適用于新教材2023版高中數(shù)學(xué)第六章平面向量及其應(yīng)用6.3平面向量基本定理及坐標(biāo)表示6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示教師用書(shū)新人教A版必修第二冊(cè)

PAGE6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示1.數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示已知a=(x,y),則λa=.

2.平面向量共線的充要條件設(shè)a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠0,(1)a,b共線的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ,使a=b.

(2)若用坐標(biāo)表示,向量a,b(b≠0)共線的充要條件是.

3.兩個(gè)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)共線的坐標(biāo)條件能表示成x1x2=4.中點(diǎn)坐標(biāo)公式已知點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),若P是線段P1P2的中點(diǎn),則點(diǎn)P的坐標(biāo)為.

一、單選題1.設(shè)向量a=-1,3,b=-5,4,則3aA.-8,5 C.2,13 2.(教材改編題)已知向量a=(2,x),b=(1,x-1),若(2a-b)∥a,則x= ()A.-2 B.2C.12 D.-3.設(shè)點(diǎn)A(2,0),B(4,2),若點(diǎn)P在直線AB上,且||=2||,則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 ()A.(3,1)B.(1,-1)C.(3,1)或(1,-1)D.(3,1)或(1,1)4.在?ABCD中,=(3,7),=(-2,3),對(duì)稱(chēng)中心為O,則等于 ()A.-12C.12,-二、多選題5.已知A(2,1),B(0,2),C(-2,1),O(0,0),則下列結(jié)論正確的是 ()A.=-B.+=C.+12=D.=-26.已知向量a=(x,3),b=(-3,x),則下列敘述中不正確的是 ()A.存在實(shí)數(shù)x,使a∥bB.存在實(shí)數(shù)x,使(a+b)∥aC.存在實(shí)數(shù)x,m,使(ma+b)∥aD.存在實(shí)數(shù)x,m,使(ma+b)∥b三、填空題7.已知向量a=2,-1,b=-23,13,8.已知e1,e2不共線,若向量ke1+2e2與向量e1+3ke2反向共線,則實(shí)數(shù)k的值為.

四、解答題9.(教材改編題)已知向量a=(1,3),b=(-2,1).向量m=a-2b,n=12a+b(1)求向量m,n的坐標(biāo);(2)判斷向量m與n是否平行,并說(shuō)明理由.10.已知O為坐標(biāo)原點(diǎn),=(1,1),=(3,-1),=(a,b).(1)若A,B,C三點(diǎn)共線,求a,b的關(guān)系.(2)若=2,求點(diǎn)C的坐標(biāo).一、選擇題1.設(shè)向量a=-1,2,b=1,-1,c=3,-2,用{a,b}作基底可將c表示為c=pa+qb,則實(shí)數(shù)A.p=4,q=1 B.p=1,q=4C.p=0,q=4 D.p=1,q=-42.已知A(-1,-1),B(1,3),C(1,5),D(2,7),則下列說(shuō)法正確的是 ()A.A,B,C三點(diǎn)共線 B.A,C,D三點(diǎn)共線C.AB∥CD D.AC∥BD二、填空題3.已知平面向量a=(m,-4),b=(-1,m+3),若存在實(shí)數(shù)λ<0,使得a=λb,則實(shí)數(shù)m的值為.

4.已知向量=(3,-4),=(6,-3),=(5-m,-3-m),若點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則實(shí)數(shù)m應(yīng)滿(mǎn)足的條件為.

三、解答題5.已知A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(-1,0),(3,-1),(1,2),并且=13,=13,求證:∥.6.如圖所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3),=14,=12,AD與BC相交于點(diǎn)M,求點(diǎn)M的坐標(biāo).6.3.4平面向量數(shù)乘運(yùn)算的坐標(biāo)表示必備知識(shí)·落實(shí)1.(λx,λy)2.(1)λ(2)x1y2-x2y1=03.不一定,x2,y2有一者為零時(shí),比例式?jīng)]有意義,只有x2y2≠0時(shí),才能使用.4.x知能素養(yǎng)·進(jìn)階【基礎(chǔ)鞏固組】1.B因?yàn)橄蛄縜=(-1,3),b=(-5,4),所以3a-b=2,2.B根據(jù)題意,向量a=(2,x),b=(1,x-1),則2a-b=(3,x+1),若(2a-b)∥a,則有2(x+1)=3x,解得x=2.3.C因?yàn)锳(2,0),B(4,2),所以=(2,2),因?yàn)辄c(diǎn)P在直線AB上,且||=2||,所以=2或=-2,所以=(1,1)或(-1,-1),所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,1)或(1,-1).4.B=-12=-12(+)=-12(1,10)=-5.AD因?yàn)?(-2,1),=(2,-1),所以=-,所以A正確;因?yàn)?=≠,所以B錯(cuò)誤;因?yàn)?12=1,32≠,所以C錯(cuò)誤因?yàn)?(-4,0),-2=(0,2)-2(2,1)=(-4,0),所以D正確.6.ABC由a∥b得x2=-9,無(wú)實(shí)數(shù)解,故A中敘述錯(cuò)誤,符合題意;a+b=(x-3,3+x),由(a+b)∥a得3(x-3)-x(3+x)=0,即x2=-9,無(wú)實(shí)數(shù)解,故B中敘述錯(cuò)誤,符合題意;ma+b=(mx-3,3m+x),由(ma+b)∥a得(3m+x)x-3(mx-3)=0,即x2=-9,無(wú)實(shí)數(shù)解,故C敘述錯(cuò)誤,符合題意;由(ma+b)∥b得-3(3m+x)-x(mx-3)=0,即m(x2+9)=0,所以m=0,x∈R,故D中敘述正確,不符合題意.7.【解析】因?yàn)橄蛄縜=(2,-1),b=-23,13,所以a=-3b,因此答案:平行8.【解析】因?yàn)閑1,e2不共線,所以e1+3ke2≠0.又因?yàn)橄蛄縦e1+2e2與向量e1+3ke2反向共線,所以存在實(shí)數(shù)λ,且λ<0,使ke1+2e2=λ(e1+3ke2)=λe1+3kλe2,即k解得k=63(舍去)或k=-6答案:-69.【解析】(1)由a=(1,3),b=(-2,1),得m=a-2b=(1,3)-(-4,2)=(5,1),n=12a+b=12,(2)m=(5,1),n=-3因?yàn)?×52-1×-所以向量m與n不平行.10.【解析】(1)因?yàn)橐阎?(1,1),=(3,-1),=(a,b),若A,B,C三點(diǎn)共線,則∥,即=λ·,即(a-1,b-1)=λ(2,-2),所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.(2)若=2,(a-1,b-1)=2(2,-2),所以a=5,b=-3,所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為(5,-3).【素養(yǎng)提升組】1.B由題得(3,-2)=p(-1,2)+q(1,-1)=(q-p,2p-q),所以q-p=3,2p2.C因?yàn)?(1-(-1),3-(-1))=(2,4),=(1-(-1),5-(-1))=(2,6),=(2-1,7-5)=(1,2),=(2-1,7-3)=(1,4).A不正確,因?yàn)?×6-4×2=4≠0,所以與不共線,所以A,B,C三點(diǎn)不共線.B不正確,因?yàn)?×2-6×1=-2≠0,所以與不共線,所以A,C,D三點(diǎn)不共線.C正確,因?yàn)?×2-4×1=0,所以∥.又因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)不共線,所以AB與CD不重合,所以AB∥CD.D不正確,因?yàn)?×4-6×1=2≠0,所以與不共線,所以AC與BD不平行.3.【解析】因?yàn)閍=λb,所以(m,-4)=λ(-1,m+3),則m解得λ=4或λ=-1,又λ<0,所以λ=-1,所以m=1.答案:14.【解析】=-=(6,-3)-(3,-4)=(3,1),=-=(5-m,-3-m)-(3,-4)=(2-m,1-m),由于點(diǎn)A,B,C能構(gòu)成三角形,則與不共線,則3(1-m)-(2-m)≠0,解得m≠12.答案:m≠15.【證明】設(shè)E(x1,y1),F(x2,y2),依題意有=(2,2),=(-2,3),=(4,-1).因?yàn)?13,所以=23,2因?yàn)?13,所以=-23,因?yàn)?(x1+1,y1)=23,所以x1=-13,y1=2所以E-1因?yàn)?(x2-3,y2+1)=-23所以x2=73,y2所以F73所以=83,-又因?yàn)?×-23-所以∥.