中考數(shù)學(xué)全面突破：題型1　規(guī)律探索型問題

題型1規(guī)律探索型問題eq\x(題型解讀)對于規(guī)律探索題型常常會有一定的通式或循環(huán)規(guī)律，解題時一般先列出前幾項，找出規(guī)律或通式求解.1.常考類型：①數(shù)字規(guī)律探索；②數(shù)式規(guī)律探索；③圖形規(guī)律探索；④坐標系中圖形規(guī)律探索；⑤與函數(shù)圖象相關(guān)的規(guī)律探索.2.考查形式與題型：一般都是給出一列數(shù)字或者圖形，求其第n個數(shù)字、第n個式子或第n個圖形或求末位數(shù)值；題型為選擇、填空.類型一數(shù)字規(guī)律探索1.觀察下列等式：71＝7，72＝49，73＝343，74＝2401，75＝16807，76＝117649，…，那么：71＋72＋73＋…＋72016的末位數(shù)字是()A.9B.7C.6D.02.按一定規(guī)律排列的一列數(shù)：eq\f(1,2)，1，1，eq\x()，eq\f(9,11)，eq\f(11,13)，eq\f(13,17)，…，請你仔細觀察，按照此規(guī)律方框內(nèi)的數(shù)字應(yīng)為________．3.觀察下列等式：31＝3，32＝9，33＝27，34＝81，35＝243，36＝729，….試猜想，32016的個位數(shù)字是________．類型二數(shù)式規(guī)律探索4.“數(shù)學(xué)是將科學(xué)現(xiàn)象升華到科學(xué)本質(zhì)認識的重要工具”．比如在化學(xué)中，甲烷的化學(xué)式是CH4，乙烷的化學(xué)式是C2H6，丙烷的化學(xué)式是C3H8，…，設(shè)碳原子的數(shù)目為n(n為正整數(shù))，則它們的化學(xué)式都可用下列哪個式子來表示()A.CnH2n＋2B.CnH2nC.CnH2n－2D.CnHn＋35.古希臘數(shù)學(xué)家把數(shù)1，3，6，10，15，21，……叫做三角形數(shù)，它有一定的規(guī)律性．若把第一個三角形數(shù)記為x1，第二個三角形數(shù)記為x2，…，第n個三角形數(shù)記為xn，則xn＋xn＋1＝________．6.觀察下列等式：1＋2＋3＋4＋…＋n＝eq\f(1,2)n(n＋1)；1＋3＋6＋10＋…＋eq\f(1,2)n(n＋1)＝eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)1＋4＋10＋20＋…＋eq\f(1,6)n(n＋1)(n＋2)＝eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3);則有：1＋5＋15＋35＋…＋eq\f(1,24)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)＝________．類型三圖形規(guī)律探索7.如圖，正方形ABCD的邊長為2，其面積標記為S1，以CD為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標記為S2，…，按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則S9的值為()A.(eq\f(1,2))6B.(eq\f(1,2))7C.(eq\f(\r(2),2))6D.(eq\f(\r(2),2))7第7題圖第8題圖第9題圖8.如圖，在矩形ABCD中，已知AB＝4，BC＝3，矩形在直線l上繞其右下角的頂點B向右旋轉(zhuǎn)90°至圖①位置，再繞右下角的頂點繼續(xù)向右旋轉(zhuǎn)90°至圖②位置，…，依次類推，這樣連續(xù)旋轉(zhuǎn)2015次后，頂點A在整個旋轉(zhuǎn)過程中所經(jīng)過的路程之和是()A.2015πB.3019.5πC.3018πD.3024π9.將一些相同的“○”按如圖所示的規(guī)律依次擺放，觀察每個“龜圖”中“○”的個數(shù)，若第n個“龜圖”中有245個“○”，則n＝________．10.如圖，△ABC的面積為1，第一次操作：分別延長AB，BC，CA至點A1，B1，C1，使A1B＝AB，B1C＝BC，C1A＝CA，順次連接A1，B1，C1，得到△A1B1C1，第二次操作，分別延長A1B1，B1C1，C1A1至點A2，B2，C2，使A2B1＝A1B1，B2C1＝B1C1，C2A1＝C1A1，順次連接A2，B2，C2，得到△A2B2C2，…，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2016，最少經(jīng)過________次操作．第10題圖第11題圖第12題圖11.如圖，∠MON＝60°，作邊長為1的正六邊形A1B1C1D1E1F1，邊A1B1、F1E1分別在射線OM、ON上，邊C1D1所在的直線分別交OM、ON于點A2、F2，以A2F2為邊作正六邊形A2B2C2D2E2F2，邊C2D2所在的直線分別交OM、ON于點A3、F3，再以A3F3為邊作正六邊形A3B3C3D3E3F3，…，依此規(guī)律，經(jīng)第n次作圖后，點Bn到ON的距離是________．類型四坐標中的圖形規(guī)律探索12.如圖，已知菱形OABC的頂點O(0，0)，B(2，2)，若菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，則第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為()A.(1，－1)B.(－1，－1)C.(eq\r(2)，0)D.(0，－eq\r(2))13.如圖，在平面直角坐標系中，邊長為1的正方形OA1B1C1的兩邊在坐標軸上，以它的對角線OB1為邊作正方形OB1B2C2，再以正方形OB1B2C2的對角線OB2為邊作正方形OB2B3C3，依次類推…，則正方形OB2015B2016C2016的頂點B2016的坐標是________．第13題圖第14題圖第15題圖14.如圖，點A1的坐標為(1，0)，A2在y軸的正半軸上，且∠A1A2O＝30°，過點A2作A2A3⊥A1A2，垂足為A2，交x軸于點A3；過點A3作A3A4⊥A2A3，垂足為A3，交y軸于點A4；過點A4作A4A5⊥A3A4，垂足為A4，交x軸于點A5；過點A5作A5A6⊥A4A5，垂足為A5，交y軸于點A6，…，按此規(guī)律進行下去，則點A2016的縱坐標為____________．15.如圖，在平面直角坐標系中，矩形AOCB的兩邊OA、OC分別在x軸和y軸上，且OA＝2，OC＝1.在第二象限內(nèi)，將矩形AOCB以原點O為位似中心放大為原來的eq\f(3,2)倍，得到矩形A1OC1B1，再將矩形A1OC1B1以原點O為位似中心放大eq\f(3,2)倍，得到矩形A2OC2B2…，依此規(guī)律，得到的矩形AnOCnBn的對角線交點的坐標為________．16.如圖，在平面直角坐標系中，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，△A7A8A9，…，都是等邊三角形，且點A1，A3，A5，A7，A9的坐標分別為A1(3，0)，A3(1，0)，A5(4，0)，A7(0，0)，A9(5，0)，依據(jù)圖形所反映的規(guī)律，則A100的坐標為________．類型五與函數(shù)圖象相關(guān)的規(guī)律探索17.如圖，在坐標軸上取點A1(2，0)，作x軸的垂線與直線y＝2x交于點B1，作等腰直角三角形A1B1A2；又過點A2作x軸的垂線與直線y＝2x交于點B2，作等腰直角三角形A2B2A3；…，如此反復(fù)作等腰直角三角形，當作到An(n為正整數(shù))點時，則An的坐標是________．第16題圖第17題圖第18題圖18.如圖，在平面直角坐標系中，將△ABO繞點B順時針旋轉(zhuǎn)到△A1BO1的位置，使點A的對應(yīng)點A1落在直線y＝eq\f(\r(3),3)x上，再將△A1BO1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)到△A1B1O2的位置，使點O1的對應(yīng)點O2落在直線y＝eq\f(\r(3),3)x上，依次進行下去….若點A的坐標是(0，1)，點B的坐標是(eq\r(3)，1)，則點A8的橫坐標是________．答案與解析：類型一數(shù)字規(guī)律探索1.D【解析】根據(jù)題意，7的冪次方最終結(jié)果的末位數(shù)字是7，9，3，1這樣的循環(huán)，其和的末位數(shù)字是0，因為2016＝504×4，所以71＋72＋73＋…＋72016的末位數(shù)字是0.2.1【解析】將原來的一列數(shù)變形為eq\f(1,2)，eq\f(3,3)，eq\f(5,5)，□，eq\f(9,11)，eq\f(11,13)，eq\f(13,17)，…通過觀察可以得出分子依次為從小到大排列的連續(xù)奇數(shù)，分母是依次從小到大排列的質(zhì)數(shù)，故方框內(nèi)填eq\f(7,7)，故答案為1.3.1【解析】從前幾個3的冪次方結(jié)果來看，它的個位數(shù)字依次是3，9，7，1，第5個數(shù)跟第一個數(shù)的個位數(shù)字相同，于是3的整數(shù)次冪是每四個數(shù)一個循環(huán)，2016÷4＝504，于是32016的個位數(shù)字與34的個位數(shù)字相同，即為1.類型二數(shù)式規(guī)律探索4.A【解析】由H的下標可得第1個是4，第二個為6，第三個為8，所以第n個為2n＋2，由C的下標可得第1個是1，第二個是2，…，所以碳原子的數(shù)目為n時，化學(xué)式為CnH2n＋2.5.(n＋1)2或n2＋2n＋1【解析】∵x1＋x2＝1＋3＝4＝22，x2＋x3＝3＋6＝9＝32，x3＋x4＝6＋10＝16＝42，x4＋x5＝10＋15＝25＝52，x5＋x6＝15＋21＝36＝62，∴xn＋xn＋1＝(n＋1)2＝n2＋2n＋1.6.eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)【解析】觀察所給等式可以發(fā)現(xiàn)，第一個等式的右邊系數(shù)為eq\f(1,2)＝1×eq\f(1,2)，因式為n(n＋1)；第二個等式的右邊系數(shù)為eq\f(1,6)＝eq\f(1,2)×eq\f(1,3)，因式為n(n＋1)(n＋2)；第三個等式的右邊系數(shù)為eq\f(1,24)＝eq\f(1,6)×eq\f(1,4)，因式為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)，所以第四個等式的右邊系數(shù)為eq\f(1,24)×eq\f(1,5)＝eq\f(1,120)，因式為n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)，結(jié)果為eq\f(1,120)n(n＋1)(n＋2)(n＋3)(n＋4)．類型三圖形規(guī)律探索7.A【解析】由題意得：S1＝22＝(eq\f(1,2))－2，S2＝(eq\r(2))2＝(eq\f(1,2))－1，S3＝(1)2＝(eq\f(1,2))0，S4＝(eq\f(1,\r(2)))2＝(eq\f(1,2))1，…，S9＝(eq\f(1,2))9－3＝(eq\f(1,2))6.故選A.8.D【解析】本題考查旋轉(zhuǎn)規(guī)律探索和弧長公式．在矩形ABCD中，AB＝4，BC＝3，由勾股定理得：AC＝eq\r(AB2＋BC2)＝5，畫出經(jīng)過旋轉(zhuǎn)六次后點A經(jīng)過的路線，由題圖可知經(jīng)過第①次旋轉(zhuǎn)，點A運動過的路程是以B為圓心，AB長為半徑，圓心角為90°的eq\o(AA1,\s\up8(︵))；經(jīng)過第②次旋轉(zhuǎn)，點A運動過的路程是以AC長為半徑，圓心角為90°的eq\o(A1A2,\s\up8(︵))；經(jīng)過第③次旋轉(zhuǎn)，點A運動過的路程是以AD長為半徑，圓心角為90°的eq\o(A2A3,\s\up8(︵))；第④次旋轉(zhuǎn)，點A在直線上不變化；經(jīng)過第⑤次旋轉(zhuǎn)，點A運動過的路程與第①次旋轉(zhuǎn)運動過的路程一致.故點A每經(jīng)過四次旋轉(zhuǎn)后，重復(fù)前四次旋轉(zhuǎn)的路程．∵2015÷4＝503……3，∴點A經(jīng)過的路程正好是503個前四次運動的路程和再加上一個前三次運動的路程和，即一共是504個前三次運動的路程和．由弧長公式得eq\o(AA1,\s\up8(︵))的長為eq\f(1,2)πAB＝2π，eq\o(A1A2,\s\up8(︵))的長為eq\f(1,2)πAC＝eq\f(5,2)π；eq\o(A2A3,\s\up8(︵))的長為eq\f(1,2)πAD＝eq\f(3,2)π，∴經(jīng)過2015次旋轉(zhuǎn)后，點A經(jīng)過的路程為504×(2π＋eq\f(5,2)π＋eq\f(3,2)π)＝3024π.9.16【解析】根據(jù)題意得：第1個圖形中小圓的個數(shù)為5，第2個圖形中小圓的個數(shù)為7，第3個圖形中小圓的個數(shù)為11，得出第n個圖形中小圓的個數(shù)為n(n－1)＋5.據(jù)此可以求出“龜圖”中有245個“○”時n的值．方法①：第1個圖形有：5個○，第2個圖形有：2×(2－1)＋5＝7個○，第3個圖形有：3×(3－1)＋5＝11個○，第4個圖形有：4×(4－1)＋5＝17個○，…，據(jù)此得出：第n個圖形有：n(n－1)＋5個○，則可得方程n(n－1)＋5＝245，解得n1＝16，n2＝－15(不合題意，舍去)．故答案為：16.方法②：設(shè)y＝an2＋bn＋c，根據(jù)題意得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝5,4a＋2b＋c＝7,9a＋3b＋c＝11))，解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝－1,c＝5))，∴y＝n2－n＋5.當y＝245時，可得：n2－n＋5＝245.10.四【解析】△ABC與△A1BB1的底相等(AB＝A1B)，高為1∶2(BB1＝2BC)，故面積比為1∶2，∵S△ABC＝1，∴S△A1BB1＝2.同理可得，S△C1B1C＝2，S△AA1C1＝2，∴S△A1B1C1＝S△C1B1C＋S△AA1C1＋S△A1B1B＋S△ABC＝2＋2＋2＋1＝7，同理可證：S△A2B2C2＝7S△A1B1C1＝49，第三次操作后的面積為7×49＝343，第四次操作后的面積為7×343＝2401.故按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過2016，最少經(jīng)過四次操作．11.3n－1eq\r(3)【解析】由題可知，∠MON＝60°，不妨設(shè)Bn到ON的距離為hn，∵正六邊形A1B1C1D1E1F1的邊長為1，則A1B1＝1，易知△A1OF1為等邊三角形，∴A1B1＝OA1＝1，∴OB1＝2，則h1＝2×eq\f(\r(3),2)＝eq\r(3)，又OA2＝A2F2＝A2B2＝3，∴OB2＝6，則h2＝6×eq\f(\r(3),2)＝3eq\r(3)，同理可求：OB3＝18，則h3＝18×eq\f(\r(3),2)＝9eq\r(3)，…，依此可求：OBn＝2×3n－1，則hn＝2×3n－1×eq\f(\r(3),2)＝3n－1eq\r(3)，∴Bn到ON的距離hn＝3n－1eq\r(3).類型四坐標中的圖形規(guī)律探索12.B【解析】∵菱形OABC的頂點O(0，0)，點B的坐標是(2，2)，∴BO與x軸的夾角為45°，∵菱形的對角線互相垂直平分，∴點D是線段OB的中點，∴點D的坐標是(1，1)，∵菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)，每秒旋轉(zhuǎn)45°，360°÷45°＝8，∴每旋轉(zhuǎn)8秒，菱形的對角線交點就回到原來的位置(1，1)，∵60÷8＝7……4，∴第60秒時菱形繞點O逆時針旋轉(zhuǎn)了7周回到原來位置后，又旋轉(zhuǎn)了4秒，即又旋轉(zhuǎn)了4×45°＝180°，∴點D的對應(yīng)點落在第三象限，且對應(yīng)點與點D關(guān)于原點O成中心對稱，∴第60秒時，菱形的對角線交點D的坐標為(－1，－1)．13.(21008，0)【解析】點B的位置依次落在第一象限、y軸正半軸、第二象限、x軸負半軸、第三象限、y軸負半軸、第四象限、x軸正半軸，…，每8次一循環(huán).2016÷8＝252，所以點B2016落在x軸正半軸，故B2016的縱坐標是0；OBn是正方形的對角線，OB1＝eq\r(2)，OB2＝2＝(eq\r(2))2，OB3＝2eq\r(2)＝(eq\r(2))3，…，所以O(shè)B2016＝(eq\r(2))2016＝21008，所以點B2016的坐標為(21008，0)．14.－31007eq\r(3)【解析】∵A1(1，0)，∠A1A2O＝30°，∴A2(0，eq\r(3))，∵A3A2⊥A1A2，∴∠A3A2O＝60°，∴∠A2A3O＝30°，∴A3(－3，0)，同理：A4(0，－3eq\r(3))，A5(9，0)，A6(0，9eq\r(3))，A7(－27，0)，A8(0，－27eq\r(3))，…，即：A2(0，eq\r(3))，A4(0，－3eq\r(3))，A6(0，9eq\r(3))，A8(0，－27eq\r(3))，列表如下：A2eq\r(3)×(－3)0…(2－2)÷2＝0A4eq\r(3)×(－3)1…(4－2)÷2＝1A6eq\r(3)×(－3)2…(6－2)÷2＝2A8eq\r(3)×(－3)3…(8－2)÷2＝3A2016eq\r(3)×(－3)n…(2016－2)÷2＝n∴n＝1007，∴A2016的縱坐標是－31007eq\r(3).15.(－eq\f(3n,2n)，eq\f(3n,2n＋1))【解析】在矩形OABC中，OA＝2，OC＝1，∴A(－2，0)，C(0，1)，∴對角線的交點為(－1，eq\f(1,2))，將矩形OABC以原點O為位似中心，放大為原來的eq\f(3,2)倍，∴矩形A1OC1B1對角線的交點為(－eq\f(3,2)，eq\f(3,4))，即(－eq\f(3,2)，eq\f(1,2)×eq\f(3,2))，繼續(xù)放大為原來的eq\f(3,2)倍，∴矩形A2OC2B2對角線的交點為(－eq\f(9,4)，eq\f(9,8))，即(－eq\f(32,22)，eq\f(1,2)×eq\f(32,22))，…，依次類推，∴矩形AnOCnBn對角線的交點為(－eq\f(3n,2n)，eq\f(3n,2n＋1))．第16題解圖16.(eq\f(5,2)，－eq\f(51\r(3),2))【解析】如解圖，繼續(xù)排列圖形如下，觀察發(fā)現(xiàn)，A1、A5、A9、…、A4n－3在點(2，0)的右側(cè)，A3、A7、A11、…、A4n－1在點(2，0)的左側(cè)，A2、A6、