概率論與數(shù)理統(tǒng)計-上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系

概率論與數(shù)理統(tǒng)計-上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系匯報人：AA2024-01-19CATALOGUE目錄課程簡介與目標(biāo)概率論基本概念隨機(jī)變量及其分布數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)參數(shù)估計方法CATALOGUE目錄假設(shè)檢驗原理及應(yīng)用非參數(shù)統(tǒng)計方法簡介方差分析與回歸分析初步課程總結(jié)與展望課程簡介與目標(biāo)01概率論與數(shù)理統(tǒng)計概述概率論研究隨機(jī)現(xiàn)象數(shù)量規(guī)律的數(shù)學(xué)分支，包括隨機(jī)事件、隨機(jī)變量、隨機(jī)過程等基本概念，以及概率分布、數(shù)字特征、大數(shù)定律和中心極限定理等重要理論。數(shù)理統(tǒng)計以概率論為基礎(chǔ)，研究如何從總體中抽取樣本，并根據(jù)樣本對總體進(jìn)行推斷和預(yù)測的數(shù)學(xué)分支。包括參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析、回歸分析等統(tǒng)計方法。掌握概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基本概念、基本理論和基本方法。具備運(yùn)用概率論與數(shù)理統(tǒng)計知識解決實際問題的能力，包括數(shù)據(jù)處理、模型建立、假設(shè)檢驗等。培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)和邏輯思維能力，提高學(xué)生的創(chuàng)新意識和實踐能力。課程目標(biāo)與要求《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》（上海交通大學(xué)數(shù)學(xué)系編，高等教育出版社）教材《概率論與數(shù)理統(tǒng)計教程》（茆詩松等編，高等教育出版社）、《概率論基礎(chǔ)》（李賢平編，高等教育出版社）、《數(shù)理統(tǒng)計學(xué)》（陳家鼎等編，高等教育出版社）等。參考書目教材及參考書目概率論基本概念02在一定條件下并不總是發(fā)生的現(xiàn)象，稱為隨機(jī)事件。隨機(jī)事件可以是一次試驗的結(jié)果，也可以是多次試驗的結(jié)果。隨機(jī)事件描述隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小的數(shù)值，稱為該隨機(jī)事件的概率。概率的取值范圍在0到1之間，其中0表示事件不可能發(fā)生，1表示事件一定會發(fā)生。概率隨機(jī)事件與概率條件概率在已知某個事件發(fā)生的條件下，另一個事件發(fā)生的概率。條件概率的計算公式為P(A|B)=P(AB)/P(B)，其中P(A|B)表示在B發(fā)生的條件下A發(fā)生的概率，P(AB)表示A和B同時發(fā)生的概率，P(B)表示B發(fā)生的概率。獨(dú)立性如果兩個事件的發(fā)生互不影響，則稱這兩個事件是相互獨(dú)立的。對于相互獨(dú)立的事件A和B，有P(AB)=P(A)P(B)。條件概率與獨(dú)立性全概率公式與貝葉斯公式如果事件A可以分解為若干個互不相容的事件B1、B2、...、Bn的并集，且P(Bi)>0(i=1,2,...,n)，則事件A發(fā)生的概率為P(A)=P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)。全概率公式在已知某些條件下，更新某個假設(shè)的概率。貝葉斯公式的計算公式為P(Bi|A)=P(Bi)P(A|Bi)/[P(B1)P(A|B1)+P(B2)P(A|B2)+...+P(Bn)P(A|Bn)]，其中P(Bi|A)表示在已知A發(fā)生的條件下Bi發(fā)生的概率。貝葉斯公式隨機(jī)變量及其分布03隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的實值函數(shù)，它將樣本空間中的每一個樣本點(diǎn)映射到一個實數(shù)。隨機(jī)變量具有可測性、單調(diào)性和有界性等基本性質(zhì)，這些性質(zhì)在概率論的理論和實際應(yīng)用中都非常重要。隨機(jī)變量定義及性質(zhì)隨機(jī)變量性質(zhì)隨機(jī)變量定義1230-1分布是二項分布的特例，它描述的是只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗。0-1分布二項分布描述的是n重伯努利試驗中成功次數(shù)X的分布，其中每次試驗成功的概率為p。二項分布泊松分布描述的是單位時間內(nèi)隨機(jī)事件發(fā)生的次數(shù)，它是一個具有無記憶性的分布。泊松分布常見離散型隨機(jī)變量分布03正態(tài)分布正態(tài)分布是概率論中最重要的連續(xù)型隨機(jī)變量分布之一，它具有對稱性和集中性等優(yōu)良性質(zhì)，被廣泛應(yīng)用于各個領(lǐng)域。01均勻分布均勻分布描述的是在某個區(qū)間內(nèi)隨機(jī)變量取值的概率分布情況，其中每個取值的可能性相等。02指數(shù)分布指數(shù)分布描述的是隨機(jī)事件發(fā)生的時間間隔的概率分布情況，它具有無記憶性。常見連續(xù)型隨機(jī)變量分布數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)04研究對象的全體個體組成的集合，通常用一個概率分布來描述?？傮w樣本樣本容量從總體中隨機(jī)抽取的一部分個體組成的集合，用于推斷總體的性質(zhì)。樣本中包含的個體數(shù)目，通常用n表示。030201總體與樣本概念介紹統(tǒng)計量樣本的函數(shù)，用于描述樣本的特征，如樣本均值、樣本方差等。統(tǒng)計量的性質(zhì)包括無偏性、有效性、一致性等，用于評價統(tǒng)計量的優(yōu)劣。充分統(tǒng)計量包含樣本中所有關(guān)于總體的信息的統(tǒng)計量，具有數(shù)據(jù)壓縮的功能。統(tǒng)計量及其性質(zhì)t分布用于描述正態(tài)總體中樣本均值與總體均值的差的分布，常用于小樣本情況下的假設(shè)檢驗和置信區(qū)間的構(gòu)建。F分布用于描述兩個獨(dú)立卡方分布變量比值的分布，常用于方差分析和回歸分析中的假設(shè)檢驗?？ǚ椒植加糜诿枋龆鄠€獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量的平方和的分布，常用于假設(shè)檢驗和置信區(qū)間的構(gòu)建。三大抽樣分布參數(shù)估計方法05矩估計法用樣本矩作為總體矩的估計量，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。最大似然估計法根據(jù)樣本觀測值出現(xiàn)的概率最大原則來估計總體參數(shù)，適用于總體分布形式已知但參數(shù)未知的情況。最小二乘法通過最小化誤差的平方和來尋找數(shù)據(jù)的最佳函數(shù)匹配，適用于線性回歸模型的參數(shù)估計。點(diǎn)估計方法VS利用樣本數(shù)據(jù)構(gòu)造一個區(qū)間，使得該區(qū)間包含總體參數(shù)真值的概率等于預(yù)先給定的置信水平。容忍區(qū)間法在給定置信水平下，構(gòu)造一個區(qū)間使得總體參數(shù)落在這個區(qū)間內(nèi)的概率最大。置信區(qū)間法區(qū)間估計方法01估計量的數(shù)學(xué)期望等于被估計的總體參數(shù)，即估計量在多次重復(fù)抽樣下的平均值等于總體參數(shù)真值。無偏性02對于同一總體參數(shù)的兩個無偏估計量，有更小方差的估計量更有效。有效性03隨著樣本量的增加，估計量的值逐漸接近總體參數(shù)的真值。一致性評價估計量好壞標(biāo)準(zhǔn)假設(shè)檢驗原理及應(yīng)用06假設(shè)檢驗基本思想在假設(shè)檢驗中，可能會犯兩類錯誤。第一類錯誤是拒絕正確的原假設(shè)，第二類錯誤是不拒絕錯誤的原假設(shè)。第一類錯誤與第二類錯誤在假設(shè)檢驗中，原假設(shè)（$H_0$）通常表示要檢驗的假設(shè)，而備擇假設(shè)（$H_1$）則表示與原假設(shè)不同的假設(shè)。原假設(shè)與備擇假設(shè)為了進(jìn)行假設(shè)檢驗，需要構(gòu)造一個檢驗統(tǒng)計量，并根據(jù)顯著性水平確定拒絕域。如果檢驗統(tǒng)計量的值落在拒絕域內(nèi)，則拒絕原假設(shè)。檢驗統(tǒng)計量與拒絕域當(dāng)總體服從正態(tài)分布且方差已知時，可以使用單樣本t檢驗來檢驗單個正態(tài)總體的均值?？ǚ綑z驗可用于檢驗單個正態(tài)總體的方差。通過比較樣本方差與已知總體方差之間的差異，可以確定總體方差是否顯著不同于給定值。單樣本t檢驗卡方檢驗單個正態(tài)總體均值和方差檢驗當(dāng)兩個獨(dú)立正態(tài)總體的方差相等時，可以使用兩獨(dú)立樣本t檢驗來比較它們的均值。兩獨(dú)立樣本t檢驗當(dāng)兩個正態(tài)總體的觀察值是配對或相關(guān)的，且每對觀察值之間的差異服從正態(tài)分布時，可以使用配對樣本t檢驗來比較它們的均值。配對樣本t檢驗F檢驗可用于比較兩個正態(tài)總體的方差。通過計算兩個樣本方差的比值，可以確定兩個總體方差是否顯著不同。F檢驗兩個正態(tài)總體均值和方差比較非參數(shù)統(tǒng)計方法簡介07非參數(shù)統(tǒng)計概念非參數(shù)統(tǒng)計是一種不受總體分布具體形式限制的統(tǒng)計方法，它不依賴于對總體分布的假設(shè)，而是基于數(shù)據(jù)本身的性質(zhì)進(jìn)行推斷。非參數(shù)統(tǒng)計特點(diǎn)非參數(shù)統(tǒng)計方法具有穩(wěn)健性、靈活性和廣泛適用性的特點(diǎn)。它們對數(shù)據(jù)的要求較低，適用于各種類型的數(shù)據(jù)和分布，特別適用于總體分布未知或難以確定的情況。非參數(shù)統(tǒng)計概念及特點(diǎn)單樣本非參數(shù)檢驗方法用于檢驗單個樣本中位數(shù)是否與某個已知值相等。該方法通過計算樣本觀測值與已知值的符號差異來進(jìn)行推斷。單樣本游程檢驗用于檢驗單個樣本是否來自一個隨機(jī)過程。該方法通過計算樣本中游程的數(shù)量來進(jìn)行推斷，游程是指具有相同符號的連續(xù)觀測值序列。單樣本K-S檢驗用于檢驗單個樣本是否服從指定的理論分布。該方法通過比較樣本經(jīng)驗分布函數(shù)與理論分布函數(shù)的差異來進(jìn)行推斷。單樣本符號檢驗兩獨(dú)立樣本非參數(shù)檢驗方法用于比較兩個獨(dú)立樣本是否服從相同的分布。該方法通過比較兩個樣本經(jīng)驗分布函數(shù)的差異來進(jìn)行推斷。兩獨(dú)立樣本Kolmogorov-Smirnov檢驗用于比較兩個獨(dú)立樣本是否來自具有相同分布的總體。該方法通過計算兩個樣本觀測值的秩和來進(jìn)行推斷。兩獨(dú)立樣本Mann-WhitneyU檢驗用于比較兩個配對樣本的差異是否顯著。該方法通過計算配對觀測值的差值的秩和來進(jìn)行推斷。兩獨(dú)立樣本W(wǎng)ilcoxon秩和檢驗方差分析與回歸分析初步08方差分析定義方差分析原理方差分析應(yīng)用方差分析原理及應(yīng)用方差分析是一種通過比較不同組別數(shù)據(jù)的方差來推斷總體均值是否存在顯著差異的統(tǒng)計方法。方差分析基于總體均值相等的假設(shè)，通過構(gòu)造F統(tǒng)計量并比較其觀測值與臨界值的大小，判斷總體均值是否存在顯著差異。方差分析在醫(yī)學(xué)、社會科學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等領(lǐng)域有廣泛應(yīng)用，如比較不同治療方法對患者的影響、評估不同政策對社會經(jīng)濟(jì)的影響等。一元線性回歸模型一元線性回歸模型描述了一個因變量與一個自變量之間的線性關(guān)系，通過最小二乘法估計模型參數(shù)?；貧w方程的求解根據(jù)最小二乘法原理，通過求解正規(guī)方程組得到回歸方程的系數(shù)估計值。回歸方程的檢驗對回歸方程進(jìn)行顯著性檢驗，包括F檢驗和t檢驗，以判斷自變量對因變量的影響是否顯著。一元線性回歸分析初步多元線性回歸模型多元線性回歸模型描述了一個因變量與多個自變量之間的線性關(guān)系，通過最小二乘法估計模型參數(shù)。多重共線性問題在多元線性回歸分析中，自變量之間可能存在高度相關(guān)性，導(dǎo)致模型估計不準(zhǔn)確。此時需要采取相應(yīng)措施，如逐步回歸、嶺回歸等。模型選擇與評估在多元線性回歸分析中，需要選擇合適的自變量組合以構(gòu)建最優(yōu)模型。同時，需要對模型進(jìn)行評估和檢驗，包括擬合優(yōu)度檢驗、殘差分析等。010203多元線性回歸分析簡介課程總結(jié)與展望09包括事件與概率、條件概率與獨(dú)立性、隨機(jī)變量及其分布等基本概念和性質(zhì)。概率論基礎(chǔ)包括參數(shù)估計、假設(shè)檢驗、方差分析等統(tǒng)計推斷方法，以及回歸分析、時間序列分析等數(shù)據(jù)處理技術(shù)。數(shù)理統(tǒng)計基礎(chǔ)介紹了隨機(jī)過程的基本概念、分類和性質(zhì)，以及馬爾可夫鏈、泊松過程等常見隨機(jī)過程的特性和應(yīng)用。隨機(jī)過程初步010203課程重點(diǎn)內(nèi)容回顧多做練習(xí)通過大量的習(xí)題練習(xí)，加深對知識點(diǎn)的理解和記憶，提高解題能力和思維水平。理論與實踐相結(jié)合在學(xué)習(xí)過程中，要注重將理論知識與實際問題相結(jié)合，通過案例分析、實驗?zāi)M等方式，加深對知識的理解和應(yīng)用。系統(tǒng)學(xué)習(xí)建議按照課程大綱和教材體系，循序漸進(jìn)地學(xué)習(xí)概率論與數(shù)理統(tǒng)計的基礎(chǔ)知識，掌握基本概念、原理和方