專題04 開放拓展問題（精講）-2019年中考數(shù)學(xué)高頻考點(diǎn)突破全攻略（解析版）

【課標(biāo)解讀】 教育部《關(guān)于初中畢業(yè)、升學(xué)考試指導(dǎo)意見》明確指出，中考數(shù)學(xué)要出一定的開放性問題，以更好地保障解答者創(chuàng)造性地發(fā)揮水平?！稊?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》在編學(xué)上也十分關(guān)注這個(gè)問題，在學(xué)習(xí)選擇上改革力度很大，書中有不少既符合學(xué)生特點(diǎn)又聯(lián)系實(shí)際的開放性問題?。開放探索問題是指已知條件、解題依據(jù)、解題方法、問題結(jié)論這四項(xiàng)要素中，缺少解題要素兩個(gè)或兩個(gè)以上，或者條件、結(jié)論有待探求、補(bǔ)充等.【解題策略】在解決開放探索問題的時(shí)候，需解題者經(jīng)過探索確定結(jié)論或補(bǔ)全條件，將開放性問題轉(zhuǎn)化為封閉性問題，然后選擇合適的解題途徑完成最后的解答.【考點(diǎn)深剖】★考點(diǎn)一條件開放型所謂條件開放型試題是指在結(jié)論不變的前提下，條件不唯一的題目．【典例1】（2018?安順）如圖，點(diǎn)D，E分別在線段AB，AC上，CD與BE相交于O點(diǎn)，已知AB=AC，現(xiàn)添加以下的哪個(gè)條件仍不能判定△ABE≌△ACD（）A．∠B=∠C B．AD=AE C．BD=CE D．BE=CD【分析】欲使△ABE≌△ACD，已知AB=AC，可根據(jù)全等三角形判定定理AAS、SAS、ASA添加條件，逐一證明即可．★考點(diǎn)二結(jié)論開放型數(shù)學(xué)命題，根據(jù)思維形式可分成三部分：假設(shè)——推理——判斷．所謂結(jié)論開放題是指判斷部分是未知要素的開放題．【典例2】（2018?安順）如圖，在△ABC中，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，過點(diǎn)A作BC的平行線交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF．（1）求證：AF=DC；（2）若AC⊥AB，試判斷四邊形ADCF的形狀，并證明你的結(jié)論．【分析】（1）連接DF，由AAS證明△AFE≌△DBE，得出AF=BD，即可得出答案；（2）根據(jù)平行四邊形的判定得出平行四邊形ADCF，求出AD=CD，根據(jù)菱形的判定得出即可；∵AE=DE，∴四邊形AFDB是平行四邊形，∴BD=AF，∵AD為中線，∴DC=BD，∴AF=DC；（2）四邊形ADCF的形狀是菱形，理由如下：★考點(diǎn)三作圖開放型這類題與傳統(tǒng)的作圖題比較，符合題意的答案多種多樣，具有很強(qiáng)的開放性?！镜淅?】（2018?河北）已知：如圖，點(diǎn)P在線段AB外，且PA=PB，求證：點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，在證明該結(jié)論時(shí)，需添加輔助線，則作法不正確的是（）A．作∠APB的平分線PC交AB于點(diǎn)CB．過點(diǎn)P作PC⊥AB于點(diǎn)C且AC=BCC．取AB中點(diǎn)C，連接PCD．過點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C【分析】利用判斷三角形全等的方法判斷即可得出結(jié)論．【解答】解：A、利用SAS判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，符合題意；C、利用SSS判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∠PCA=∠PCB=90°，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，符合題意；D、利用HL判斷出△PCA≌△PCB，∴CA=CB，∴點(diǎn)P在線段AB的垂直平分線上，符合題意，B、過線段外一點(diǎn)作已知線段的垂線，不能保證也平分此條線段，不符合題意；故選：B．學(xué)科&網(wǎng)★考點(diǎn)四探究開放型此類題常以找規(guī)律的閱讀題形式出現(xiàn),解題要求能善于觀察分析,歸納所提供的材料,猜想其結(jié)論。?【典例4】（2017浙江衢州）在直角坐標(biāo)系中，過原點(diǎn)O及點(diǎn)A（8，0），C（0，6）作矩形OABC、連結(jié)OB，點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，點(diǎn)E是線段AB上的動(dòng)點(diǎn)，連結(jié)DE，作DF⊥DE，交OA于點(diǎn)F，連結(jié)EF．已知點(diǎn)E從A點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度在線段AB上移動(dòng)，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為t秒．（1）如圖1，當(dāng)t=3時(shí)，求DF的長(zhǎng)．（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)E在線段AB上移動(dòng)的過程中，∠DEF的大小是否發(fā)生變化？如果變化，請(qǐng)說明理由；如果不變，請(qǐng)求出tan∠DEF的值．（3）連結(jié)AD，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時(shí)，求相應(yīng)的t的值．【分析】（1）當(dāng)t=3時(shí)，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)，由三角形中位線定理得出DE∥OA，DE=OA=4，再由矩形的性質(zhì)證出DE⊥AB，得出∠OAB=∠DEA=90°，證出四邊形DFAE是矩形，得出DF=AE=3即可；（3）作作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，若AD將△DEF的面積分成1：2的兩部分，設(shè)AD交EF于點(diǎn)G，則點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)；①當(dāng)點(diǎn)E到達(dá)中點(diǎn)之前時(shí)，NE=3﹣t，由△DMF∽△DNE得：MF=（3﹣t），求出AF=4+MF=﹣t+，得出G（，t），求出直線AD的解析式為y=﹣x+6，把G（，t）代入即可求出t的值；②當(dāng)點(diǎn)E越過中點(diǎn)之后，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），求出AF=4﹣MF=﹣t+，得出G（，t），代入直線AD的解析式y(tǒng)=﹣x+6求出t的值即可．又∵DF⊥DE，∴∠EDF=90°，∴四邊形DFAE是矩形，∴DF=AE=3；（2）∠DEF的大小不變；理由如下：作DM⊥OA于M，DN⊥AB于N，如圖2所示：∵四邊形OABC是矩形，∴OA⊥AB，∴四邊形DMAN是矩形，∴∠MDN=90°，DM∥AB，DN∥OA，∴，=，∵點(diǎn)D為OB的中點(diǎn)，∴M、N分別是OA、AB的中點(diǎn)，∴DM=AB=3，DN=OA=4，∵∠EDF=90°，∴∠FDM=∠EDN，又∵∠DMF=∠DNE=90°，∴△DMF∽△DNE，∴=，∵∠EDF=90°，∴tan∠DEF==；設(shè)直線AD的解析式為y=kx+b，把A（8，0），D（4，3）代入得：，解得：，∴直線AD的解析式為y=﹣x+6，把G（，t）代入得：t=；②當(dāng)點(diǎn)E越過中點(diǎn)之后，如圖4所示，NE=t﹣3，由△DMF∽△DNE得：MF=（t﹣3），∴AF=4﹣MF=﹣t+，∵點(diǎn)G為EF的三等分點(diǎn)，∴G（，t），代入直線AD的解析式y(tǒng)=﹣x+6得：t=；綜上所述，當(dāng)AD將△DEF分成的兩部分的面積之比為1：2時(shí)，t的值為或.【講透練活】變式1：（2018?成都）如圖，已知∠ABC=∠DCB，添加以下條件，不能判定△ABC≌△DCB的是（）A．∠A=∠D B．∠ACB=∠DBC C．AC=DB D．AB=DC【分析】全等三角形的判定方法有SAS，ASA，AAS，SSS，根據(jù)定理逐個(gè)判斷即可．變式2：（2018?河北）尺規(guī)作圖要求：Ⅰ、過直線外一點(diǎn)作這條直線的垂線；Ⅱ、作線段的垂直平分線；Ⅲ、過直線上一點(diǎn)作這條直線的垂線；Ⅳ、作角的平分線．如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：則正確的配對(duì)是（）A．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅱ，③﹣Ⅰ，④﹣Ⅲ B．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅲ，③﹣Ⅱ，④﹣ⅠC．①﹣Ⅱ，②﹣Ⅳ，③﹣Ⅲ，④﹣Ⅰ D．①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ如圖是按上述要求排亂順序的尺規(guī)作圖：則正確的配對(duì)是：①﹣Ⅳ，②﹣Ⅰ，③﹣Ⅱ，④﹣Ⅲ．故選：D．學(xué)科&網(wǎng)變式3：（2018?婁底）如圖，已知四邊形ABCD中，對(duì)角線AC、BD相交于點(diǎn)O，且OA=OC，OB=OD，過O點(diǎn)作EF⊥BD，分別交AD、BC于點(diǎn)E、F．（1）求證：△AOE≌△COF；（2）判斷四邊形BEDF的形狀，并說明理由．【分析】（1）首先證明四邊形ABCD是平行四邊形，再利用ASA證明△AOE≌△COF；（2）結(jié)論：四邊形BEDF是菱形．根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可證明；【解答】（1）證明：∵OA=OC，OB=OD，∴四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，∴∠EAO=∠FCO，在△AOE和△COF中，，∴△AOE≌△COF．變式4：（2018?金華）如圖，在6×6的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)A在格點(diǎn)（小正方形的頂點(diǎn)）上．試在各網(wǎng)格中畫出頂點(diǎn)在格點(diǎn)上，面積為6，且符合相應(yīng)條件的圖形．【分析】利用數(shù)形結(jié)合的思想解決問題即可；【解答】解：符合條件的圖形如圖所示：變式5：（2018?泰安）如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，DE⊥AC于點(diǎn)E，F(xiàn)是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G⊥BC于點(diǎn)G，與DE交于點(diǎn)H，若FG=AF，AG平分∠CAB，連接GE，CD．（1）求證：△ECG≌△GHD；（2）小亮同學(xué)經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：AD=AC+EC．請(qǐng)你幫助小亮同學(xué)證明這一結(jié)論．（3）若∠B=30°，判定四邊形AEGF是否為菱形，并說明理由．【解答】解：（1）∵AF=FG，∴∠FAG=∠FGA，∵AG平分∠CAB，∴∠CAG=∠FGA，∴∠CAG=∠FGA，∴AC∥FG，∵DE⊥AC，∴FG⊥DE，∵FG⊥BC，∴DE∥BC，∴AC⊥BC，∴∠C=∠DHG=90°，∠CGE=∠GED，∵F是AD的中點(diǎn)，F(xiàn)G∥AE，∴H是ED的中點(diǎn)，∴FG是線段ED的垂直平分線，∴GE=GD，∠GDE=∠GED，∴∠CGE=∠GDE，∴△ECG≌△GHD；（3）四邊形AEGF是菱形，證明：∵∠B=30°，∴∠ADE=30°，∴AE=AD，∴AE=AF=FG，由（1）得AE∥FG，∴四邊形AECF是平行四邊形，∴四邊形AEGF是菱形．變式6：（2017湖北隨州）如圖，分別是可活動(dòng)的菱形和平行四邊形學(xué)具，已知平行四邊形較短的邊與菱形的邊長(zhǎng)相等．（1）在一次數(shù)學(xué)活動(dòng)中，某小組學(xué)生將菱形的一邊與平行四邊形較短邊重合，擺拼成如圖1所示的圖形，AF經(jīng)過點(diǎn)C，連接DE交AF于點(diǎn)M，觀察發(fā)現(xiàn)：點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)．下面是兩位學(xué)生有代表性的證明思路：思路1：不需作輔助線，直接證三角形全等；思路2：不證三角形全等，連接BD交AF于點(diǎn)H．…請(qǐng)參考上面的思路，證明點(diǎn)M是DE的中點(diǎn)（只需用一種方法證明）；（2）如圖2，在（1）的前提下，當(dāng)∠ABE=135°時(shí)，延長(zhǎng)AD、EF交于點(diǎn)N，求的值；（3）在（2）的條件下，若=k（k為大于的常數(shù)），直接用含k的代數(shù)式表示的值．（4）由于==+=k，則=，然后表示出==?+1，再把=代入計(jì)算即可．學(xué)科&網(wǎng)【解答】解：（1）如圖1，證法一：∵四邊形ABCD為菱形，∴AB=CD，AB∥CD，∵四邊形ABEF為平行四邊形，∴AB=EF，AB∥EF，∴CD=EF，CD∥EF，∴∠CDM=∠FEM，在△CDM和△FEM中，∴△CDM≌△FEM，∴