的余弦值為，C錯誤．因為，所以，所以點O到直線的距離是．D正確．故選：BD.84．【多選】（2023·江蘇南通·高二期末）在平行六面體中，，，點在線段上，則（

）A．B．到和的距離相等C．與所成角的余弦值最小為D．與平面所成角的正弦值最大為【答案】BCD【分析】由結(jié)合推出面，得出矛盾，即可判斷A選項；由為線段的垂直平分線，且，即可判斷B選項；由異面直線夾角的求法即可判斷C選項；由線面角的求法即可判斷D選項．【詳解】對于A，若，易得四邊形為菱形，則，又，面，可知面，則面，顯然矛盾，故A錯誤；對于B，其中點在線段上，平分，且為線段的垂直平分線，又，可知上所有點到與的距離相等，故B正確；對于C，設(shè)平行六面體的邊長為，易得，其中，可得，又，則與所成角即為，當(dāng)點運動到點處時，此時最小，即與所成角的余弦值最小，，故C正確；易得當(dāng)點運動到點處時，此時與平面所成角最大，即正弦值最大，又，則，又，，面，則面，作，垂足為，則，又面且相交，則面，則即為與平面所成角，則有，故正弦值最大為，D正確．故選：BCD.【【過關(guān)檢測】一、單選題1．（2023·江蘇揚(yáng)州·高二期中）如圖，在平行六面體中，為和的交點，若，，，則下列式子中與相等的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)空間向量的加減運算，表示出向量，即得答案.【詳解】,故選;A2．（2023·河北·石家莊二十三中高二階段練習(xí)）設(shè)直線、的方向向量分別為，，能得到的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】利用向量垂直的坐標(biāo)表示，逐一驗證各選項中的兩個向量即可判斷作答.【詳解】對于A，因，，則，A不能；對于B，因，，則，B能；對于C，因，，則，C不能；對于D，因，，則，則D不能.故選：B3．（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖所示，空間四邊形ABCD中，點G為的重心，E，F(xiàn)，H分別為邊CD，AD和BC的中點，則的化簡結(jié)果為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)向量的加法運算進(jìn)行求解.【詳解】∵點G為的重心，∴又∴，從而故選：A.4．（2023·全國·高考真題（理））在正方體中，P為的中點，則直線與所成的角為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】平移直線至，將直線與所成的角轉(zhuǎn)化為與所成的角，解三角形即可.【詳解】如圖，連接，因為∥，所以或其