新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+分層練習(xí) 3.4《利用導(dǎo)數(shù)證明不等式》教案 (原卷版)

第四節(jié)利用導(dǎo)數(shù)證明不等式考點(diǎn)1單變量不等式的證明單變量不等式的證明方法(1)移項(xiàng)法：證明不等式f(x)＞g(x)(f(x)＜g(x))的問題轉(zhuǎn)化為證明f(x)﹣g(x)＞0(f(x)﹣g(x)＜0)，進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)h(x)＝f(x)﹣g(x)；(2)構(gòu)造“形似”函數(shù)：對原不等式同解變形，如移項(xiàng)、通分、取對數(shù)；把不等式轉(zhuǎn)化為左右兩邊是相同結(jié)構(gòu)的式子的結(jié)構(gòu)，根據(jù)“相同結(jié)構(gòu)”構(gòu)造輔助函數(shù)；(3)最值法：欲證f(x)＜g(x)，有時(shí)可以證明f(x)max＜g(x)min.直接將不等式轉(zhuǎn)化為函數(shù)的最值問題已知函數(shù)f(x)＝lnx＋ax2＋(2a＋1)x.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＜0時(shí)，證明f(x)≤﹣eq\f(3,4a)﹣2.轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的最值進(jìn)行比較已知f(x)＝xlnx.(1)求函數(shù)f(x)在［t，t＋2］(t＞0)上的最小值；(2)證明：對一切x∈(0，＋∞)，都有l(wèi)nx＞eq\f(1,ex)﹣eq\f(2,ex)成立.構(gòu)造函數(shù)證明不等式已知函數(shù)f(x)＝ex﹣3x＋3a(e為自然對數(shù)的底數(shù)，a∈R).(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間與極值；(2)求證：當(dāng)a＞lneq\f(3,e)，且x＞0時(shí)，eq\f(ex,x)＞eq\f(3,2)x＋eq\f(1,x)﹣3a.已知函數(shù)f(x)＝aex﹣blnx，曲線y＝f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線方程為y＝(eq\f(1,e)﹣1)x＋1.(1)求a，b；(2)證明：f(x)＞0.考點(diǎn)2雙變量不等式的證明破解含雙參不等式證明題的3個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)(1)轉(zhuǎn)化，即由已知條件入手，尋找雙參所滿足的關(guān)系式，并把含雙參的不等式轉(zhuǎn)化為含單參的不等式.(2)巧構(gòu)造函數(shù)，再借用導(dǎo)數(shù)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，從而求其最值.(3)回歸雙參的不等式的證明，把所求的最值應(yīng)用到雙參不等式，即可證得結(jié)果.已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax(x＞0)，a為常數(shù)，若函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)x1，x2(x1≠x2).求證：x1x2＞e2.已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣eq\f(1,2)ax2＋x，a∈R.(1)當(dāng)a＝0時(shí)，求函數(shù)f(x)的圖象在(1，f(1))處的切線方程；(2)若a＝﹣2，正實(shí)數(shù)x1，x2滿足f(x1)＋f(x2)＋x1x2＝0，求證：x1＋x2≥eq\f(\r(5)－1,2).考點(diǎn)3證明與正整數(shù)有關(guān)的不等式問題函數(shù)中與正整數(shù)有關(guān)的不等式，其實(shí)質(zhì)是利用函數(shù)性質(zhì)證明數(shù)列不等式，證明此類問題時(shí)常根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)n的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量，通過多次求和達(dá)到證明的目的.若函數(shù)f(x)＝ex﹣ax﹣1(a＞0)在x＝0處取極值.(1)求a的值，并判斷該極值是函數(shù)的最大值還是最小值；(2)證明：1＋eq\f(1,2)＋eq\f(1,3)＋…＋eq\f(1,n)＞ln(n＋1)(n∈N*).已知函數(shù)f(x)＝ln(x＋1)＋eq\f(a,x＋2).(1)若x＞0時(shí)，f(x)＞1恒成立，求a的取值范圍；(2)求證：ln(n＋1)＞eq\f(1,3)＋eq\f(1,5)＋eq\f(1,7)＋…＋eq\f(1,2n＋1)(n∈N*).課外素養(yǎng)提升③邏輯推理——用活兩個(gè)經(jīng)典不等式邏輯推理是得到數(shù)學(xué)結(jié)論，構(gòu)建數(shù)學(xué)體系的重要方式，是數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性的基本保證.利用兩個(gè)經(jīng)典不等式解決其他問題，降低了思考問題的難度，優(yōu)化了推理和運(yùn)算過程.(1)對數(shù)形式：x≥1＋lnx(x＞0)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝1時(shí)，等號成立.(2)指數(shù)形式：ex≥x＋1(x∈R)，當(dāng)且僅當(dāng)x＝0時(shí)，等號成立.進(jìn)一步可得到一組不等式鏈：ex＞x＋1＞x＞1＋lnx(x＞0，且x≠1).【例1】(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,ln（x＋1）－x)，則y＝f(x)的圖象大致為()(2)已知函數(shù)f(x)＝ex，x∈R.證明：曲線y＝f(x)與曲線y＝eq\f(1,2)x2＋x＋1有唯一公共點(diǎn).【例2】已知函數(shù)f(x)＝x﹣1﹣alnx.(1)若f(x)≥0，求a的值；(2)證明：對于任意正整數(shù)n，(1+eq\f(1,2))(1＋eq\f(1,22))…(1＋eq\f(1,2n))…＜e.【例3】設(shè)函數(shù)f(x)＝lnx﹣x＋1.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)求證：當(dāng)x∈(1，＋∞)時(shí)，1＜eq\f(x－1,lnx)＜x.利用導(dǎo)數(shù)證明不等式1.已知函數(shù)f(x)＝elnx﹣ax(a∈R).(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)a＝e時(shí)，證明：xf(x)﹣ex＋2ex≤0.2.已知函數(shù)f(x)＝eq\f(1,x)﹣x＋alnx.(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)若f(x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1，x2，證明：eq\f(f（x1）－f（x2）,x1－x2)＜a﹣2.3.已知函數(shù)f(x)＝ex，g(x)＝ln(x＋a)＋b.