2023-2024學(xué)年湖南省永州市祁陽(yáng)市九年級(jí)（上）學(xué)期期末數(shù)學(xué)試題（含解析）

祁陽(yáng)市2023年下期期末質(zhì)量檢測(cè)試卷九年級(jí)數(shù)學(xué)（試題卷）（時(shí)量：120分鐘

分值：120分）一、選擇題（共10個(gè)小題，每小題3分，共30分）1．下列各點(diǎn)，一定在反比例函數(shù)圖象上的是（

）A． B． C． D．2．在中，，，，則（

）A． B． C． D．3．用配方法解方程，配方后可得（

）A． B． C． D．4．已知（），則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．5．已知點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且，則下列結(jié)論一定正確的是（

）．A． B． C． D．6．環(huán)保人員為估計(jì)某自然保護(hù)區(qū)山雀的數(shù)量，隨機(jī)捕捉了100只山雀，然后在身體某部位做好標(biāo)記，放回山中，隔了一段時(shí)間之后，環(huán)保人員隨機(jī)捕捉了300只山雀，發(fā)現(xiàn)其中5只的身體上有之前做好的標(biāo)記，由此可知該自然保護(hù)區(qū)山雀的數(shù)量大約為（

）A．6000只 B．3000只 C．5000只 D．8000只7．方程的根的情況是A．有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 B．有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根 C．無(wú)實(shí)數(shù)根 D．無(wú)法確定8．如圖，在中，E在上，交于F，若，且，則的長(zhǎng)為（

）A． B． C． D．9．反比例函數(shù)的圖象如圖所示，軸，若的面積為3，則k的值為（

）A． B． C．3 D．10．如圖，在正方形中，是等邊三角形，，的延長(zhǎng)線分別交于點(diǎn)，，連接，，與相交于點(diǎn)．給出下列結(jié)論：；；；．其中正確的結(jié)論有（

）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)二、填空題（共6小題，每小題3分，滿分18分）11．若反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，則k的取值范圍是．12．如圖，以點(diǎn)O為位似中心，將△OAB放大后得到△OCD，OA＝2，OC＝5，則＝．13．已知一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，若，則實(shí)數(shù)．14．如圖，傳送帶和地面所成斜坡的坡度，如果它把某物體從地面送到離地面10米高的地方，那么該物體所經(jīng)過(guò)的路程是．

15．習(xí)近平總書(shū)記說(shuō)：“讀書(shū)可以讓人保持思想活力，讓人得到智慧啟發(fā)，讓人滋養(yǎng)浩然之氣．”某校為響應(yīng)我市全民閱讀活動(dòng)，利用節(jié)假日面向社會(huì)開(kāi)放學(xué)校圖書(shū)館．據(jù)統(tǒng)計(jì)，第一個(gè)月進(jìn)館125人次，進(jìn)館人次逐月增加，第三個(gè)月進(jìn)館405人次，若進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率相同．進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是．16．如圖，n邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)為邊的中點(diǎn)，的面積為，的面積為，…的面積為，則n＝．三、解答題（共9小題，滿分72分，解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟）17．計(jì)算：．18．解方程：19．如圖，相交于點(diǎn)O，．(1)求證：；(2)已知，的面積為6，求的面積．20．我市教育局為深入貫徹落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)，2022年在全市中小學(xué)部署開(kāi)展“六個(gè)一”德育行動(dòng)．某校為了更好地開(kāi)展此項(xiàng)活動(dòng)，隨機(jī)抽取部分學(xué)生對(duì)學(xué)校前段時(shí)間開(kāi)展活動(dòng)的情況進(jìn)行了滿意度調(diào)查，滿意度分為四個(gè)等級(jí)：A：非常滿意；B：滿意；C：一般；D：不滿意．根據(jù)調(diào)查數(shù)據(jù)繪制了如下兩幅不完整的統(tǒng)計(jì)圖表：等級(jí)人數(shù)A72B108C48Dm

請(qǐng)你根據(jù)圖表中的信息，解答下列問(wèn)題：(1)本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是多少？(2)求以上圖表中m，n的值及扇形統(tǒng)計(jì)圖中A等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)；(3)若該校共有學(xué)生1200人，估計(jì)滿意度為A，B等級(jí)的學(xué)生共有多少人？21．已知關(guān)于的一元二次方程．(1)若這個(gè)方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根，求的取值范圍．(2)當(dāng)時(shí)，若等腰三角形的兩邊長(zhǎng)分別為該方程的兩個(gè)根，求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．22．已知一次函數(shù)（）與反比例函數(shù)（）的圖象交于，兩點(diǎn)．(1)求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的解析式；(2)求的面積．23．隨著技術(shù)進(jìn)步和成果轉(zhuǎn)化，在我國(guó)無(wú)人機(jī)的用武之地越來(lái)越多，農(nóng)林植保、應(yīng)急救援、文物保護(hù)、電力巡檢……，加速賦能千行百業(yè)．如圖，某農(nóng)業(yè)示范基地用無(wú)人機(jī)對(duì)一塊試驗(yàn)田進(jìn)行監(jiān)測(cè)作業(yè)時(shí)，無(wú)人機(jī)在點(diǎn)A處，無(wú)人機(jī)距地面高度為120米，此時(shí)測(cè)得試驗(yàn)田一側(cè)邊界點(diǎn)C處俯角為，無(wú)人機(jī)垂直下降40米至點(diǎn)B處，又測(cè)得試驗(yàn)田另一側(cè)邊界點(diǎn)D處俯角為，且點(diǎn)C，O，D在同一條直線上，求點(diǎn)C與點(diǎn)D的距離．（參考數(shù)據(jù)：，結(jié)果保留整數(shù)）24．如圖，在正方形中，點(diǎn)G是對(duì)角線上一點(diǎn)，的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)E，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)若，求的長(zhǎng)．25．在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于不在坐標(biāo)軸上的任意點(diǎn)，我們把點(diǎn)B稱為點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”．(1)寫(xiě)出平面直角坐標(biāo)系中第三象限內(nèi)“倒數(shù)點(diǎn)”是本身的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)點(diǎn)P是反比例函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，求出點(diǎn)P的“倒數(shù)點(diǎn)”Q滿足的函數(shù)表達(dá)式；(3)如圖，矩形的頂點(diǎn)，頂點(diǎn)E在y軸上，函數(shù)的圖象與交于點(diǎn)A．若點(diǎn)B點(diǎn)A的“倒數(shù)點(diǎn)”，且點(diǎn)B在矩形的一邊上，求的面積．

參考答案與解析

1．C【分析】本題主要考查反比例函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，所有在反比例函數(shù)上的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)的積應(yīng)等于比例系數(shù)．根據(jù)，所以只要點(diǎn)的橫坐標(biāo)與縱坐標(biāo)的積等于3，就在函數(shù)圖象上．【詳解】解：∵，，A．，不符合題意；B．，不合題意；C．，符合題意；D．，不合題意．故選：C．2．B【分析】本題考查了解直角三角形函數(shù)，熟記余弦的定義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)余弦的定義求解即可．【詳解】解：如圖所示，∵在中，，，，∴．故選．3．B【分析】本題考查了用配方法解一元二次方程．按照配方法的步驟即可．配方法的一般步驟：1、把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；2、把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；3、等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．【詳解】解：移項(xiàng)，得，配方，得，．故選：B．4．A【分析】本題考查比例的性質(zhì)．根據(jù)比例的性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵（）∴，，，，故A錯(cuò)誤，B，C，D正確；故選A．5．C【分析】本題考查比較反比例函數(shù)值的大?。鶕?jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)行判斷即可．【詳解】解：∵，，∴反比例函數(shù)圖象過(guò)一，三象限，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)的圖象上，且，∴；故選C．6．A【分析】本題考查利用樣本估計(jì)總體．根據(jù)題意，用300除以被抓標(biāo)記的山雀占總標(biāo)記山雀的比例，求解即可．【詳解】解：（只）；故選A．7．A【分析】由方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式可得出△=1>0，由此即可得出原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，此題得解．【詳解】∵∴方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．故選:A.【點(diǎn)睛】考查一元二次方程根的判別式，當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.當(dāng)時(shí)，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根.8．B【分析】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．熟練掌握平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．由，可得，，證明，則，求，根據(jù)，計(jì)算求解即可．【詳解】解：∵，∴，，∴，，∴，∴，即，解得，，∴，故選：B．9．D【分析】本題考查了反比例函數(shù)的幾何意義，掌握反比例函數(shù)的幾何意義是解題的關(guān)鍵．連接，根據(jù)反比例函數(shù)的幾何意義即可求解．【詳解】解：如圖所示，連接，∵軸，∴，∴∴∵反比例函數(shù)圖象在第二象限，∴，∴，故選：D．10．D【分析】由是等邊三角形，得，而，故正確；由，，可判定正確；如圖，過(guò)P作于，于，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是，再分別表示，，則判定正確，由，得，則，可判定正確．【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，，∵四邊形是正方形，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴，在中，∵，∴，又∵，∴，故正確；∵，，∴，∴，故正確；如圖，過(guò)P作于，于，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)是，∵為正三角形，∴，，∴，∴，，∴，故③正確；∵，，∴，∴，∴，又∵，，∴，故正確，故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、等邊三角形性質(zhì)、銳角三角函數(shù)、相似三角形的判定及性質(zhì)，掌握以上基礎(chǔ)知識(shí)，作出合適的輔助線是解本題的關(guān)鍵．11．【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可求解．【詳解】解：反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限，，．故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查反比例函數(shù)的性質(zhì)，掌握反比例函數(shù)圖像經(jīng)過(guò)象限與的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．12．【分析】根據(jù)位似的性質(zhì)：位似圖形的對(duì)應(yīng)線段的比等于相似比求解即可．【詳解】解：∵以點(diǎn)為位似中心，放大后得到，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了位似圖形，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握位似圖形的性質(zhì)．13．【分析】本題考查根與系數(shù)的關(guān)系．根據(jù)題意，得到，代入，求解即可．熟練掌握根與系數(shù)的關(guān)系，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根為，∴，∴，∴；故答案為：．14．20米##【分析】本題主要考查斜坡的坡度和勾股定理，根據(jù)題意求得水平距離，再利用勾股定理求得經(jīng)過(guò)的路程即可．【詳解】解：∵傳送帶和地面所成斜坡的坡度，把某物體從地面送到離地面10米高的地方，∴水平距離為米，則該物體所經(jīng)過(guò)的路程米，故答案為：20米．15．【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是x，根據(jù)第一個(gè)月及第三個(gè)月的進(jìn)館人次數(shù)，即可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率是x，根據(jù)題意得：，解得，（舍），答：進(jìn)館人次的月平均增長(zhǎng)率為．故答案為：．16．128【分析】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及正方形的性質(zhì)，應(yīng)用相似三角形的面積比等于相似比的平方把難求的三角形轉(zhuǎn)化為求易求三角形的面積是解題的關(guān)鍵．首先根據(jù)題意求得的面積，又由，即可得，然后利用相似三角形的面積比等于相似比的平方，可求得，然后代數(shù)求解即可．【詳解】解：個(gè)邊長(zhǎng)為1的相鄰正方形的一邊均在同一直線上，點(diǎn)分別為邊，，，，的中點(diǎn)，，，，，，，，即，∴當(dāng)?shù)拿娣e為時(shí)，，解得．故答案為：128．17．4【分析】本題考查的是負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的含義，含特殊角的三角函數(shù)值的混合運(yùn)算，先分別計(jì)算絕對(duì)值，代入特殊角的三角函數(shù)值，計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，再合并即可．【詳解】解：；18．，【分析】本題考查了配方法解一元二次方程．解題的關(guān)鍵是掌握配方法解一元二次方程的步驟：（1）把常數(shù)項(xiàng)移到等號(hào)的右邊；（2）把二次項(xiàng)的系數(shù)化為1；（3）等式兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方．首先把常數(shù)項(xiàng)移到右邊，方程兩邊同時(shí)加上一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方配成完全平方公式，然后開(kāi)方求解即可．【詳解】解：移項(xiàng)得，配方得，即開(kāi)方得，，解得，．19．(1)見(jiàn)解析(2)【分析】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)．（1）對(duì)頂角相等，結(jié)合，即可得出；（2）根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，求解即可．掌握兩組對(duì)應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形相似，是解題的關(guān)鍵．【詳解】（1）證明：∵，又，∴；（2）∵，∴，∴，解得．所以的面積為．20．(1)本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是240人；(2)，；圖中A等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為；(3)該校共有學(xué)生1200人，估計(jì)滿意度為A，B等級(jí)的學(xué)生共有人．【分析】（1）由C等級(jí)的人數(shù)除以其占比可得總?cè)藬?shù)，（2）由總?cè)藬?shù)減去A，B，C三個(gè)等級(jí)的人數(shù)可得m的值，再由B等級(jí)的人數(shù)除以總?cè)藬?shù)可得n的值，由A等級(jí)的占比乘以可得圓心角的度數(shù)；（3）由A，B等級(jí)的占比乘以1200，可得答案．【詳解】（1）解：∵，∴本次被調(diào)查的學(xué)生人數(shù)是240人；（2）由題意可得：，，∴；，∴圖中A等級(jí)對(duì)應(yīng)的圓心角度數(shù)為；（3）∵，∴該校共有學(xué)生1200人，估計(jì)滿意度為A，B等級(jí)的學(xué)生共有人．【點(diǎn)睛】本題考查的從頻數(shù)分布表與扇形圖中獲取信息，利用樣本估計(jì)總體，掌握以上基礎(chǔ)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)是解本題的關(guān)鍵．21．(1)(2)等腰三角形的周長(zhǎng)為7【分析】此題主要考查了根的判別式及三角形三邊關(guān)系定理，注意求出三角形的三邊后，要用邊關(guān)系定理檢驗(yàn)；（1）計(jì)算方程的根的判別式，若，則方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根；（2）分兩種情況若3為腰，若1為腰，再求出等腰三角形的周長(zhǎng)，注意兩種情況都要用三角形三邊關(guān)系定理進(jìn)行檢驗(yàn)；【詳解】（1）根據(jù)題意，得，，解得．（2）當(dāng)時(shí)，方程為，解得．若3為腰，則周長(zhǎng)；若1為腰，構(gòu)不成三角形，舍去，等腰三角形的周長(zhǎng)為7．22．(1)，(2)8【分析】（1）首先把代入反比例函數(shù)中，就可以確定m的值，從而確定反比例函數(shù)的表達(dá)式，再把代入反比函數(shù)解析式確定n的值，再利用待定系數(shù)法確定一次函數(shù)的表達(dá)式；（2）先求出直線AB與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用面積的分割法求出△AOB的面積.【詳解】（1）解：∵反比例函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)，∴，∵點(diǎn)在反比例函數(shù)圖象上，∴．∴，把A，的坐標(biāo)代入，則有解得，∴一次函數(shù)的解析式為，反比例函數(shù)的解析式為．（2）如圖設(shè)直線交軸于，則，∴．【點(diǎn)睛】此題主要考查了用待定系數(shù)法確定函數(shù)的解析式，以及一次函數(shù)的應(yīng)用，難易適中．在求解面積時(shí)要注意運(yùn)用分割法，把總面積分割為兩個(gè)小三角形的面積之和是解題的關(guān)鍵．23．點(diǎn)C與點(diǎn)D的距離約為【分析】本題考查解直角三角形的實(shí)際應(yīng)用，在中，求出的長(zhǎng)，在中求出的長(zhǎng)，利用求出的長(zhǎng)即可．掌握銳角三角函數(shù)的定義，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：由題意，得：，，在中：，∴，在中，，∴，∴；答：點(diǎn)C與點(diǎn)D的距離約為．24．(1)見(jiàn)解析(2)見(jiàn)解析(3)【分析】本題考查正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)：（1）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可得證；（2）根據(jù)正方形的性質(zhì)得到，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可得證；（3）