數(shù)學(xué)（理）：課時跟蹤檢測（十二） 函數(shù)模型及其應(yīng)用 作業(yè)

PAGE課時跟蹤檢測(十二)函數(shù)模型及其應(yīng)用1．某品牌電視新品投放市場后第一個月銷售100臺，第二個月銷售200臺，第三個月銷售400臺，第四個月銷售790臺，則下列函數(shù)模型中能較好地反映銷售y(單位：臺)與投放市場的月數(shù)x之間關(guān)系的是()A．y＝100x B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x D．y＝100log2x＋100解析：選C根據(jù)函數(shù)模型的增長差異和題目中的數(shù)據(jù)可知，應(yīng)為指數(shù)型函數(shù)模型，代入數(shù)據(jù)驗證即可，故選C.2．某家具的標(biāo)價為132元，若降價以九折出售(即優(yōu)惠10%)，仍可獲利10%(相對于進(jìn)價)，則該家具的進(jìn)價是()A．118元 B．105元C．106元 D．108元解析：選D設(shè)進(jìn)價為a元，由題意知132×(1－10%)－a＝10%·a，解得a＝108.故選D.3．(2018·北京石景山聯(lián)考)小明在如圖1所示的跑道上勻速跑步，他從點A出發(fā)，沿箭頭方向經(jīng)過點B跑到點C，共用時30s，他的教練選擇了一個固定的位置觀察小明跑步的過程，設(shè)小明跑步的時間為t(s)，他與教練間的距離為y(m)，表示y與t的函數(shù)關(guān)系的圖象大致如圖2所示，則這個固定位置可能是圖1中的()A．點M B．點N C．點P D．點Q解析：選D假設(shè)這個位置在點M，則從A至B這段時間，y不隨時間的變化改變，與函數(shù)圖象不符，故A選項錯誤；假設(shè)這個位置在點N，則從A至C這段時間，A點與C點對應(yīng)y的大小應(yīng)該相同，與函數(shù)圖象不符，故B選項錯誤；假設(shè)這個位置在點P，則由函數(shù)圖象可得，從A到C的過程中，會有一個時刻，教練到小明的距離等于經(jīng)過30s時教練到小明的距離，而點P不符合這個條件，故C選項錯誤；經(jīng)判斷點Q符合函數(shù)圖象，故D選項正確，選D.4．(2019·洛陽模擬)某校為了規(guī)范教職工績效考核制度，現(xiàn)準(zhǔn)備擬定一函數(shù)用于根據(jù)當(dāng)月評價分?jǐn)?shù)x(正常情況下0≤x≤100，且教職工平均月評價分?jǐn)?shù)在50分左右，若有突出貢獻(xiàn)可以高于100分)計算當(dāng)月績效工資y(元)．要求績效工資不低于500元，不設(shè)上限，且讓大部分教職工績效工資在600元左右，另外績效工資越低或越高時，人數(shù)要越少．則下列函數(shù)最符合要求的是()A．y＝(x－50)2＋500 B．y＝10eq\f(x,25)＋500C．y＝eq\f(1,1000)(x－50)3＋625 D．y＝50[10＋lg(2x＋1)]解析：選C由題意知，擬定函數(shù)應(yīng)滿足：①是單調(diào)遞增函數(shù)，且增長速度先快后慢再快；②在x＝50左右增長速度較慢，最小值為500.A中，函數(shù)y＝(x－50)2＋500先減后增，不符合要求；B中，函數(shù)y＝10eq\f(x,25)＋500是指數(shù)型函數(shù)，增長速度是越來越快，不符合要求；D中，函數(shù)y＝50[10＋lg(2x＋1)]是對數(shù)型函數(shù)，增長速度是越來越慢，不符合要求；而C中，函數(shù)y＝eq\f(1,1000)(x－50)3＋625是由函數(shù)y＝x3經(jīng)過平移和伸縮變換得到的，符合要求．故選C.5．(2019·邯鄲名校聯(lián)考)某企業(yè)準(zhǔn)備投入適當(dāng)?shù)膹V告費對甲產(chǎn)品進(jìn)行促銷宣傳，在一年內(nèi)預(yù)計銷售量y(萬件)與廣告費x(萬元)之間的函數(shù)關(guān)系為y＝1＋eq\f(3x,x＋2)(x≥0)．已知生產(chǎn)此產(chǎn)品的年固定投入為4萬元，每生產(chǎn)1萬件此產(chǎn)品仍需再投入30萬元，且能全部售完.若每件甲產(chǎn)品售價(元)定為“平均每件甲產(chǎn)品所占生產(chǎn)成本的150%”與“年平均每件甲產(chǎn)品所占廣告費的50%”之和，則當(dāng)廣告費為1萬元時，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為()A．30.5萬元 B．31.5萬元C．32.5萬元 D．33.5萬元解析：選B由題意，產(chǎn)品的生產(chǎn)成本為(30y＋4)萬元，銷售單價為eq\f(30y＋4,y)×150%＋eq\f(x,y)×50%，故年銷售收入為z＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(30y＋4,y)×150%＋\f(x,y)×50%))·y＝45y＋6＋eq\f(1,2)x.∴年利潤W＝z－(30y＋4)－x＝15y＋2－eq\f(x,2)＝17＋eq\f(45x,x＋2)－eq\f(x,2)(萬元)．∴當(dāng)廣告費為1萬元時，即x＝1，該企業(yè)甲產(chǎn)品的年利潤為17＋eq\f(45,1＋2)－eq\f(1,2)＝31.5(萬元)．故選B.6．?dāng)M定甲、乙兩地通話m分鐘的電話費(單位：元)由f(m)＝1.06(0.5[m]＋1)給出，其中m＞0，[m]是不超過m的最大整數(shù)(如[3]＝3，[3.7]＝3，[3.1]＝3)，則甲、乙兩地通話6.5分鐘的電話費為________元．解析：∵m＝6.5，∴[m]＝6，則f(m)＝1.06×(0.5×6＋1)＝4.24.答案：4.247．(2019·唐山模擬)某人計劃購買一輛A型轎車，售價為14.4萬元，購買后轎車每年的保險費、汽油費、車檢費、停車費等約需2.4萬元，同時汽車年折舊率約為10%(即這輛車每年減少它的價值的10%)，試問，大約使用________年后，用在該車上的費用(含折舊費)達(dá)到14.4萬元．解析：設(shè)使用x年后花費在該車上的費用達(dá)到14.4萬元，依題意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化簡得x－6×0.9x＝0.令f(x)＝x－6×0.9x，易得f(x)為單調(diào)遞增函數(shù)，又f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.0634＞0，所以函數(shù)f(x)在(3,4)上有一個零點．故大約使用4年后，用在該車上的費用達(dá)到14.4萬元．答案：48.某地區(qū)要建造一條防洪堤，其橫斷面為等腰梯形ABCD，腰與底邊夾角為60°(如圖)，考慮防洪堤堅固性及石塊用料等因素，設(shè)計其橫斷面面積為9eq\r(3)平方米，且高度不低于eq\r(3)米．記防洪堤橫斷面的腰長為x米，外周長(梯形的上底線段BC與兩腰長的和)為y米．要使防洪堤橫斷面的外周長不超過10.5米，則其腰長x的取值范圍為________．解析：根據(jù)題意知，9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(AD＋BC)h，其中AD＝BC＋2×eq\f(x,2)＝BC＋x，h＝eq\f(\r(3),2)x，所以9eq\r(3)＝eq\f(1,2)(2BC＋x)eq\f(\r(3),2)x，得BC＝eq\f(18,x)－eq\f(x,2)，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(h＝\f(\r(3),2)x≥\r(3)，,BC＝\f(18,x)－\f(x,2)＞0，))得2≤x＜6.所以y＝BC＋2x＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)(2≤x＜6)，由y＝eq\f(18,x)＋eq\f(3x,2)≤10.5，解得3≤x≤4.因為[3,4]?[2,6)，所以腰長x的取值范圍為[3,4]．答案：[3,4]9.如圖，已知邊長為8米的正方形鋼板有一個角被銹蝕，其中AE＝4米，CD＝6米．為了合理利用這塊鋼板，在五邊形ABCDE內(nèi)截取一個矩形BNPM，使點P(1)設(shè)MP＝x米，PN＝y(tǒng)米，將y表示成x的函數(shù)，并求該函數(shù)的解析式及定義域；(2)求矩形BNPM面積的最大值．解：(1)如圖，作PQ⊥AF于Q，所以PQ＝8－y，EQ＝x－4，在△EDF中，eq\f(EQ,PQ)＝eq\f(EF,FD)，所以eq\f(x－4,8－y)＝eq\f(4,2)，所以y＝－eq\f(1,2)x＋10，定義域為{x|4≤x≤8}．(2)設(shè)矩形BNPM的面積為S，則S(x)＝xy＝xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10－\f(x,2)))＝－eq\f(1,2)(x－10)2＋50，所以S(x)是關(guān)于x的二次函數(shù)，且其圖象開口向下，對稱軸為直線x＝10，所以當(dāng)x∈[4,8]時，S(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x＝8時，矩形BNPM的面積取得最大值，最大值為48平方米10．近年來，某企業(yè)平均每年繳納的電費約24萬元，為了節(jié)能減排，決定安裝一個可使用15年的太陽能供電設(shè)備接入本企業(yè)電網(wǎng)，安裝這種供電設(shè)備的費用(單位：萬元)與太陽能電池板的面積(單位：平方米)成正比，比例系數(shù)約為0.5.為了保證正常用電，安裝后采用太陽能和電能互補供電的模式．假設(shè)在此模式下，安裝后該企業(yè)平均每年繳納的電費C(單位：萬元)與安裝的這種太陽能電池板的面積x(單位：平方米)之間的函數(shù)關(guān)系是C(x)＝eq\f(k,20x＋100)(x≥0，k為常數(shù)).記y為該企業(yè)安裝這種太陽能供電設(shè)備的費用與該企業(yè)今后15年共將繳納的電費之和．(1)試解釋C(0)的實際意義，并建立y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；(2)當(dāng)x為多少時，y取得最小值？最小值是多少萬元？解：(1)C(0)的實際意義是安裝這種太陽能電池板的面積為0時該企業(yè)平均每年繳納的電費，即未安裝太陽能供電設(shè)備時，該企業(yè)平均每年繳納的電費．由C(0)＝eq\f(k,100)＝24，得k＝2400，所以y＝15×eq\f(2400,20x＋100)＋0.5x＝eq\f(1800,x＋5)＋0.5x(x≥0)．(2)因為y＝eq\f(1800,x＋5)＋0.5(x＋5)－2.5≥2eq\r(1800×0.5)－2.5＝57.5，當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1800,x＋5)＝0.5(x＋5)，即x＝55時取等號，所以當(dāng)x為55時，y取得最小值，最小值為57.5萬元．11．[選做題]某快遞公司在某市的貨物轉(zhuǎn)運中心，擬引進(jìn)智能機器人分揀系統(tǒng)，以提高分揀效率和降低物流成本，已知購買x臺機器人的總成本p(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,600)x2＋x＋150))萬元．(1)若使每臺機器人的平均成本最低，問應(yīng)買多少臺？(2)現(xiàn)按(1)中的數(shù)量購買機器人，需要安排m人將郵件放在機器人上，機器人將郵件送達(dá)指定落袋格口完成分揀，經(jīng)實驗知，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m60－m，1≤m≤30，,480，m＞30))(單位：件)，已知傳統(tǒng)人工分揀每人每日的平均分揀量為1200件，問引進(jìn)機器人后，日平均分揀量達(dá)最大值時，用人數(shù)量比引進(jìn)機器人前的用人數(shù)量最多可減少百分之幾？解：(1)由總成本p(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,600)x2＋x＋150))萬元，可得每臺機器人的平均成本y＝eq\f(px,x)＝eq\f(\f(1,600)x2＋x＋150,x)＝eq\f(1,600)x＋eq\f(150,x)＋1≥2eq\r(\f(1,600)x·\f(150,x))＋1＝2.當(dāng)且僅當(dāng)eq\f(1,600)x＝eq\f(150,x)，即x＝300時，上式等號成立．∴若使每臺機器人的平均成本最低，應(yīng)買300臺．(2)引進(jìn)機器人后，每臺機器人的日平均分揀量q(m)＝eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(8,15)m60－m，1≤m≤30，,480，m＞30，))