吉林省2022年中考數(shù)學(xué)試題真題（含答案+解析）

吉林省2022年中考數(shù)學(xué)真題

一、單選題

L（2022?吉林）吉林松花石有“石中之寶”的美譽(yù)，用它制作的硯臺(tái)叫松花硯，能與中國(guó)四大名硯媲美.下

圖是一款松花硯的示意圖，其俯視圖為（）

【知識(shí)點(diǎn)】簡(jiǎn)單幾何體的三視圖

【解析】【解答】解：其俯視圖是由兩個(gè)同心圓（不含圓心）組成，即為

故答案為：C.

【分析】根據(jù)俯視圖的定義可得。

2.（2022?吉林）要使算式（-1）口3的運(yùn)算結(jié)果最大，則“□”內(nèi)應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)為（）

A.+B.-C.xD.4-

【答案】A

【知識(shí)點(diǎn)】運(yùn)用有理數(shù)的運(yùn)算解決簡(jiǎn)單問題

【解析】【解答】解：（-1）+3=2,

（-1）-3=-4,

（—1）x3=-3,

（-1）+3=一寺，

因?yàn)?4<—3<—<2,

所以要使運(yùn)算結(jié)果最大，應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)為+,

故答案為：A.

【分析】給“口”內(nèi)應(yīng)填入的運(yùn)算符號(hào)求出運(yùn)算結(jié)果，再比較大小即可。

3.（2022?吉林）y與2的差不大于0,用不等式表示為（）

A.y-2>0B.y-2<0C.y-2>0D.y—2<0

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】列一元一次不等式

【解析】【解答】解：由題意，用不等式表示為y—2W0,

故答案為：D.

【分析】根據(jù)題意列出不等式即可。

4.（2022?吉林）實(shí)數(shù)a,b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則a,b的大小關(guān)系為（）

----------1----------1---------------------1---------

a0b

A.a>bB.a<bC.a=bD.無(wú)法確定

【答案】B

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)大小的比較

【解析】【解答】由圖知，數(shù)軸上數(shù)b表示的點(diǎn)在數(shù)a表示的點(diǎn)的右邊，則b>a

故答案為：B.

【分析】根據(jù)數(shù)軸上右邊的數(shù)比左邊的數(shù)大可得答案。

5.（2022?吉林）如圖，如果/1=42,那么4B||CD,其依據(jù)可以簡(jiǎn)單說成（）

A.兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等B.內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行

C.兩直線平行，同位角相等D.同位角相等，兩直線平行

【答案】D

【知識(shí)點(diǎn)】平行線的判定

【解析】【解答】解：因?yàn)?1與42是一對(duì)相等的同位角，得出結(jié)論是48||C。，

所以其依據(jù)可以簡(jiǎn)單說成同位角相等，兩直線平行，

故答案為：D.

【分析】根據(jù)“同位角相等，兩直線平行”可得答案。

6.（2022?吉林）如圖，在△ABC中，乙4cB=90。，AB=5,BC=4.以點(diǎn)4為圓心，r為半徑作圓,

當(dāng)點(diǎn)C在。/內(nèi)且點(diǎn)B在外時(shí)，r的值可能是（）

【答案】C

【知識(shí)點(diǎn)】勾股定理；點(diǎn)與圓的位置關(guān)系

【解析】【解答】解：?.?在△ABC中，乙4cB=90。，AB=5,BC=4,

AC=7AB2-BC2=3-

???點(diǎn)C在。4內(nèi)且點(diǎn)B在。4外，

:.AC<r<AB,即3<r<5,

觀察四個(gè)選項(xiàng)可知，只有選項(xiàng)C符合，

故答案為：C.

【分析】根據(jù)勾股定理求出AC,再由點(diǎn)C在04內(nèi)且點(diǎn)B在。A外求解。

二、填空題

7.（2020七下?西華期末）實(shí)數(shù)-&的相反數(shù)是.

【答案】V2

【知識(shí)點(diǎn)】實(shí)數(shù)的相反數(shù)

【解析】【解答】解：根據(jù)相反數(shù)的定義，

可得-四的相反數(shù)是V2.

故答案為：V2.

【分析】根據(jù)只有符號(hào)不同的兩個(gè)數(shù)為互為相反數(shù)進(jìn)行解答.

8.（2021八上?樂山期末）計(jì)算：a-a2=.

【答案】a3

【知識(shí)點(diǎn)】同底數(shù)幕的乘法

【解析】【解答】解：a-a2=a1+2=a3.

故答案為：a3.

【分析】根據(jù)同底數(shù)幕的乘法性質(zhì)，底數(shù)不變，指數(shù)相加，可直接結(jié)算.

9.（2022?吉林）籃球隊(duì)要購(gòu)買10個(gè)籃球，每個(gè)籃球瓶元，一共需要元.（用含小的代數(shù)式表

示）

【答案】10m

【知識(shí)點(diǎn)】用字母表示數(shù)

【解析】【解答】解：由題意得：一共需要的費(fèi)用為10m元，

故答案為：l（）m.

【分析】根據(jù)題意寫出代數(shù)式即可。

10.（2022?吉林）《九章算術(shù)》中記載了一道數(shù)學(xué)問題，其譯文為：有大小兩種盛酒的桶，已知5個(gè)大

桶加上1個(gè)小桶可以盛酒3斛（斛，音hti,是古代一種容量單位），1個(gè)大桶加上5個(gè)小桶可以盛酒2

斛.1個(gè)大桶、1個(gè)小桶分別可以盛酒多少斛？設(shè)1個(gè)大桶可以盛酒x斛、1個(gè)小桶可以盛酒y斛.根據(jù)

題意，可列方程組為.

【答案”竄二

【知識(shí)點(diǎn)】二元一次方程組的應(yīng)用-古代數(shù)學(xué)問題

【解析】【解答】由題意得：二

故答案為:Ky：2-

【分析】根據(jù)題意列出方程組即可。

11.（2022?吉林）第二十四屆北京冬奧會(huì)入場(chǎng)式引導(dǎo)牌上的圖案融入了中國(guó)結(jié)和雪花兩種元素.如圖，

這個(gè)圖案繞著它的中心旋轉(zhuǎn)角a（0。<a<360。）后能夠與它本身重合，則角a可以為

度.（寫出一個(gè)即可）

【答案】60或120或180或240或300（寫出一個(gè)即可）

【知識(shí)點(diǎn)】旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)

【解析】【解答】解：這個(gè)圖案對(duì)應(yīng)著如圖所示的一個(gè)正六邊形，它的中心角41=等=60。,

6

?1-0°<a<360°,

???角a可以為60?；?20?；?80。或240?；?00。，

故答案為：60或120或180或240或300（寫出一個(gè)即可）.

【分析】先求出正六邊形的中心角，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得答案。

12.（2022?吉林）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點(diǎn)力的坐標(biāo)為（-2,0）,點(diǎn)B在y軸正半軸上，以點(diǎn)B為

圓心，長(zhǎng)為半徑作弧，交》軸正半軸于點(diǎn)C,則點(diǎn)C的坐標(biāo)為.

【答案】（2,0）

【知識(shí)點(diǎn)】等腰三角形的判定與性質(zhì)；垂徑定理

【解析】【解答】解：如圖，連接BC,

??,點(diǎn)4的坐標(biāo)為（一2,0）,

:.OA=2,

由同圓半徑相等得：BA=BC,

是等腰三角形，

vBO1AC,

???OC==2（等腰三角形的三線合一）,

又???點(diǎn)C位于x軸正半軸，

???點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）,

故答案為：（2,0）.

【分析】（1）連接BC,先求出OA,再證A/IBC是等腰三角形，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得OC=04=2,

由點(diǎn)C位于％軸正半軸可得點(diǎn)C的坐標(biāo)為（2,0）o

13.（2022?吉林）如圖，在矩形中，對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)。，點(diǎn)E是邊40的中點(diǎn)，點(diǎn)F在對(duì)角

線47上，kAF=^AC,連接EF.若AC=10,貝1JEF=________.

4

【知識(shí)點(diǎn)】矩形的性質(zhì)；三角形的中位線定理

【解析】【解答】：四邊形ABCD是矩形，

.?.BD=AC=1（）,OA=1AC,OD=1BD=5,

'."AF=^AC,

4

.-.AF=^OA,即點(diǎn)F是OA的中點(diǎn).

;點(diǎn)E是邊40的中點(diǎn)，

.^.EF是△AOD的中位線，

.*.EF=JoD=|.

故答案為：f.

【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)可得BD=AC=10,OA=|AC,0D=|BD=5,根據(jù)三角形中位線定理可得EF=

=|。

14.（2022?吉林）如圖，在半徑為1的。。上順次取點(diǎn)4B,C,D,E,連接力B,AE,OB,OC,OD,

OE.若NB4E=65。，ZCOD=70°,則鴕與北的長(zhǎng)度之和為.（結(jié)果保留兀）.

【答案】聶

【知識(shí)點(diǎn)】圓周角定理；弧長(zhǎng)的計(jì)算

【解析】【解答】解：???血4=65。,

:.乙BOE=2/.BAE=130°

又00的半徑為1,

即的長(zhǎng)度=13需1=等,

又（COD=70°,

，況的長(zhǎng)度=4祟=藉，

lou1O

...配1與DE的長(zhǎng)度之和嗡?！?兀=白兀=靜兀,

故答案為：ITT.

【分析】由圓周角定理可得ZBOE=2ZB4E=130%進(jìn)而求出在的長(zhǎng)度和丘的長(zhǎng)度，再根據(jù)此與北

的長(zhǎng)度之和=酣的長(zhǎng)度-5C的長(zhǎng)度可得答案。

三、解答題

15.（2022?吉林）如圖，AB=AC,/-BAD=ACAD.求證：BD=CD.

D

BC

=AC

【答案】證明：在和△4CD中，/.BAD=/.CAD,

AD=AD

2ABD三△4CD(S4S),

???BD=CD.

【知識(shí)點(diǎn)】三角形全等及其性質(zhì)

【解析】【分析】證明XABD三△4CD(S4S)即可。

16.(2022?吉林)下面是一道例題及其解答過程的一部分，其中4是關(guān)于m的多項(xiàng)式.請(qǐng)寫出多項(xiàng)式4

并將該例題的解答過程補(bǔ)充完整.

例先去括號(hào)，再合并同類項(xiàng)：m(4)-6(m+l).

解：m(4)—6(m+1)

=m2+6m—6m—6

—.

【答案】m2-6.

【知識(shí)點(diǎn)】整式的混合運(yùn)算

【解析】【解答】解：觀察第一步可知，A=(m2+6m)m,

解得A=m+6,

將該例題的解答過程補(bǔ)充完整如下：m(m+6)-6(m+1)

=m2+6m—6m—6

=m2-6,

【分析】根據(jù)題意求出4=m+6,再將A代入計(jì)算即可。

17.(2022?吉林)長(zhǎng)白山國(guó)家級(jí)自然保護(hù)區(qū)、松花湖風(fēng)景區(qū)和凈月潭國(guó)家森林公園是吉林省著名的三

個(gè)景區(qū).甲、乙兩人用抽卡片的方式?jīng)Q定一個(gè)自己要去的景區(qū).他們準(zhǔn)備了3張不透明的卡片，正面

分別寫上長(zhǎng)白山、松花湖、凈月潭.卡片除正面景區(qū)名稱不同外其余均相同，將3張卡片正面向下洗

勻，甲先從中隨機(jī)抽取一張卡片，記下景區(qū)名稱后正面向下放回，洗勻后乙再?gòu)闹须S機(jī)抽取一張卡片，

請(qǐng)用畫樹狀圖或列表的方法，求兩人都決定去長(zhǎng)白山的概率.

【答案】解：長(zhǎng)白山、松花湖、凈月潭依次用字母A,B,C表示，

畫樹狀圖如下：

TANBZNC

ABCABCABC

共有9種等可能的結(jié)果，其中甲、乙兩人都決定去長(zhǎng)白山的結(jié)果有1種,

，甲、乙兩人都決定去長(zhǎng)白山的概率為本

【知識(shí)點(diǎn)】列表法與樹狀圖法

【解析】【分析】利用樹狀圖即可求出兩人都決定去長(zhǎng)白山的概率。

18.（2022?吉林）圖①，圖②均是4X4的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn).其中點(diǎn)4,B,

（1）在圖①中，找一格點(diǎn)。，使以點(diǎn)4B,C,。為頂點(diǎn)的四邊形是軸對(duì)稱圖形;

（2）解：先將點(diǎn)B向左平移2格，再向上平移1個(gè)可得到點(diǎn)4,

則將點(diǎn)C按照同樣的平移方式可得到點(diǎn)、E,

如圖②，平行四邊形A8CE是中心對(duì)稱圖形.

【知識(shí)點(diǎn)】軸對(duì)稱的性質(zhì)；中心對(duì)稱及中心對(duì)稱圖形

【解析】【分析】（1）作點(diǎn)B關(guān)于直線AC的對(duì)稱點(diǎn)D,四邊形ABC。是軸對(duì)稱圖形；

（2）將點(diǎn)B向左平移2格，再向上平移1個(gè)可得到點(diǎn)4將點(diǎn)C按照同樣的平移方式可得到點(diǎn)E,則

平行四邊形4BCE是中心對(duì)稱圖形。

19.（2022?吉林）劉芳和李婷進(jìn)行跳繩比賽.已知?jiǎng)⒎济糠昼姳壤铈枚嗵?0個(gè)，劉芳跳135個(gè)所用的

時(shí)間與李婷跳120個(gè)所用的時(shí)間相等.求李婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù).

【答案】解：設(shè)李婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為x個(gè)，則劉芳每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為Q+20）個(gè)，

由題意得：嚼=磔，

x+20x

解得％=160,

經(jīng)檢驗(yàn)，久=160是所列分式方程的解，且符合題意，

答：李婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為160個(gè).

【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】設(shè)李婷每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為久個(gè)，則劉芳每分鐘跳繩的個(gè)數(shù)為20）個(gè)，根據(jù)題

意列出分式方程解之即可。

20.（2022?吉林）密閉容器內(nèi)有一定質(zhì)量的氣體，當(dāng)容器的體積V（單位：n?）變化時(shí)，氣體的密度p

（單位：kg/m3）隨之變化.已知密度p與體積U是反比例函數(shù)關(guān)系，它的圖像如圖所示.

（1）求密度p關(guān)于體積V的函數(shù)解析式；

（2）當(dāng)V=10m3時(shí)，求該氣體的密度p.

【答案】（1）解：設(shè)密度p關(guān)于體積U的函數(shù)解析式為p=，（1/>0,k力0）,

把點(diǎn)A的坐標(biāo)代入上式中得：*=2.5，

解得：k=10,

in

?“=學(xué)（，>0）.

（2）解:當(dāng)2=10m3時(shí),p==1（kg/m3）.

即此時(shí)該氣體的密度為lkg/m3.

【知識(shí)點(diǎn)】反比例函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用

【解析】【分析】（1）利用待定系數(shù)法求出密度p關(guān)于體積U的函數(shù)解析式;

（2）將1/=10m3代入函數(shù)解析式即可求出該氣體的密度p。

2L（2022,吉林）動(dòng)感單車是一種新型的運(yùn)動(dòng)器械.圖①是一輛動(dòng)感單車的實(shí)物圖，圖②是其側(cè)面示

意圖.△BCD為主車架，AB為調(diào)節(jié)管，點(diǎn)A,B,C在同一直線上.已知BC長(zhǎng)為70cm,NBCD的

度數(shù)為58。.當(dāng)AB長(zhǎng)度調(diào)至34cm時(shí)，求點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度（結(jié)果精確到1cm）.（參考數(shù)

據(jù)：sin58°=0.85,cos58°=0.53,tan58°=1.60)

【答案】解：在RtZkACE中，ZAEC=90°,ZACE=58°,AC=AB+BC=34+70=104(cm),

???sinNACE噬，即sin58。瑞,

.\AE=104x0.85=88.4~88(cm),

???點(diǎn)A到CD的距離AE的長(zhǎng)度約為88cm.

【知識(shí)點(diǎn)】解直角三角形的應(yīng)用

【解析】【分析】在RSACE中，先求出AC,再根據(jù)sinNACE=縹求出AE即可。

/1C

22.（2022?吉林）為了解全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率的情況，張明查閱相關(guān)資料，整理數(shù)據(jù)并繪制統(tǒng)計(jì)圖

如下:

2017-2021年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率城化率

城鎮(zhèn)化率/%”

64.72

65.00—

64.00—

62.71

63.00—

62.00—

61.00—^24

60.00—

59.00——

20172018201920202021

（以上數(shù)據(jù)來(lái)源于《中華人民共和國(guó)2021年國(guó)民經(jīng)濟(jì)和社會(huì)發(fā)展統(tǒng)計(jì)公報(bào)》）

注：城鎮(zhèn)化率=城鎮(zhèn)吊＞人"x100%.例如，城鎮(zhèn)常住人口60.12萬(wàn)人，總?cè)丝?00萬(wàn)人，則總

人口城鎮(zhèn)化率為60.12%.

回答下列問題:

(1)2017-2021年年末，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率的中位數(shù)是%；

(2)2021年年末全國(guó)人口141260萬(wàn)人，2021年年末全國(guó)城鎮(zhèn)常住人口為萬(wàn)

人；(只填算式，不計(jì)算結(jié)果)

(3)下列推斷較為合理的是(填序號(hào)).

①2017-2021年年末，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計(jì)2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率

高于64.72%.

②全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年年末增加

0.83%,全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，估計(jì)2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率低于64.72%.

【答案】(1)62.71

(2)141260x64.72%

⑶①

【知識(shí)點(diǎn)】折線統(tǒng)計(jì)圖；利用統(tǒng)計(jì)圖表分析實(shí)際問題；中位數(shù)

【解析K解答】(1)解：2017-2021年年末，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率按從小到大進(jìn)行排序?yàn)?0.24%,61.5%,

62.71%,63.89%,64.72%,則排在中間位置的數(shù)即為中位數(shù)，

所以中位數(shù)為62.71%,

故答案為：62.71.

(2)解：2021年年末全國(guó)城鎮(zhèn)常住人口為141260x64.72%萬(wàn)人，

故答案為：141260x64.72%.

(3)解：2017-2021年年末，全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率逐年上升，估計(jì)2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率

高于64.72%,則推斷①較為合理；

全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率2020年年末比2019年年末增加1.18%,2021年年末比2020年年末增加0.83%,

全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率增加幅度減小，可估計(jì)全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率2022年年末比2021年年末增加

幅度小于0.83%,但2022年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率會(huì)高于64.72%,則推斷②不合理；

故答案為：①.

【分析】(1)根據(jù)中位數(shù)定義可得答案；

(2)利用2021年年末全國(guó)人口數(shù)乘以2021年年末全國(guó)常住人口城鎮(zhèn)化率；

(3)根據(jù)題中條件逐項(xiàng)判斷即可。

23.(2022?吉林)李強(qiáng)用甲、乙兩種具有恒溫功能的熱水壺同時(shí)加熱相同質(zhì)量的水，甲壺比乙壺加熱

速度快.在一段時(shí)間內(nèi)，水溫y(℃)與加熱時(shí)間x(s)之間近似滿足一次函數(shù)關(guān)系，根據(jù)記錄的數(shù)據(jù)，

(2)求乙壺中水溫y關(guān)于加熱時(shí)間久的函數(shù)解析式；

(3)當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到80℃時(shí)，乙壺中水溫是℃.

【答案】(1)20

(2)解：因?yàn)榧讐乇纫覊丶訜崴俣瓤欤?/p>

所以乙壺對(duì)應(yīng)的函數(shù)圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,20),(160,80).

設(shè)乙壺中水溫y關(guān)于加熱時(shí)間X的函數(shù)解析式為y=kx+b(k*0),

將點(diǎn)(0,20),(160,80)代入得：｛16°Qg,80,

解得|k=8,

lb=20

則乙壺中水溫y關(guān)于加熱時(shí)間x的函數(shù)解析式為y=|x+20,

自變量x的取值范圍是0<x<160.

(3)65

【知識(shí)點(diǎn)】待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；兩一次函數(shù)圖象相交或平行問題

【解析】【解答】(1)解：由函數(shù)圖象可知，當(dāng)x=0時(shí)，y=20,

則加熱前水溫是20。。，

故答案為：20.

(3)解：設(shè)甲壺中水溫y關(guān)于加熱時(shí)間％的函數(shù)解析式為y=mx+n(m00),

將點(diǎn)(0,20),(80,60)代入得：,嗎)3:60,

解得［也另，

U=20

則甲壺中水溫y關(guān)于加熱時(shí)間》的函數(shù)解析式為y=|%+20,

當(dāng)y=80時(shí)，|x+20=80,解得％=120,

O0

將x=120代入y=汪+20得：y=|xl20+20=65.

即當(dāng)甲壺中水溫剛達(dá)到80。。時(shí)，乙壺中水溫是65。（7,

故答案為：65.

【分析】（1）由函數(shù)圖象可知，當(dāng)久=0時(shí)，y=20,可知加熱前水溫；

（2）利用待定系數(shù)法可求得乙壺中水溫y關(guān)于加熱時(shí)間》的函數(shù)解析式，再寫出自變量取值范圍；

（3）先利用待定系數(shù)法可求得甲壺中水溫y關(guān)于加熱時(shí)間》的函數(shù)解析式，再求得當(dāng)y=80時(shí)，%=

120,然后將久=120代入乙的函數(shù)解析式可得答案。

24.（2022?吉林）下面是王倩同學(xué)的作業(yè)及自主探究筆記，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并補(bǔ)充完整.

【作業(yè)】如圖①，直線A11勿AABC與的面積相等嗎？為什么？

圖①

解：相等.理由如下：

設(shè)A與，2之間的距離為^^S^ABC=^BC-h,SADBC=^BC-h.

,SAABC=S^DBJ

【探究】

（1）如圖②，當(dāng)點(diǎn)。在八，%之間時(shí)，設(shè)點(diǎn)4D到直線G的距離分別為九，h，則^￡=4.

QADBCfi

圖②

證明：,**S△.8c_____A_

▲

(2)如圖③，當(dāng)點(diǎn)。在11，12之間時(shí)，連接40并延長(zhǎng)交%于點(diǎn)M，則2^=鬻

DADBCDM

圖③

證明：過點(diǎn)/作4E_LBM,垂足為E,過點(diǎn)。作DF_LBM,垂足為F,則乙4EM=4/JFM=90。，

：.AE||_______A_.

I.△AEMA.

.AE_AM

,訴=兩.

c

由【探究】(1)可知?jiǎng)P跟=______

'△DBC

.S&ABC-4M

(3)如圖④，當(dāng)點(diǎn)。在％下方時(shí)，連接4。交于點(diǎn)E.若點(diǎn)A，E,D所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,

0,謙的值為一

S^ABC_A

S&DBCh'

(2)解：證明：過點(diǎn)4作4E1BM,垂足為E,過點(diǎn)。作DF1BM,垂足為F,則4AEM=乙DFM=90°,

圖③

???AE||DF.

???△AEMDFM.

AE_AM

A~DF=DM'

由【探究】(1)可知2=需，

3△DBCDP

.S4ABe_AM

S&DBCDM，

⑶I

【知識(shí)點(diǎn)】平行線之間的距離；三角形的面積；相似三角形的判定與性質(zhì)

【解析】【解答】⑶解：過點(diǎn)4作AM1BC于點(diǎn)M,過點(diǎn)。作DN1BC于點(diǎn)N,則乙4ME=乙DNE=90°,

???△AMEDNE,

AM_AE

兩=礪’

???點(diǎn)4E,。所對(duì)應(yīng)的刻度值分別為5,1.5,0,

AE=5-1.5=3.5,DE=1.5,

AM_3.5_7

"DN=1S=3,

V71I

又,:S^ABC=,4M?S〉DBC=]BC?DN,

.S"BCJM=7

S〉DBCDN3'

故答案為：

【分析】⑴由SLABC=-h,SSBC=即可證明;

(2)過點(diǎn)4作ZE1BM,垂足為E,過點(diǎn)。作。尸1BM,垂足為F,由AE||DF可得△AEMDFM,

瓢掰由【探究】⑴可知謙=瑞

(3)過點(diǎn)A作AM1BC千點(diǎn)、M,過點(diǎn)D作DNIBC于點(diǎn)N,由探究(1)(2)可得粉器=需=熊=g。

25.(2022?吉林)如圖，在△ABC中，/.ACB=90°,Z.A=30°,AB=6cm.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，以2cm/s

的速度沿邊向終點(diǎn)B勻速運(yùn)動(dòng).以P4為一邊作乙4PQ=120°,另一邊PQ與折線/C-CB相交于點(diǎn)Q,

以PQ為邊作菱形PQMN,點(diǎn)N在線段PB上.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x(s),菱形PQMN與△ABC重疊部分

圖形的面積為y(cm2).

(1)當(dāng)點(diǎn)Q在邊AC上時(shí)，PQ的長(zhǎng)為cm；(用含％的代數(shù)式表示)

(2)當(dāng)點(diǎn)M落在邊BC上時(shí)，求x的值；

(3)求y關(guān)于％的函數(shù)解析式，并寫出自變量x的取值范圍.

【答案】⑴2x

(2)解：當(dāng)M點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在AC上，如圖，

在（1）中已求得AP=PQ=2x,

:四邊形QPMN是菱形，

；.PQ=PN=MN=2x,PQ||MN,

VZAPQ=120°,

.,-ZQPB=60°,

'：PQ||MN,

/.ZMNB=ZQPB=60°,

?..在RtAABC中，ZC=90°,NA=30°,

/.ZB=60°,

MNB是等邊三角形，

，BN=MN,

/.AB=AP+PN+BN=2xx3=6x=6cm,

/.x=l(s)；

（3）解：當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到B點(diǎn)時(shí)，用時(shí)6+2=3（s）,

即x的取值范圍為：0W%W3,

當(dāng)M點(diǎn)剛好在BC上時(shí)，

在（2）中已求得此時(shí)x=l,

分情況討論，

即當(dāng)04W1時(shí)，此時(shí)菱形PQMN在△ABC的內(nèi)部，

???此時(shí)菱形PQMN與4ABC重疊的面積即是菱形PQMN的面積,

過Q點(diǎn)作QGLAB于G點(diǎn)，如圖，

VZAPQ=120°,

NQPN=60。，即菱形PQMN的內(nèi)角NQPN=NQMN=60。，

二QG=PQxsinZQPN=2xxsin60°=V3x,

...重疊的面積等于菱形PQMN的面積為，即為：y=PNxQG=2xxV3x=2>/3x2;

當(dāng)x>l,且Q點(diǎn)在線段AC上時(shí)，

過Q點(diǎn)作QG_LAB于G點(diǎn)，設(shè)QM交BC于F點(diǎn)，MN交BC于E點(diǎn)，過M點(diǎn)作NHLEF于H點(diǎn),

如圖，

:PQ||MN,

.?.ZMNB=ZQPN=60,

VZB=60°,

/.△ENB是等邊三角形,

同理可證明△MEF是等邊三角形

；.BN=NE,ZMEF=60°,ME=EF,

YAP=PQ=PN=MN=2x,AB=6,

ABN=6-AN=6-4x,

???ME=MN-NE=2x-BN=6x-6,

VMH±EF,

AMH=MExsinZMEH=(6x-6)xsin60°=(3x-3)8，

???△MEF的面積為：S2MEF=JxEFxMH=1x(6%-6)x(3%-3)V3=973(%一I)2,

QG=PQxsinZQPN=2xxsin60°=V3x,

???菱形PQMN的面積為PNxQG=2xx^3x=2V3x2,

J重疊部分的面積為y=S菱形PQMN-SRMEF=2V3x2-9A/3(X-l)2=-7V3x2+18V3x-9A/3,

當(dāng)Q點(diǎn)與C點(diǎn)重合時(shí)，可知此時(shí)N點(diǎn)與B點(diǎn)重合，如圖，

VZCPB=ZCBA=60°,

/.△PBC是等邊三角形，

APC=PB,

VAP=PQ=2x,

/.AP=PB=2x,

.'AB=AP+PB=4x=6,

則x—,

即此時(shí)重合部分的面積為：、=-7限2+180%一9k，1〈％工不

當(dāng),<x<3時(shí)，此時(shí)Q點(diǎn)在線段BC上，止匕時(shí)N點(diǎn)始終與B點(diǎn)重合，過Q點(diǎn)作QG1AB于G點(diǎn)，如

圖，

VAP=2x,

，PB=AB-AP=6-2x,

?.?/QPB=NABC=60。，

/.△PQB是等邊三角形，

/.PQ=PB,同時(shí)印證菱形PQMN的頂點(diǎn)N始終與B點(diǎn)重合，

QG=PQxsinZQPN=(6-2x)xsin60°=V3(3-x),

:,SAPBQ=2xPBxQG=2x(6—2%)xV3(3—x)=V3%2—6V3x+9V3,

2

，此時(shí)重疊部分的面積y=S〉PBQ=V3x-673%+9通,

2A/3X20<x<1

綜上所述：y=<一7遮％2+18V3X-9V31<x<|e

V3x2-6A/3X+9V33<x<3

lz

【知識(shí)點(diǎn)】三角形的面積；等邊三角形的判定與性質(zhì)；菱形的性質(zhì)

【解析】【解答】(1)當(dāng)Q點(diǎn)在AC上時(shí)，

VZA=30°,ZAPQ=120°,

/.ZAQP=30°,

.?.NA=NAQP,

；.AP=PQ,

???運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm,運(yùn)動(dòng)時(shí)間為x秒，

；.AP=2x,

；.PQ=2x；

【分析】(1)根據(jù)已知條件求出/AQP=30。，ZA=ZAQP,AP=PQ,根據(jù)運(yùn)動(dòng)速度為每秒2cm,運(yùn)

動(dòng)時(shí)間為x秒，可得AP=2x,PQ=2x；

(2)當(dāng)M點(diǎn)在BC上，Q點(diǎn)在AC上，根據(jù)菱形的性質(zhì)可證ANINB是等邊三角形，則

AB=AP+PN+BN=2xx3=6x=6cm,解之即可；

⑶分類討論OVxWl,l<x<|，94W3并作圖求解即可。

26.(2022?吉林)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=/+bx+c(b,C是常數(shù))經(jīng)過點(diǎn)4(1,0),

點(diǎn)8(0,3).點(diǎn)P在此拋物線上，其橫坐標(biāo)為?n.

(1)求此拋物線的解析式；

(2)當(dāng)點(diǎn)P在％軸上方時(shí)，結(jié)合圖象，直接寫出m的取值范圍；

(3)若此拋物線在點(diǎn)P左側(cè)部分(包括點(diǎn)P)的最低點(diǎn)的縱坐標(biāo)為2-m.

①求M的值；

②以PA為邊作等腰直角三角形P4Q,當(dāng)點(diǎn)Q在此拋物線的對(duì)稱軸上時(shí),，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo).

【答案】(1)解：將點(diǎn)4(1,0),B(0,3)代入y=一+"+::得：

IC—J

解得已；?，

則此拋物線的解析式為y=X2-4X+3.

(2)解：畫出函數(shù)圖象如下：

則當(dāng)點(diǎn)P在x軸上方時(shí)，m的取值范圍為zn<1或m>3.

(3)解：①二次函數(shù)、=/一4%+3=0-2)2-1的對(duì)稱軸為直線4=2,頂點(diǎn)坐標(biāo)為(2,