平面向量知識點

必修四平面向量

一、向量的相關概念：

1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量

注意：1。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進行代數(shù)運算、比較大小；

向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.

2、向量的表示方法：幾何表示法：①用有向線段表示；②用字母之、1等表示；③用有向

線段的起點與終點字母：AB；坐標表示法：a=xi+yj=（x,y）.

3、向量的模：向量而的大小一一長度稱為向量的模，記作ABI.

4、特殊的向量：①長度為0的向量叫零向量，記作。.6的方向是任意的.②長度為1個單位

長度的向量，叫單位向量.說明：零向量、單位向量的定義都是只限制大小，不確定方向.

5、相反向量：與°長度相同、方向相反的向量.記作-a

6、相等的向量：長度相等且方向相同的向量叫相等向量.向量1與6相等，記作：=力；

7、平行:向量（共線向量）：方向相同或相反的向量，稱為平行向量.記作力〃.平行向量也稱

為共線向量.規(guī)定零向量與任意向量平行。

8、兩個非零向量夾角的概念：已知非零向量）與就作方=1，OB=b,則

NAOB=。（0V。叫之與1的夾角.

_>_>->77_>

說明：（1）當。=0時，a與人同向；（2）當6=4時，a與人反向；（3）當6=—時，a

2

T—>T

與b垂直，記規(guī)定零向量和任意向量都垂直。（4）注意在兩向量的夾角定義，兩向

量必須是同起點的?范圍0°^0^180°

9、實數(shù)與向量的積：實數(shù)人與向量1的積是一個向量，記作/lW,它的長度與方向規(guī)定如

下:

（I）Aa=|/||a|：（H）當之>0時，2I的方向與1的方向相同；當幾<0時，的

方向與"的方向相反；當2=0時，Aa=0,方向是任意的

10、兩個向量的數(shù)量積：

已知兩個非零向量a與b,它們的夾角為6,貝Ija/=|a||匕|cos6

叫做之與了的數(shù)量積（或內積）規(guī)定，W=0

11、向量的投影：定義：lOcos。叫做向量W在1方向上的投影，投影也是一個數(shù)量，不是

向量；當。為銳角時投影為正值；當。為鈍角時投影為負值；當。為直角時投影為0；當。=0。

->T

時投影為IbI;當。=180。時投影為-\b.

->->

羨osO="eR，稱為向量辦在1方向上的投影投影的絕對值稱為射影

1。1

二、重要定理、公式：

1、平面向量基本定理：￡,e；是同一平面內兩個不共線的向量，那么，對于這個平面內

—?—>—>

任一向量，有且僅有一對實數(shù)4,4,使a=4q+&/

（1）.平面向量的坐標表示

如圖，在直角坐標系內，我們分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量；、7作為基

底.任作一個向量之，由平面向量基本定理知，有且只有一對實數(shù)x、y,使得

->—>—>

a=xi+yj.......（D

—>

我們把（x,y）叫做向量。的（直角）坐標，記作

—>

a=（x,y）.......②

->

其中x叫做。在x軸上的坐標，y叫做。在y軸上的坐標，②式叫做向量的坐標表示.

—>

與。相等的向量的坐標也為（X,y）.

—>—>

特別地,i=（1,0）,j=（0,1）,0=（0,0）.

（2）若A（X|,y）,B（x2,y2）,則A3=—f，必一必）

一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點坐標減去始點的坐標.

2、兩個向量平行的充要條件

向量共線定理：向量］與非零向量之共線的充要條件是：有且只有一個非零實數(shù)入，使力=21

->—->Tf->

設4=（%，必），b=（x2,y2）,則a〃匕Oa=丸00一馬必=0

3、兩個向量垂直的充要條件

->->->fff

設4=（占,必），b=（x2,y2）,則a_L〃=。8=0O藥々+,必=。

4、平面內兩點間的距離公式

（1）設1=（x,y）,則|a|2=/+y2或

—>

（2）如果表示向量。的有向線段的起點和終點的坐標分別為A（$，M）、8（々,乃），那么

IAB|=JN-J+G-7］（平面內兩點間的距離公式）

5、兩向量夾角的余弦（0W6W萬）Z-標_「X也+y%

f->I22I22

\a\-\b\++%

三、向量的運算向量的加減法，數(shù)與向量的乘積，向量的數(shù)量（內積）及其各運算

的坐標表示和性質

a=(X],yJ,石=(%,必)

運算

幾何方法坐標方法運算性質

類型

向

量

1.平行四邊形法則a+b=b+a

的—>T

2.三角形法則（首尾相接，首尾連）a+Z?=(x+x,y+y)—>->—>—>—>->

加12l2(4+8)+C=Q+(/?+C)

法

AB+BC=AC

向->—>—>—>

〃

量a-b=+(-/?)

三角形法則（首首相接，尾尾相連，

的—>—>

指向被減）Q=_麗

減a-b=(xl-y2)

法

OB-OA=AB

實數(shù)人與向量力的積是一個向量，

記作：

Za4Qza)=\A./S)a

向

（1）Aa=\^\a-

量(2+a=4。+//。

心)

的=(Zr

（2）九>0時，與1同向；-->->

乘X(a+b)=4a+X>

法T->

當/1<0時，與a異向；

a//boa=Ab

當2=0時，4a=0。任意方向,

ffTT

a-b=b-a

—>—>—>—>

a-b=|Q|?|〃|COS6,—>一(4〃)?8=〃?(2b)=b)

ab=xtx2+M%

—>—>—>—>—>—>—>

(0<6><^-).向量的數(shù)量積的幾何意

向(?+/?)?c=a-c+/?-c

義：

量

1工=0或7=0時，|a『=a或latjf+y?

的數(shù)量積1。等于］的

數(shù)f->