高一數(shù)學(xué)寒假講義（新人教A專用）【復(fù)習(xí)】第02講 一元二次函數(shù)、方程和不等式（學(xué)生卷）

第02講一元二次函數(shù)、方程和不等式【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1、梳理等式性質(zhì)的基礎(chǔ)上，通過類比，研究不等式的性質(zhì)，并利用這些性質(zhì)研究一類重要的不等式—基本不等式．2、體會(huì)函數(shù)觀點(diǎn)統(tǒng)一方程和不等式的數(shù)學(xué)思想．【考點(diǎn)目錄】考點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值考點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式考點(diǎn)四：恒成立問題考點(diǎn)五：二次函數(shù)根的分布問題考點(diǎn)六：不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用【基礎(chǔ)知識(shí)】知識(shí)點(diǎn)一、符號(hào)法則與比較大小實(shí)數(shù)的符號(hào)：任意，則（為正數(shù)）、或（為負(fù)數(shù)）三種情況有且只有一種成立．兩實(shí)數(shù)的加、乘運(yùn)算結(jié)果的符號(hào)具有以下符號(hào)性質(zhì)：①兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相加，和的符號(hào)不變符號(hào)語言：；②兩個(gè)同號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是正數(shù)符號(hào)語言：； ③兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)相乘，積是負(fù)數(shù)符號(hào)語言：④任何實(shí)數(shù)的平方為非負(fù)數(shù)，0的平方為0符號(hào)語言：，．比較兩個(gè)實(shí)數(shù)大小的法則：對(duì)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)、①；②；③．對(duì)于任意實(shí)數(shù)、，，，三種關(guān)系有且只有一種成立．知識(shí)點(diǎn)二、不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)可分為基本性質(zhì)和運(yùn)算性質(zhì)兩部分基本性質(zhì)有：（1）對(duì)稱性：（2）傳遞性：（3）可加性：（c∈R）（4）可乘性：a>b，運(yùn)算性質(zhì)有：（1）可加法則：（2）可乘法則：（3）可乘方性：知識(shí)點(diǎn)詮釋：不等式的性質(zhì)是不等式同解變形的依據(jù)．知識(shí)點(diǎn)三、比較兩代數(shù)式大小的方法作差法：任意兩個(gè)代數(shù)式、，可以作差后比較與0的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。伲虎?；③．作商法：任意兩個(gè)值為正的代數(shù)式、，可以作商后比較與1的關(guān)系，進(jìn)一步比較與的大?。?；②；③．中間量法：若且，則（實(shí)質(zhì)是不等式的傳遞性）．一般選擇0或1為中間量．知識(shí)點(diǎn)四、基本不等式1、對(duì)公式及的理解．（1）成立的條件是不同的：前者只要求都是實(shí)數(shù)，而后者要求都是正數(shù)；（2）取等號(hào)“=”的條件在形式上是相同的，都是“當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)”．2、由公式和可以引申出常用的常用結(jié)論①（同號(hào)）；②（異號(hào)）；③或知識(shí)點(diǎn)詮釋：可以變形為：，可以變形為：．知識(shí)點(diǎn)五、用基本不等式求最大（?。┲翟谟没静坏仁角蠛瘮?shù)的最值時(shí)，應(yīng)具備三個(gè)條件：一正二定三取等．①一正：函數(shù)的解析式中，各項(xiàng)均為正數(shù)；②二定：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須有一個(gè)為定值；③三取等：函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項(xiàng)均相等，取得最值．知識(shí)點(diǎn)詮釋：1、兩個(gè)不等式：與成立的條件是不同的，前者要求a，b都是實(shí)數(shù)，后者要求a，b都是正數(shù)．2、兩個(gè)不等式：與都是帶有等號(hào)的不等式，對(duì)于“當(dāng)且僅當(dāng)……時(shí)，取“=”號(hào)這句話的含義要有正確的理解．3、基本不等式的功能在于“和積互化”．若所證不等式可整理成一邊是和，另一邊是積的形式，則考慮使用平均不等式；若對(duì)于所給的“和式”中的各項(xiàng)的“積”為定值，則“和”有最小值，對(duì)于給出的“積式”中的各項(xiàng)的“和”為定值，則“積”有最大值．4、利用兩個(gè)數(shù)的基本不等式求函數(shù)的最值必須具備三個(gè)條件：①各項(xiàng)都是正數(shù)；②和（或積）為定值；③各項(xiàng)能取得相等的值．5、基本不等式在解決實(shí)際問題中有廣泛的應(yīng)用，在應(yīng)用時(shí)一般按以下步驟進(jìn)行：①先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；②建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；③在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大或最小值；④寫出正確答案．知識(shí)點(diǎn)六、二次函數(shù)與一元二次方程、不等式的解的對(duì)應(yīng)關(guān)系對(duì)于一元二次方程的兩根為且，設(shè)，它的解按照，，可分三種情況，相應(yīng)地，二次函數(shù)的圖像與軸的位置關(guān)系也分為三種情況．因此我們分三種情況來討論一元二次不等式或的解集．二次函數(shù)（）的圖象有兩相異實(shí)根有兩相等實(shí)根無實(shí)根知識(shí)點(diǎn)七、一元二次不等式恒成立問題（1）轉(zhuǎn)化為一元二次不等式解集為的情況，即恒成立恒成立（2）分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為求最值問題．【考點(diǎn)剖析】考點(diǎn)一：等式性質(zhì)與不等式性質(zhì)例1．（2023·遼寧·新民市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）已知，則（

）A． B． C． D．例2．（2023·湖北武漢·高一期末）已知.則的取值范圍是（

）A． B． C． D．例3．（2023·四川自貢·高一期末（文））對(duì)任意實(shí)數(shù)，命題：①若，則；②若，則；③若，則.④若，則，其中真命題的個(gè)數(shù)是（

）A．0 B．1 C．2 D．3考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值例4．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高一期末）函數(shù)的最小值是（

）A．7 B．9 C．12 D．例5．（2023·青海玉樹·高一期末）若實(shí)數(shù)，滿足，則的最小值為（

）．A．4 B．3 C．2 D．1例6．（2023·湖北武漢·高一期末）已知正實(shí)數(shù)a，b，c滿足，當(dāng)取最小值時(shí)，下列說法正確的是（

）A．a(chǎn)＝4b B．C．的最大值為 D．的最大值為例7．（2023·湖北武漢·高一期末）已知，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5例8．（2023·貴州遵義·高一期末）負(fù)實(shí)數(shù)、滿足，則的最小值為（

）A． B． C． D．考點(diǎn)三：二次函數(shù)與一元二次方程、不等式例9．（2023·安徽合肥·高一期末）已知關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B． C． D．例10．（2023·廣東廣州·高一期末）不等式的解集是（

）A． B．C． D．例11．（2023·河南開封·高一期末）關(guān)于的不等式的解集為，且，則（

）A．3 B． C．2 D．例12．（2023·黑龍江·哈爾濱市第一中學(xué)校高一期中）已知函數(shù).(1)若，求a的取值范圍；(2)解關(guān)于x的不等式.例16．（2023·黑龍江實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中）已知不等式的解集為或.(1)求的值；(2)解不等式.考點(diǎn)四：恒成立問題例17．（2023·陜西·長(zhǎng)安一中高一期末）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．例18．（2023·廣東揭陽·高一期末）對(duì)任意的，恒成立，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．例19．（2023·吉林·農(nóng)安縣教師進(jìn)修學(xué)校高一期末）不等式對(duì)一切恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是（

）A． B．C． D．例20．（2023·云南麗江·高一期末）對(duì)任意實(shí)數(shù)，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A． B．C． D．例21．（2023·黑龍江·哈爾濱七十三中高一期末）若，，且，恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B．或C．或 D．考點(diǎn)五：二次函數(shù)根的分布問題例22．（2023·甘肅慶陽·高一期末）關(guān)于x的方程恰有一根在區(qū)間內(nèi)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（

）A． B． C． D．例23．（2023·遼寧·營口市第二高級(jí)中學(xué)高一期末）若關(guān)于的方程有一正根和一負(fù)根，則的取值范圍為__________．例24．（2023·河南·高一期中）已知關(guān)于的方程的兩根分別在區(qū)間，內(nèi)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為__________．考點(diǎn)六：不等式在實(shí)際問題中的應(yīng)用例25．（2023·上海師大附中高一期中）某火車站正在不斷建設(shè)，目前車站準(zhǔn)備在某倉庫外，利用其一側(cè)原有墻體，建造一間墻高為3米，底面積為12平方米，且背面靠墻的長(zhǎng)方體形狀的保管員室.由于此保管員室的后背靠墻，無須建造費(fèi)用，因此甲工程隊(duì)給出的報(bào)價(jià)為：屋子前面新建墻體的報(bào)價(jià)為每平方米400元，左右兩面新建墻體報(bào)價(jià)為每平方米150元，屋頂和地面以及其他報(bào)價(jià)共計(jì)7200元.設(shè)屋子的左右兩側(cè)墻的長(zhǎng)度均為x米（）.(1)當(dāng)左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少時(shí)，甲工程隊(duì)報(bào)價(jià)最低？(2)現(xiàn)有乙工程隊(duì)也參與此保管員室建造競(jìng)標(biāo)，其給出的整體報(bào)價(jià)為元，若無論左右兩面墻的長(zhǎng)度為多少米，乙工程隊(duì)都能競(jìng)標(biāo)成功，試求a的取值范圍.例26．（2023·湖南·寧遠(yuǎn)縣明德湘南中學(xué)高一期中）用一段長(zhǎng)為的籬笆圍成一個(gè)一邊靠墻（靠墻的一面不用籬笆）的矩形菜園,墻長(zhǎng),問這個(gè)矩形的長(zhǎng)、寬各為多少時(shí),菜園的面積最大,最大面積時(shí)多少?例27．（2023·安徽·淮北一中高一期中）某鄉(xiāng)鎮(zhèn)響應(yīng)“綠水背山就是金山銀山”的號(hào)召，因地制宜的將該鎮(zhèn)打造成“生態(tài)水果特色小鎮(zhèn)”．經(jīng)調(diào)研發(fā)現(xiàn)：某水果樹的單株產(chǎn)量W（單位：千克）與施用肥料x（單位：千克）滿足如下關(guān)系：，且單株施用肥料及其它成本總投入為元．己知這種水果的市場(chǎng)售價(jià)大約為10元/千克，且銷路暢通供不應(yīng)求．記該水果樹的單株利潤(rùn)為（單位：元）．(1)求函數(shù)的解析式；(2)當(dāng)施用肥料為多少千克時(shí)，該水果樹的單株利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)是多少？【真題演練】1．（2007·全國·高考真題（文））不等式的解集是（

）A． B．C． D．1．（2007·陜西·高考真題（理））已知不等式對(duì)任意正實(shí)數(shù)x，y恒成立，則正實(shí)數(shù)a的最小值為（

）A．2 B．4 C．6 D．82．（2012·浙江·高考真題（文））若正數(shù)x，y滿足x+3y=5xy，則3x+4y的最小值是A． B． C．5 D．63．（2023·天津·高考真題）若，則的最小值為____________．4．（天津·高考真題（理））設(shè)，則的最小值為______.5．（2007·江西·高考真題（文））已知函數(shù)（為常數(shù)），且方程有兩個(gè)實(shí)根為．(1)求函數(shù)的解析式：(2)設(shè)，解關(guān)于的不等式：．6．（2007·上?！じ呖颊骖}（文））解不等式：．7．（2007·北京·高考真題（理））若關(guān)于x的不等式的解集為，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________；若關(guān)于x的不等式的解集不是空集，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是____________．【過關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高一期末）函數(shù)的最小值是（

）A．7 B． C．9 D．2．（2023·湖南湘西·高一期末）不等式的解集為,則函數(shù)的圖像大致為（

）A． B．C． D．3．（2023·湖南·寧鄉(xiāng)市教育研究中心高一期末）設(shè)（、為互不相等的正實(shí)數(shù)），，則與的大小關(guān)系是（

）A． B．C． D．4．（2023·四川南充·高一期末（理））不等式的解集為，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（

）A． B． C． D．5．（2023·四川綿陽·高一期末）下列結(jié)論正確的是（

）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則6．（2023·湖北武漢·高一期末）已知，且，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．57．（2023·陜西漢中·高一期末）若關(guān)于x的不等式的解集是R，則m的取值范圍是（

）A．（1，+∞） B．（0，1） C．（1，1） D．[1，+∞）8．（2023·四川自貢·高一期末（文））某班計(jì)劃在勞動(dòng)實(shí)踐基地內(nèi)種植蔬菜，班長(zhǎng)買回來8米長(zhǎng)的圍欄，準(zhǔn)備圍成一邊靠墻（墻足夠長(zhǎng)）的菜園，為了讓菜園面積盡可能大，同學(xué)們提出了圍成矩形?三角形?弓形這三種方案，最佳方案是（

）A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．方案1或方案2二、多選題9．（2023·江蘇·連云港市贛馬高級(jí)中學(xué)高一期末）若，，且，則下列不等式成立的是（

）A． B． C． D．10．（2023·福建省福州高級(jí)中學(xué)高一期末）當(dāng)時(shí)，下列函數(shù)中最小值不是2的有（

）A． B．C． D．11．（2023·湖北黃石·高一期末）下列說法正確的有（

）A．若，則的最大值是B．若x，y，z都是正數(shù)，且，則的最小值是3C．若，，，則的最小值是2D．若實(shí)數(shù)x，y滿足，則的最小值是12．（2023·湖北武漢·高一期末）已知關(guān)于x的不等式的解集為，且，若，是方程的兩個(gè)不等實(shí)根，則（

）A． B． C． D．三、填空題13．（2023·上海市七寶中學(xué)高一期末）已知關(guān)于的方程的兩根為、.若，則實(shí)數(shù)的值是______．14．（2023·青海玉樹·高一期末）已知關(guān)于x的不等式的解集為R，則b的取值范圍是__________．15．（2023·青海玉樹·高一期末）已知，則__________．（填“＞”“＜”或“＝”）16．（2023·天津南開·高一期末）已知，且，則的最小值是________四、解答題17．（2023·遼寧·新民市第一高級(jí)中學(xué)高一期末）某公司生產(chǎn)一種電子儀器的固定成本為元，每生產(chǎn)一臺(tái)儀器需增加投入元，已知總收益滿足函數(shù)，其中是儀器的月產(chǎn)量．(1)將利潤(rùn)表示為月產(chǎn)量的函數(shù)；(2)當(dāng)月產(chǎn)量為何值時(shí)，公司所獲利潤(rùn)最大？最大利潤(rùn)為多少元？（總收益＝總成本＋利潤(rùn)）18．（2023·青海玉樹·高一期末）（1）若不等式的解集為，求不等式的解集；（2）已知正數(shù)a，b滿足，求的最大值．19．（2023·黑龍江·哈