小學(xué)奧數(shù)題庫(kù)《計(jì)算》公式類平方和公式-5星題（含詳解）

計(jì)算一公式類計(jì)算一平方和公式一5星題

課程目標(biāo)

知識(shí)點(diǎn)考試要求具體要求考察頻率

平方和公式B1.熟悉平方和公式少考

2.運(yùn)用公式進(jìn)行復(fù)雜的計(jì)算。

知識(shí)提要

平方和公式

?平方和公式好+22+32+.??+/=迎空生里2

6

精選例題

平方和公式

124*島+點(diǎn)+-+焉）-倨+1+12+22+--+102)-,

m+22

【答案】.

【分析】雖然很容易看出U=y……可是再仔細(xì)一看，并沒有什么效果，因?yàn)檫@不象分

數(shù)裂項(xiàng)那樣能消去很多項(xiàng).我們?cè)賮?lái)看后面的式子，每一項(xiàng)的分母容易讓我們想到公式M+

22+32+???+n2=ixnx(n+l)x(2n+1),

于是我們又有?16

12+22+-+n2nx(n+l)x(2n+l)

減號(hào)前面括號(hào)里的式子有10項(xiàng)，減號(hào)后面括號(hào)里的式子也恰好有10項(xiàng)，是不是“一個(gè)對(duì)一個(gè)"

呢？

1\/I11\

石石+石石+…+赤㈤■■密+聲萬(wàn)+…+聲聲

/111\/I11\

12x34x520x21/\1x2x32x3x510x11x21/

/I11\/I11

K(----1-----F???H------)-24X1--------1--------!-■??+---------

\2x34x520x21/\2x4x34x6x520x22x21

=24x

1L\(—2x-3---2-x-45—x3;)+f\—4x-5---4-x-6—x5/)+…+f\—20x--21---2-0-x-2-2-x-2-1

/111\

=24x\2x4+4x6*…*20x22/

111\

----1----+…H-------)

1x22x310x11/

60

一五

2.計(jì)算：11x29+12x28+…+19x21=.

【答案】3315

【分析】

原式=(202-92)+(202-82)+-??+(202-I2)

=202x9-(/+22+…+92)

1

=3600--X9x10x19

6

=3315.

3.計(jì)算：1x3+2x4+3x5+…9x11=.

【答案】375

【分析】

原式=(2—1)(2+1)+(3-1)(3+1)+…+(10—1)(10+1)

=(22-1)+(32-1)+…+(102-1)

=(22+32+-+102)-9

=(12+22+32+-+102)-10

10x11x21

=6-----10

=375.

4.12+32+52+-+192=.

【答案】2185

12+32+52+-+192

=(I2+22+32+…+192)-(22+42+…+182)

.、…=-x19x20x39-4x(I2+22+-+92)

L分析】6

=2470--X9x10x19

6

=2470—285

=2185.

5.對(duì)自然數(shù)a和n，規(guī)定+例如302=32+3=12,那么：

⑴1。2+202+302+???+9902=；

(2)271+272+2734--4-2799=.

【答案】(1)333300；⑵3x2"-3

【分析】(1)

原式=/+1+22+2+32+3+…+992+99

=(I2+22+32+…+992)+(1+2+3+-+99)

=99x100x199+6+4950

=328350+4950

=333300;

(2)

原式=21+2°+22+21+23+22+…+2"+298

=(20+21+22+…+298)+(21+22+23+…+2")

=(20+21+22+…298)x3

=(2"-1)x3

=3x299—3.

6.計(jì)算：1x4+3x7+5x10+…+99x151=.

【答案】256225

【分析】觀察可知式子中每一項(xiàng)乘積的被乘數(shù)與乘數(shù)依次成等差數(shù)列，被乘數(shù)依次為1,3,5,

…，99,乘數(shù)依次為4,7,10,151,根據(jù)等差數(shù)列的相關(guān)知識(shí)，被乘數(shù)可以表示為2n-

1,乘數(shù)可以表示為3n+l,所以通項(xiàng)公式為(2n-l)x(3n+l)=6n2-n—l.所以，

原式=(6xI2-1-1)+(6x22-2-1)+-+(6x502-50-1)

=6X(12+22+?-?+502)-(1+2+-+50)-50

1

=50x51x101--x50x51-50

=256225.

另解：如果不進(jìn)行通項(xiàng)歸納，由于式子中每一項(xiàng)的被乘數(shù)與乘數(shù)的差是不相等，可以先將這個(gè)

差變?yōu)橄嗟仍龠M(jìn)行計(jì)算.

1

原式=-x(3x8+9x14+15x20+-+297x302)

6

1

=6X

[3x(3+5)+9x(9+5)+15x(15+5)+…+297x(297+5)]

(32+3x5+92+9x5+152+15x5+-+2972+297x5)

[(32+92+152+…+2972)+5x(3+94-15+-+297)]

1

=6X

[9x(I2+32+52+?-?+992)+5x3x(1+34-54--+99)]

35

=-X(12+32+52+…+992)+2x(1+3+5+…+99).

而12+32+52+…+992和1+3+5+-+99都是我們非常熟悉的.

124-32+52+-4-992

=(I2+22+32+…+1002)-(22+42+62+…+1002)

11

=-x100x101x201-4x-x50x51x101

66

=7X100x101x(201-102)

6

1

=-x99xlOOx101