數(shù)學九年級上冊專題23.1 旋轉(zhuǎn)章末重難點突破（人教版）（學生版）

專題23.1旋轉(zhuǎn)章末重難點突破【人教版】【知識點1旋轉(zhuǎn)的定義】在平面內(nèi)，把一個平面圖形繞著平面內(nèi)某一點O轉(zhuǎn)動一個角度，就叫做圖形的旋轉(zhuǎn)，點O叫做旋轉(zhuǎn)中心，轉(zhuǎn)動的角叫做旋轉(zhuǎn)角。我們把旋轉(zhuǎn)中心、旋轉(zhuǎn)角度、旋轉(zhuǎn)方向稱為旋轉(zhuǎn)的三要素。【知識點2旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)】旋轉(zhuǎn)的特征：（1）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等；對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；（3）旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等。理解以下幾點：（1）圖形中的每一個點都繞旋轉(zhuǎn)中心旋轉(zhuǎn)了同樣大小的角度。（2）對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，對應線段相等，對應角相等。（3）圖形的大小與形狀都沒有發(fā)生改變，只改變了圖形的位置?！究键c1旋轉(zhuǎn)中的長度問題】【例1】（2021春?南山區(qū)期中）如圖，四邊形ABCD中，∠DAB＝30°，連接AC，將△ABC繞點B逆時針旋轉(zhuǎn)60°，點C的對應點與點D重合，得到△EBD，若AB＝5，AD＝4，則線段AC的長度為（）A．5 B．6 C．26 D．41【變式1-1】（2021?濠江區(qū)一模）如圖，CD是△ABC的邊AB上的中線，將線段AD繞點D順時針旋轉(zhuǎn)90°后，點A的對應點E恰好落在AC邊上，若AD=2，BC=5，則A．3 B．4 C．7 D．23【變式1-2】（2021?尋烏縣模擬）如圖所示，已知矩形ABCD中，AD＝10，AB＝6．現(xiàn)將邊AD繞它的一個端點旋轉(zhuǎn)，當另一端點恰好落在邊BC所在直線的點E處時，線段DE的長度為.【變式1-3】（2021?方城縣模擬）如圖，在矩形ABCD中，AB=42，BC＝5，P是AD上一點，將△CDP繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)45°時，點P的對應點P'恰好落在AB上，則PDA．1 B．22 C．2 D．1或【考點2旋轉(zhuǎn)中的角度問題】【例2】（2021?山西模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，將Rt△ABC繞點C按順時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度得到Rt△DEC，點D恰好落在邊AB上．若∠B＝20°，則∠BCE的度數(shù)為（）A．20° B．40° C．60° D．80°【變式2-1】（2021春?聊城期末）如圖，在△ABC中，∠BAC＝138°，將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△AB'C'．若點B'剛好落在BC邊上，且AB'＝CB'，則∠C的度數(shù)為（）A．13° B．14° C．15° D．16°【變式2-2】（2021?高要區(qū)一模）如圖，將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)到△AED，其中點B與點E是對應點，點C與點D是對應點，且DC∥AB，若∠CAB＝65°，則∠CAE的度數(shù)為．【變式2-3】（2021春?武侯區(qū)校級期中）如圖，在△ABC中，∠BAC＝130°，∠C＝15°．將△ABC繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)α度得到△AB′C′．若點B剛好落在BC邊上，則α＝．【知識點3利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】旋轉(zhuǎn)有兩條重要性質(zhì)：任意一對對應點與旋轉(zhuǎn)中心所連線段的夾角等于旋轉(zhuǎn)角；對應點到旋轉(zhuǎn)中心的距離相等，它就是利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)作圖的關(guān)鍵。步驟可分為：①連：即連接圖形中每一個關(guān)鍵點與旋轉(zhuǎn)中心；②轉(zhuǎn)：即把直線按要求繞旋轉(zhuǎn)中心轉(zhuǎn)過一定角度（作旋轉(zhuǎn)角）③截：即在角的另一邊上截取關(guān)鍵點到旋轉(zhuǎn)中心的距離，的到各點的對應點；④接：即連接到所連接的各點?！究键c3利用旋轉(zhuǎn)性質(zhì)作圖】【例3】（2020秋?定西期末）如圖，畫出△ABC關(guān)于原點O對稱的△A1B1C1，并寫出點A1、B1、C1的坐標．【變式3-1】（2021春?樂亭縣期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知△ABC的三個頂點的坐標分別為A（﹣3，5），B（﹣2，1），C（﹣1，3）．（1）△ABC的面積是；（2）若△ABC經(jīng)過平移后得到△A1B1C1，已知點C1的坐標為（4，0），寫出頂點A1的坐標；（3）將△ABC繞著點O按順時針方向旋轉(zhuǎn)90°得到△A2B2C2，寫出C2的坐標．【變式3-2】（2021春?鹽湖區(qū)校級期末）如圖、A，B兩點的坐標分別為（3，0），（0，2），將線段AB平移至A1B1，且A1（5，b），B1（a，3）．（1）求線段AB平移到A1B1的距離是多少？（2）將線段A1B1繞點A1順時針旋轉(zhuǎn)60°得到線段A1B3．連接B1B3，得△A1B1B2，判斷△A1B1B2的形狀，并說明理由．【變式3-3】（2020春?無錫期中）△ABC在平面直角坐標系中的位置如圖所示，其中每個小正方形的邊長為1個單位長度．△ABC關(guān)于原點O的中心對稱圖形為△A1B1C1，寫出點A的對應點A1的坐標；畫出將△ABC繞點O順時針旋轉(zhuǎn)90°得到的△A2B2C2；若P（a，b）為△ABC邊上一點，則在△A2B2C2中，點P對應的點Q的坐標為．請直接寫出：以A、B、C為頂點的平行四邊形的第四個頂點D的坐標．【知識點4中心對稱的定義】中心對稱：把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果它能夠與另一個圖形重合，那么就說這兩個圖形關(guān)于這個點對稱或中心對稱，這個點叫做對稱中心。注意以下幾點：中心對稱指的就是兩個圖形的位置關(guān)系；只有一個對稱中心；繞對稱中心旋轉(zhuǎn)180°兩個圖形能夠完全重合。【知識點5作一個圖形關(guān)于某點對稱的圖形】要作出一個圖形關(guān)于某一點的成中心對稱的圖形，關(guān)鍵就是作出該圖形上關(guān)鍵點關(guān)于對稱中心的對稱點。最后將對稱點按照原圖形的形狀連接起來，即可的出成中心對稱圖形?！局R點6中心對稱的性質(zhì)】有以下幾點：（1）關(guān)于中心對稱的兩個圖形上的對應點的連線都經(jīng)過對稱中心，并且都被對稱中心平分；（2）關(guān)于中心對稱的兩個圖形能夠互相重合，就是全等形；（3）關(guān)于中心對稱的兩個圖形，對應線段平行（或共線）且相等?！究键c4中心對稱中的面積問題】【例4】（2021春?南關(guān)區(qū)期末）如圖，直線a、b垂直相交于點O，曲線C關(guān)于點O成中心對稱，點A的對稱點是點A1，AB⊥a于點B，A1D⊥b于點D，若OB＝5，OD＝3，則陰影部分的面積之和為15．【變式4-1】（2020春?西湖區(qū)校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，平行四邊形ABCO的頂點A在x軸上，頂點B的坐標為（2，4），若直線y＝kx+k將平行四邊形ABCO分割成面積相等的兩部分，則k的值是（）A．1 B．3 C．﹣1 D．無法確定【變式4-2】（2021春?鄞州區(qū)校級期中）如圖是由三個邊長分別為6、9、x的正方形所組成的圖形，若直線AB將分成面積相等的兩部分，則x的值是．【變式4-3】（2021春?婁星區(qū)校級期中）如圖，三個邊長均為2的正方形重疊在一起，O1，O2是其中兩個正方形的對角線交點，若把這樣的n個小正方形按如圖所示方式擺放，則重疊部分的面積為．【知識點7中心對稱圖形的定義】把一個圖形繞著某一個點旋轉(zhuǎn)180°，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點就就是它的對稱中心?！局R點8關(guān)于原點對稱的點的坐標】在平面直角坐標系中，如果兩個點關(guān)于原點對稱，它們的坐標符號相反，即點p（x,y）關(guān)于原點對稱點為（-x,-y）?！究键c5關(guān)于原點對稱的點的坐標】【例5】（2021?淮安模擬）若點A（1+m，1﹣n）與點B（﹣3，2）關(guān)于原點對稱，則m+n的值為（）A．﹣1 B．2 C．3 D．5【變式5-1】（2020秋?定南縣期末）已知點P（2x+y，1）與點Q（﹣7，x﹣y）關(guān)于原點對稱，求x，y的值．【變式5-2】（2020春?浦東新區(qū)校級期末）已知點A（﹣1，3a﹣1）與點B（2b+1，﹣2）關(guān)于x軸對稱，點C（a+2，b）與點D關(guān)于原點對稱．（1）求點A、B、C、D的坐標；（2）順次連接點A、D、B、C，求所得圖形的面積．【變式5-3】（2021春?豐臺區(qū)校級期末）如圖，在平面直角坐標系中，已知點A（2，﹣2），點P是x軸上的一個動點．（1）A1，A2分別是點A關(guān)于原點的對稱點和關(guān)于y軸對稱的點，直接寫出點A1，A2的坐標，并在圖中描出點A1，A2．（2）求使△APO為等腰三角形的點P的坐標．【考點6利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)解決問題】【例6】（2021?阜新）下面是小明關(guān)于“對稱與旋轉(zhuǎn)的關(guān)系”的探究過程，請你補充完整．（1）三角形在平面直角坐標系中的位置如圖1所示，簡稱G，G關(guān)于y軸的對稱圖形為G1，關(guān)于x軸的對稱圖形為G2．則將圖形G1繞點順時針旋轉(zhuǎn)度，可以得到圖形G2．（2）在圖2中分別畫出G關(guān)于y軸和直線y＝x+1的對稱圖形G1，G2．將圖形G1繞點（用坐標表示）順時針旋轉(zhuǎn)度，可以得到圖形G2．（3）綜上，如圖3，直線l1：y＝﹣2x+2和l2：y＝x所夾銳角為α，如果圖形G關(guān)于直線l1的對稱圖形為G1，關(guān)于直線l2的對稱圖形為G2，那么將圖形G1繞點（用坐標表示）順時針旋轉(zhuǎn)度（用α表示），可以得到圖形G2．【變式6-1】（2021秋?仙桃校級月考）如圖，在平面直角坐標系中，點B的坐標是（1，0），點A的坐標為（5，2）．如果將線段BA繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90°得到線段BA'，求點A'的坐標．【變式6-2】（2020春?英德市期中）如圖，點O為平面直角坐標系的原點，點A在x軸上，△AOC是邊長為2的等邊三角形．（1）寫出△AOC的頂點C的坐標：．（2）將△AOC沿x軸向右平移得到△OBD，則平移的距離是（3）將△AOC繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)得到△DOB，則旋轉(zhuǎn)角可以是度（4）連接AD，交OC于點E，求∠AEO的度數(shù)．【變式6-3】（2021春?平谷區(qū)期末）對于平面直角坐標系xOy中的圖形M和點P，給出如下定義：將圖形M繞點P順時針旋轉(zhuǎn)90°得到圖形N，圖形N稱為圖形M關(guān)于點P的“垂直圖形”．例如，圖1中點D為點C關(guān)于點P的“垂直圖形”．（1）點A關(guān)于原點O的“垂直圖形”為點B．①若點A的坐標為（0，2），則點B的坐標為；②若點B的坐標為（2，1），則點A的坐標為．（2）E（﹣3，3），F(xiàn)（a，0）．點E關(guān)于點F的“垂直圖形”記為E'，求點E'的坐標（用含a的式子表示）．【考點7旋轉(zhuǎn)中的最值問題】【例7】（2021?岑溪市模擬）如圖，已知點C在以AB為直徑，O為圓心的半圓上，AB＝4，以BC為邊作等邊△BCD，則AD的最大值是（）A．23 B．4+23 C．2+23【變式7-1】（2021春?單縣期末）如圖，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5，BC＝3，點D是斜邊上任意一點，將點D繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)60°得到點E，則線段DE長度的最小值為（）A．125 B．65 C．5【變式7-2】（2021春?新民市期中）如圖，已知正方形ABCD與正方形AEFG的邊長分別為4cm、1cm，若將正方形AEFG繞著點A旋轉(zhuǎn)，則在旋轉(zhuǎn)過程中，點C，F(xiàn)之間的最小距離為（）A．3cm B．22cm C．（42?1）cm D．32【變式7-3】（2020秋?涪城區(qū)期末）如圖，已知∠BAC＝60°，AB＝4，AC＝6，點P在△ABC內(nèi)，將△APC繞著點A逆時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到△AEF．則AE+PB+PC的最小值為（）A．219 B．8 C．53 D．62【考點8旋轉(zhuǎn)的綜合應用】【例8】（2020秋?斗門區(qū)期末）如圖1，在△ABC中，BA＝BC，D、E是AC邊上的兩點，且滿足∠DBE=12∠ABC．以點B為旋轉(zhuǎn)中心，將△CBE按逆時針方向旋轉(zhuǎn)得到△ABF，連接（1）求證：DF＝DE；（2）如圖2，若AB⊥BC，其他條件不變．求證：DE2＝AD2+EC2．【變式8-1】（2021?上杭縣模擬）將△ABC繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)一個角度α得到△ADE，點B，C的對應點分別為D、E．（1）若α＝60°，如圖1，連接EC，試判斷△ACE的形狀，并給以證明；（2）若點D恰好落在BC邊上，如圖2，且點A，B，E在同一條直線上，∠C＝30°，求旋轉(zhuǎn)角α的度數(shù)．【變式8-2】（2021春?閔行區(qū)期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D．（1）試說明點D為BC的中點；（2）如果∠BAC＝60°，將線段AD繞著點D順時針旋轉(zhuǎn)60°后，點A落在點E處，聯(lián)結(jié)CE、AE，試說明CE∥AB；（