上海市楊浦區(qū)2023-2024學年數(shù)學高一上期末教學質(zhì)量檢測試題含解析

上海市楊浦區(qū)2023-2024學年數(shù)學高一上期末教學質(zhì)量檢測試題注意事項:1．答題前，考生先將自己的姓名、準考證號碼填寫清楚，將條形碼準確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時請按要求用筆。3．請按照題號順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效；在草稿紙、試卷上答題無效。4．作圖可先使用鉛筆畫出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1．若，則a，b，c的大小關系是（）A. B.C. D.2．設集合，，則A. B.C. D.3．已知角的終邊過點，則等于（）A.2 B.C. D.4．函數(shù)（為自然對數(shù)的底）的零點所在的區(qū)間為A. B.C. D.5．“幸福感指數(shù)”是指某個人主觀地評價自己對目前生活狀態(tài)的滿意程度的指標.常用區(qū)間內(nèi)的一個數(shù)來表示，該數(shù)越接近表示滿意度越高.甲、乙兩位同學分別隨機抽取位本地市民，調(diào)查他們的幸福感指數(shù)，甲得到位市民的幸福感指數(shù)分別為，，，，，，，，，，乙得到位市民的幸福感指數(shù)的平均數(shù)為，方差為，則這位市民幸福感指數(shù)的方差為（）A. B.C. D.6．函數(shù)的大致圖象是（）A. B.C. D.7．在上，滿足的的取值范圍是（）A. B.C. D.8．已知函數(shù)則函數(shù)值域是（）A. B.C. D.9．為了得到函數(shù)的圖象，可以將函數(shù)的圖象A.向右平移 B.向右平移C.向左平移 D.向左平移10．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，當時，，則A. B.C. D.二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11．冪函數(shù)，當取不同的正數(shù)時，在區(qū)間上它們的圖像是一族美麗的曲線（如圖）．設點，連接，線段恰好被其中的兩個冪函數(shù)的圖像三等分，即有．那么_______12．已知點，若，則點的坐標為_________.13．已知，若，則的最小值是___________.14．向量與，則向量在方向上的投影為______15．已知函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，若實數(shù)滿足，則的取值范圍是______16．某網(wǎng)店根據(jù)以往某品牌衣服的銷售記錄，繪制了日銷售量的頻率分布直方圖，如圖所示，由此估計日銷售量不低于50件的概率為________三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．已知,.（Ⅰ）求證：函數(shù)在上是增函數(shù)；（Ⅱ）若,求實數(shù)的取值范圍.18．如圖，在正方體中，、分別為、的中點，與交于點.求證：（1）；（2）平面平面.19．證明：函數(shù)是奇函數(shù).20．已知不等式的解集是（1）若且，求的取值范圍；（2）若，求不等式的解集21．求值：（1）；

參考答案一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每個小題給出的四個選項中，恰有一項是符合題目要求的1、A【解析】根據(jù)題意，以及指數(shù)和對數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性，來確定a，b，c的大小關系.【詳解】解：是增函數(shù)，是增函數(shù).，又，【點睛】本題考查三個數(shù)的大小的求法，考查指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)等基礎知識，考查運算求解能力，是基礎題.根據(jù)題意，構(gòu)造合適的對數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)，利用指數(shù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性判定的范圍是關鍵.2、D【解析】詳解】試題分析：集合，集合，所以,故選D.考點：1、一元二次不等式；2、集合的運算.3、B【解析】由正切函數(shù)的定義計算【詳解】由題意故選：B4、B【解析】分析：先判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后結(jié)合選項，利用零點的存在定理，即可求解.詳解：由題意，函數(shù)為單調(diào)遞減函數(shù)，又因為，由函數(shù)的零點判斷可知，函數(shù)的零點在區(qū)間，故選B.點睛：本題主要考查了函數(shù)的零點的判定定理及應用，其中熟記函數(shù)的零點的存在定理是解答本題的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題.5、C【解析】設乙得到位市民的幸福感指數(shù)為，甲得到位市民的幸福感指數(shù)為，求出，，由甲的方差可得的值，再求出的值，由方差公式即可求解.【詳解】設乙得到位市民的幸福感指數(shù)為，則，甲得到位市民的幸福感指數(shù)為，可得，，所以這位市民的幸福感指數(shù)之和為，平均數(shù)為，由方差的定義，乙所得數(shù)據(jù)的方差：，由于，解得：.因為甲得到位市民的幸福感指數(shù)為，，，，，，，，，，所以，所以這位市民的幸福感指數(shù)的方差為：，故選：C.6、C【解析】由奇偶性定義判斷的奇偶性，結(jié)合對數(shù)、余弦函數(shù)的性質(zhì)判斷趨向于0時的變化趨勢，應用排除法即可得正確答案.【詳解】由且定義域，所以為偶函數(shù)，排除B、D.又在趨向于0時趨向負無窮，在趨向于0時趨向1，所以在趨向于0時函數(shù)值趨向負無窮，排除A.故選：C7、B【解析】根據(jù)的函數(shù)圖象結(jié)合特殊角的三角函數(shù)值，即可容易求得結(jié)果.【詳解】根據(jù)的圖象可知：當時，或，數(shù)形結(jié)合可知：當，得故選：.【點睛】本題考查利用三角函數(shù)的圖象解不等式，屬簡單題.8、B【解析】結(jié)合分段函數(shù)的單調(diào)性來求得的值域.【詳解】當吋，單調(diào)遞增，值域為；當時，單調(diào)遞增，值域為，故函數(shù)值域為.故選：B9、B【解析】先將，進而由平移變換規(guī)律可得解.【詳解】函數(shù)，所以只需將向右平移可得.故選B.【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)的圖像平移變換，解題的關鍵是將函數(shù)名統(tǒng)一，需要利用誘導公式，屬于中檔題.10、D【解析】由函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，借助奇偶性，將問題轉(zhuǎn)化到已知區(qū)間上，再求函數(shù)值【詳解】因為是定義在上的偶函數(shù)，且當時，，所以，選擇D【點睛】已知函數(shù)的奇偶性問題，常根據(jù)函數(shù)的奇偶性，將問題進行轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化到條件給出的范圍再進行求解二、填空題：本大題共6小題，每小題5分，共30分。11、1【解析】求出的坐標，不妨設，，分別過，，分別代入點的坐標，變形可解得結(jié)果.【詳解】因為，，，所以，，不妨設，，分別過，，則，，則，所以故答案為：112、（0,3）【解析】設點的坐標，利用，求解即可【詳解】解：點，，，設，，，，，解得，點的坐標為，故答案為：【點睛】本題考查向量的坐標運算，向量相等的應用，屬于基礎題13、16【解析】乘1后借助已知展開，然后由基本不等式可得.【詳解】因為，所以當且僅當，，即時，取“=”號，所以的最小值為16.故答案為：1614、【解析】在方向上的投影為考點：向量的投影15、【解析】由函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性分析可得，結(jié)合對數(shù)的運算性質(zhì)變形可得，從而可得結(jié)果【詳解】因為函數(shù)是定義在上的偶函數(shù)，且在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，又由，則原不等式變形可得，解可得：，即的取值范圍為，故答案為【點睛】本題主要考查函數(shù)的單調(diào)性與奇偶性的綜合應用，考查了指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性以及對數(shù)的運算，意在考查綜合應用所學知識解答問題的能力，屬于基礎題16、55【解析】用減去銷量為的概率，求得日銷售量不低于50件的概率.【詳解】用頻率估計概率知日銷售量不低于50件的概率為1－（0.015＋0.03）×10＝0.55.故答案為：【點睛】本小題主要考查根據(jù)頻率分布直方圖計算事件概率，屬于基礎題.三、解答題：本大題共5小題，共70分。解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（Ⅰ）答案見詳解;（Ⅱ）.【解析】(Ⅰ)利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性;(Ⅱ)判斷函數(shù)奇偶性,并結(jié)合的單調(diào)性將不等式轉(zhuǎn)化為不等式組,求出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(Ⅰ)任取,則,,即,所以函數(shù)在上是增函數(shù);(Ⅱ)因為函數(shù)定義域為,關于原點對稱,又,所以函數(shù)為奇函數(shù),又,即,即,由(Ⅰ)知函數(shù)在上是增函數(shù),所以,即,故實數(shù)的取值范圍為.【點睛】(1)大題中一般采用定義法證明函數(shù)單調(diào)性;(2)利用單調(diào)性解不等式問題,一般需要注意三個方面:①注意函數(shù)定義域范圍限制;②確定函數(shù)的單調(diào)性;③部分需要結(jié)合奇偶性轉(zhuǎn)化.18、（1）證明見解析（2）證明見解析【解析】（1）證明出四邊形為平行四邊形，可證得結(jié)論成立；（2）證明出平面，平面，利用面面平行的判定定理可證得結(jié)論成立.【小問1詳解】證明：在正方體中，且，因為、分別為、的中點，則且，所以，四邊形為平行四邊形，則.【小問2詳解】證明：因為四邊形為正方形，，則為的中點，因為為中點，則，平面，平面，所以，平面，因為，平面，平面，所以，平面，因為，因此，平面平面.19、證明見解析【解析】由奇偶性的定義證明即可得出結(jié)果.【詳解】中，，即，的定義域為，關于原點對稱，,，函數(shù)是奇函數(shù).20、（1）（2）【解析】（1）根據(jù)且知道滿足不等式，不滿足不等式，解出即可得出答案（2）根據(jù)知道是方程的兩個根，利用韋達定