山西省呂梁市賈家莊中學2022-2023學年高三數(shù)學理聯(lián)考試卷含解析

山西省呂梁市賈家莊中學2022-2023學年高三數(shù)學理聯(lián)

考試卷含解析

一、選擇題：本大題共1()小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選

項中，只有是一個符合題目要求的

1.已知雙曲線9m的一個焦點在圓x+y-4x-」=o上，則雙曲線的漸近線方

程為

,3.4

>=±五、=±尹y=±——x

A?4B?3c.3D.

>=±—x

參考答案：

B

略

設/(X)、g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù).當X<O時，

/(x)g(x)-y(x)g'(x)>0且g(-3)=0.則不等式八x)g(x)<0的解集是(川

2^(-oo-3)U(0,3)5.(-3.0)U(0,3)C.(-oo-3)U(3,+oo)D.(-3,0)U(3,+嘰

參考答案：

D

略

sinx

3.已知函數(shù)f(x)=2+cosx,如果當x>0時，若函數(shù)f(x)的圖象恒在直線y二kx的下

方，則k的取值范圍是()

工返工返返返

A.[3,B.[3,+8)C.[-3~,+8)D.T]

參考答案：

B

【考點】利用導數(shù)研究曲線上某點切線方程.

【分析】由于f(X)的圖象和丫=1?的圖象都過原點，當直線丫=1?為丫=￡(x)的切線

時，切點為(0,0),求出f(x)的導數(shù)，可得切線的斜率，即可得到切線的方程，結合

圖象，可得k的范圍.

【解答】解：函數(shù)f(x)的圖象恒在直線丫=1?的下方，

由于f(x)的圖象和y=kx的圖象都過原點，

當直線丫=1?為丫=￡(x)的切線時，切點為(0,0),

cosx(2+cosx)-sinx(-sinx)

由f(x)的導數(shù)f'(x)=(2+cosx)2

2cosx+1

二(2+cosx)2,

2cos0+1]

可得切線的斜率為(2+cosO)2=瓦

1

可得切線的方程為y=?x,

1

結合圖象，可得k2,

【點評】本題考查導數(shù)的運用：求切線的方程，正確求導和確定原點為切點，結合圖象是

解題的關鍵，考查運算能力，屬于中檔題.

參考答案:

B

【考點】30：函數(shù)的圖象.

【分析】先從一次函數(shù)y=ax+b進行入手，通過觀察圖形確定a,b的范圍，再根據(jù)指數(shù)函

數(shù)的單調性是否能夠滿足條件，進行逐一排除即可得到答案.

【解答】解：由一次函數(shù)的圖象和性質可得：

A中,b>l,a>0,則b>l,y=b"=(b*)*為單調增函數(shù),故A不正確；

B中，0<b<l,a>0,貝丫=產(chǎn)=(ba)"為單調減函數(shù)，故B正確；

C中,b>l,a<0,則OVbYLy=b.(ba)*為單調減函數(shù),C不對；

D中，0<b<l,a<0,則b">l,y=b"=(ba)'為單調增函數(shù)，D不對

故選B.

5.在AA6C中，M是冊的中點，皿=1,點F在4M上且滿足萬=2麗，則

APf^B+PC)=

444

A.9B.3C."3

4

D.~9

參考答案：

【知識點】平面向量數(shù)量積的運算.F3

【答案解析】A解析：如圖

因為M是BC的中點，根據(jù)向量加法的幾何意義，PB+PC=2PM,

XAP=2PM,

..._22工

所以AP，(PB+PC)=而='可而.

故選：A.

【思路點撥】根據(jù)向量加法的幾何意義，得出而+比2而從而所以

AP-(PB+PC)=AP2.

6.集合"=8*工>8"=3<4%,則MCN=(》

A.(l,2)BJ1,2)C.(l,21D.[l,2]

參考答案：

C

7.集合S=Gj,z)By'zwM,且x<y<z、八z<x、z。。恰有一個成立

},若且(z,w㈤眨則下列選項正確的是()

(A)(>，z,w)eS(B)(1y,z,w)eS(x,yw)e￡

(c)(y,z,w)eS{x,yrw)eS(D)(y.z,^eS[x,yryv)eS

參考答案：

B

略

8.已知函數(shù)f(x)=(2-x)e，-ax-a,若不等式f(x)>0恰有兩個正整數(shù)解，則a的

取值范圍是()

111_e1

A.[-4e3,0)B.[-2e,0)C.[-4e\2)D.[-4e3,2)

參考答案：

A

【考點】7E：其他不等式的解法.

【分析】利用構造的新函數(shù)g(x)和h(x),求導數(shù)g'(x),從而可得a的范圍.

【解答】解：令g(x)=(2-x)e',h(x)=ax+a,

由題意知，存在2個正整數(shù)，使g(x)在直線h(x)的上方,

Vgz(x)=(1-x)ex,

...當x>l時，g'(x)<0,當xVl時，g'(x)>0,

.'.g(x)Mg(1)=e,

且g(0)=2,g(2)=0,g(3)=-e>

直線h(x)恒過點(-1,0),且斜率為a,

h(l)<e

.h(2)<0

由題意可知，h(3)<-e3,

故實數(shù)a的取值范圍是[-We，,0),

故選A.

【點評】本題考查導數(shù)的綜合應用，及數(shù)形結合思想的應用，考查學生分析解決問題的能

力，屬于中檔題.

9.已知a為銳角，且匕n(開一a)+3=o,則sina的值是()

23^3y/l班

A、3B、10c、7D、5

參考答案：

t??]B

【解析】

試題分析?因為W-O.HHUuna-3.皿a，38m.因為so?a*8,L所以=’而a

MIU.Sltnna?粵

HJ

彳點，局的三角函，關薪.

I

io.若函數(shù)yu)=二i(/2),則￡(幻

A在(-2,+8),內(nèi)單調遞增B在(-2,+8)內(nèi)單調遞減

C在(2,+8)內(nèi)單調遞增D在(2,+8)內(nèi)單調遞減

參考答案：

D

二、填空題:本大題共7小題,每小題4分，共28分

的展開式中各項系數(shù)的和為243,則該展開式中常數(shù)項為A

參考答案：

10

因為展開式中各項系數(shù)的和為243,所以當x=l時，彷+1)'=243,解得a=2,展開式

私廣仃（2/嚴（；）\=中產(chǎn)/釁10--=0」

的通項公式為‘X，由2,解得上=4,所以

常數(shù)項為7i=Cx2=10。

12.已知偶函數(shù)/3）在R上的任一取值都有導數(shù)，且1二.小2）,則曲線

>=/白）在工「5處的切線的斜率為.

參考答案：

-1

略

13.已知矩形ABCD,AB=2,BC=1,則而-CD=.

參考答案：

4

1—xx—

14.已知x>0時有不等式x+x》2,X+X'=2+2+X,23,…成立，由此啟發(fā)我們可以推

a

廣為x+xnen+l（nGN*）,則a的值為.

參考答案：

n

n

【考點】F1：歸納推理.

【分析】分析各個不等式的特點，歸納出a的值..

【解答】解：第一個不等式的a=l,第二個不等式的a=4=2:

則由歸納推理可知，第n個不等式的a=n".

故答案為：n"

a+2i

15.已知i是虛數(shù)單位，aCR.若復數(shù)a-2i的虛部為1,則a=.

參考答案：

2

復數(shù)代數(shù)形式的乘除運算.

點:

專計算題.

題：

分把已知復數(shù)的分子分母同乘以分母的共輒復數(shù)，再進行化簡即可求出復數(shù)的虛部.

析：

解a+2i(a+2i)&a?-4+4ai

2

答：解：ya-2i=(a-2i)(a+2i)=a+4,

4a

可知復數(shù)的虛部為a'+4=i,解得a=2

故答案為：2

點本題考查復數(shù)的除法運算及基本概念，熟練掌握運算法則及理解基本概念是做好本

評：題的關鍵.

16.若三個非零且互不相等的實數(shù)a、b、c滿足4bC,則稱a、b、c是調和的；若

滿a+c=2b足，則稱a、b、c是等差的.若集合P中元素a、b、c既是調和的，又是等

差的，則稱集合P為“好集”.若集合“Fk|W2014,xeZ),集合則

(1)“好集”P中的元素最大值為；

(2)“好集”P的個數(shù)為.

參考答案：

(1)2012；(2)1006.

17.如圖所示，在海島A上有一座海拔遂千米的山峰上，山頂上設有一座觀察站P,一艘

輪船沿一固定方向勻速航行，上午10：00時，測得此船在島北偏東20°且俯角為30°的

B處，到10：10時，又測得該船在島北偏西40°且俯角為60°的C處，則該船的航行速

度為千米/時.

參考答案：

【考點】解三角形的實際應用.

【專題】應用題；方程思想；綜合法；解三角形.

【分析】在Rt^PAB、Rt^PAC中確定AB、AC的長，進而求得，ZCAB=200+40°=60°,

利用余弦定理求得BC,用里程除以時間即為船的速度.

【解答】解：在Rt^PAB中，NAPB=30°,PA=V3,，AB=1.

在RtZ\PAC中，ZAPC=60°,

.,.AC=3.

在△ACB中，ZCAB=200+40°=60°,

,B」1+9-2X1X3XA近

1

則船的航行速度夜一詐W7.

故答案為：W7.

【點評】本題主要考查考生運用數(shù)學知識解決實際問題的能力，考查學生的計算能力，比

較基礎.

三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應寫出文字說明，證明過程或演算

步驟

18.(1)(3-4xXrJ+2r+3)

(2)I-—3x-4|<X+I

參考答案：

(1)XG(-

3

1,0)U(4,1)

(6分)

(2)xG(3,5)

19.(本小題滿分10分)

=1

/(x)=2x+cos2x+/w+2,且

（1）求實數(shù)冽的值;

（2）求/"）在區(qū)間“2」上的最大值和最小值.

參考答案：

解：⑴由畤T得O吟+峙i2T

nm--2.....5分

⑵由（1）得用）?百的2N02-2皿2"6.....7

分

由問電F嗚與

2r+￡=￡￡2￡_2￡-月

則當T,即x=7時/（0的最大值為2,當+e*T,即”=亍時/（力的最小

值為-1.…10分

略

小MT-21BX

20.已知函數(shù)Ix).

(1)討論〃力的單調區(qū)間；

1

(2)若。5,證明：,(*)恰有三個零點.

參考答案：

(1)【考查意圖】本小題以含對數(shù)函數(shù)的初等函數(shù)為載體，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單

調性等基礎知識，考查運算求解能力，考查函數(shù)與方程思想、分類與整合思想等.

【解法綜述】只要掌握基本初等函數(shù)的求導公式及導數(shù)的運算法則、導數(shù)與函數(shù)單調性的

關系和含參數(shù)一元二次不等式的解法，便可解決問題.

axP-2x^a

思路：先求得/(x)的定義域為(a*?),再求得一7一一，然后對

4工)=￡-2x4■。的符號進行分類討論,先直接判斷當aWO時4x)>0,即

仆)>0

從而得到的單調區(qū)間；再對a>0的情況結合一元二次方程的判別式及

一元二次函數(shù)的圖象，進一步分為0<。<1和aAl兩種情況進行討論，分別求得,(9的

單調區(qū)間.

【錯因分析】考生可能存在的錯誤有：求導函數(shù)出錯；求根計算錯誤；分類討論錯誤.

【難度屬性】中.

(2)【考查意圖】本小題以函數(shù)的零點問題為載體，考查利用導數(shù)研究函數(shù)的極值和零

點等基礎知識，考查運算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)

形結合思想、分類與整合思想、特殊與一般思想等.

【解法綜述】只要掌握導數(shù)與函數(shù)的極值關系、零點存在定理等知識，結合函數(shù)的單調性

合理選取含零點的區(qū)間的端點值，即可解決問題.

1

思路一：先根據(jù)(1)的結論得到‘“5時〃力的單調性，結合函數(shù)的圖象特征，根據(jù)

/。)=°可判斷，(x)的極大值與極小值的符號，并在(“2-向和(2+b")分別取

點并判斷其對應的函數(shù)值的符號，如計算A*~*),'(')的值，結合零點存在定理即可

證明.

思路二：根據(jù)K〉0,將方程/（9=。等價變形為9一1一4Kh工=0,問題轉化為研究函

數(shù)g?）=JT的零點,先求得/㈤=2x-儀工-4,再通過構造

人（耳皿一4111工-4研究f（?的單調性與極值，結合函數(shù)乂工）=如-4.工-4的圖象

特征，并在（04）和（Z4?）分別取點并判斷其對應的函數(shù)值的符號，如計算”（；）

MD,M?）等，判斷出寵I力在W）和（Z*?）各有一個零點，分別記為看,巧，再判

斷在（0,0），（4,巧），（Xj,s）的單調性，以下解題思路同思路一.

【錯因分析】考生可能存在的錯誤有：沒有注意到/。）=0,無法判斷/（X）極值符號；

不會通過特殊值找到函數(shù)的零點；重新構造函數(shù)求導后無法求得其導函數(shù)的零點，不會研

究其導函數(shù)的性質，因此思路受阻.

【難度屬性】難.

21.（本小題滿分12分）

體檢評價標準指出：健康指數(shù)不低于70者為身體狀況好，健康指數(shù)低于70者為身體狀況

一般。某學校數(shù)學學科共有30位教師，其中60%的人經(jīng)常進行體育鍛煉。經(jīng)體檢調查，

這30位教師的健康指數(shù)（百分制）的數(shù)據(jù)如下：

經(jīng)常鍛煉的：65,76,80,75,92,84,76,86,87,95,68,82,72,94,71,89,

83,77缺少鍛煉的：63,58,85,93,65,72,59,91,63,67,56,64

⑴根據(jù)以上資料完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷有多大把握認為“身體狀況好與體育鍛煉

有關系”？

審題狀況好身體狀況一般總計

經(jīng)常體育鍛煉

缺少體育鍛煉

總計30

（H）從該學科教師健康指數(shù)高于90的5人中隨機選取2人介紹養(yǎng)生之道，求這2人中經(jīng)常

進行體育鍛煉的人數(shù)的分布列和數(shù)學期望.

(a?b+c.fcc)2

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

P（心泌））0.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.7063.8415.0246.6357.87910.828

參考答案:

解：（I）2x2列聯(lián)衣如下：

身體狀況好身體狀況一般總計

愛好體鍛16218

不愛好體鍛4812

總計,201030

3分

因為人菜常常捂心>7.879.................................................5分

所以有99.5%的把握認為“身體狀況好與愛好體育酸煉有關系，……6分

（口）設這2人中愛好體行啦煉的人數(shù)為宗則6的可能取值為0.1,2.其中

?。）吟版（”）=誓咚”2）吟*........9分

所以f的分布列為：

02

1

P

10f10

.....................................................................................................................II分

￡f=0xjL+lx|+2x^=1.............................................................12分

22.(本小題滿分12分)

如圖，己知直三棱柱瓦01中，44=>^=/C=LL4c.MMQ分別是

cq.scdc的中點，點p在線段上運動。

（1）證明：無論點尸怎樣運動，總有皿JL平面PNQ；

（2）是否存在點尸，使得平面尸與平面尸"Q所成的銳二面角為45?？

若存在，試確定點P的位置；若不存在，請說明理由。

參考答案:

證明:江納4.C

VA4,4京：企I.MQ分8(11CC"”的中點.

A&A4,p?AC4JV..

4M4c工4伊,4

:.4M4C+=90#.即AMJ40.0X3分)

VN.Q分別造此JC的中點咬〃AB.

又皿M..\NQ414c.