高二數(shù)學(xué)函數(shù)的極值課件

高二數(shù)學(xué)函數(shù)的極值課件函數(shù)極值的基本概念函數(shù)極值的求法函數(shù)極值的應(yīng)用函數(shù)極值的變體函數(shù)極值的注意事項(xiàng)01函數(shù)極值的基本概念

極值的定義極值是函數(shù)在某點(diǎn)附近的小范圍內(nèi)比其鄰近的點(diǎn)的函數(shù)值都大或都小的點(diǎn)。極值不是唯一的，可以有極大值和極小值兩種。極值是局部概念，只對小范圍內(nèi)的點(diǎn)有意義。極值是局部最大的點(diǎn)或最小的點(diǎn)。在極值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)等于零，但一階導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)不一定是極值點(diǎn)。在極值點(diǎn)，函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)必須變號。極值的性質(zhì)010204極值的判定條件函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零。函數(shù)在某點(diǎn)的左右兩側(cè)單調(diào)性相反。函數(shù)在某點(diǎn)的左右兩側(cè)凹凸性相反。函數(shù)在某點(diǎn)的切線與x軸平行。0302函數(shù)極值的求法總結(jié)詞通過求導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定極值點(diǎn)。詳細(xì)描述導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)在某一點(diǎn)的切線斜率。當(dāng)導(dǎo)數(shù)大于0時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增；當(dāng)導(dǎo)數(shù)小于0時(shí)，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。因此，一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，需要進(jìn)一步判斷二階導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)法總結(jié)詞通過求二階導(dǎo)數(shù)判斷一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)是否為極值點(diǎn)。詳細(xì)描述二階導(dǎo)數(shù)大于0表示一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)為極小值點(diǎn)，二階導(dǎo)數(shù)小于0表示一階導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)為極大值點(diǎn)。如果一階導(dǎo)數(shù)為0且二階導(dǎo)數(shù)也為0，需要進(jìn)一步使用泰勒展開法判斷。二階導(dǎo)數(shù)法泰勒展開法總結(jié)詞通過泰勒展開式近似函數(shù)，進(jìn)而判斷極值點(diǎn)。詳細(xì)描述泰勒展開式可以將函數(shù)在極值點(diǎn)附近展開成多項(xiàng)式，通過多項(xiàng)式的系數(shù)可以判斷極值點(diǎn)的性質(zhì)。如果函數(shù)在極值點(diǎn)附近可以展開成一次或二次多項(xiàng)式，則該點(diǎn)為極值點(diǎn)。03函數(shù)極值的應(yīng)用極值點(diǎn)的一階導(dǎo)數(shù)為零，二階導(dǎo)數(shù)不為零。極值的必要條件通過比較法、導(dǎo)數(shù)法、二階導(dǎo)數(shù)法等判斷極值點(diǎn)。極值的判定方法通過求導(dǎo)、求二階導(dǎo)數(shù)、解方程等步驟計(jì)算極值。極值的計(jì)算方法最大值和最小值的求法利用極值原理求解最大利潤問題，如成本最低、收入最高等。最大利潤問題最優(yōu)資源配置風(fēng)險(xiǎn)最小化在有限的資源下，通過極值方法確定最優(yōu)的資源配置方案。在投資組合中，利用極值方法確定風(fēng)險(xiǎn)最小的投資組合。030201極值在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用在彈性力學(xué)中，利用極值原理求解彈性體的位移和應(yīng)力。彈性力學(xué)在流體力學(xué)中，利用極值原理求解流體運(yùn)動(dòng)的速度和壓力。流體力學(xué)在光學(xué)中，利用極值原理求解光線的路徑和能量分布。光學(xué)極值在物理中的應(yīng)用04函數(shù)極值的變體當(dāng)函數(shù)在某一點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)為零，且該點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號相反時(shí)，該點(diǎn)稱為函數(shù)的極值點(diǎn)。如果一個(gè)函數(shù)在極值點(diǎn)兩側(cè)都有單調(diào)性，則該極值點(diǎn)稱為多重極值點(diǎn)。定義通過一階導(dǎo)數(shù)和二階導(dǎo)數(shù)來判斷。如果二階導(dǎo)數(shù)在該點(diǎn)處變號，則該點(diǎn)可能是多重極值點(diǎn)。判斷方法函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=0$處有極小值點(diǎn)，但也是多重極值點(diǎn)，因?yàn)?f'(x)=3x^2$在$x=0$處變號。實(shí)例多重極值關(guān)系拐點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是。例如，函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=0$處有拐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)；而函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=0$處有拐點(diǎn)，同時(shí)也是極小值點(diǎn)。定義拐點(diǎn)是函數(shù)圖像上凹凸性改變的點(diǎn)，即二階導(dǎo)數(shù)為零的點(diǎn)。實(shí)例函數(shù)$f(x)=x^4$在$x=0$處有拐點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)；函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=0$處有拐點(diǎn)，同時(shí)也是極小值點(diǎn)。拐點(diǎn)與極值的關(guān)系定義01穩(wěn)定點(diǎn)是指函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)等于零，且該點(diǎn)兩側(cè)的一階導(dǎo)數(shù)符號不變。關(guān)系02穩(wěn)定點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，也可能不是。例如，函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=0$處有穩(wěn)定點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)；而函數(shù)$f(x)=x^2$在$x=0$處有穩(wěn)定點(diǎn)，同時(shí)也是極小值點(diǎn)。實(shí)例03函數(shù)$f(x)=x^4$在$x=0$處有穩(wěn)定點(diǎn)，但不是極值點(diǎn)；函數(shù)$f(x)=x^3$在$x=0$處有穩(wěn)定點(diǎn)，同時(shí)也是極小值點(diǎn)。極值與穩(wěn)定點(diǎn)的關(guān)系05函數(shù)極值的注意事項(xiàng)根據(jù)極值的定義，函數(shù)在極值點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)必須為零，即函數(shù)在該點(diǎn)的切線與x軸平行。在判斷極值點(diǎn)時(shí)，首先要確保函數(shù)在所考察的區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，因?yàn)橹挥锌蓪?dǎo)函數(shù)才可能有極值點(diǎn)。極值的可導(dǎo)性條件注意可導(dǎo)性極值點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)必須為零函數(shù)的極值點(diǎn)在圖像上表現(xiàn)為函數(shù)的拐點(diǎn)，即函數(shù)圖像在該點(diǎn)從上升變?yōu)橄陆祷驈南陆底優(yōu)樯仙?。極值點(diǎn)在圖像上的表現(xiàn)通過觀察函數(shù)圖像的走勢，可以大致判斷出哪些點(diǎn)可能是極值點(diǎn)，進(jìn)而通過計(jì)算導(dǎo)數(shù)來確定。圖像與極值判斷極值與函數(shù)圖像的關(guān)系極值只是局部范圍內(nèi)的最大或最小值，并不一定是整個(gè)定義域內(nèi)的最大或