八年級數(shù)學(xué)競賽試題及答案

/梨洲中學(xué)數(shù)學(xué)競賽初二試題（五）1．將1，2，3，4，5這五個數(shù)字排成一排，最后一個數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個數(shù)之和都能被這三個數(shù)中的第一個數(shù)整除，則滿足要求的排法有（）．（A）2種（B）3種（C）4種（D）5種2．小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車．假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時間發(fā)一輛車，則發(fā)車間隔的時間是分鐘．（第3題（第3題）（第8題）（第8題）（第8題）（第8題）4．已知0<a<1，且滿足，則的值等于．(表示不超過x的最大整數(shù))5．小明家電話號碼原為六位數(shù)，第一次升位是在首位號碼和第二位號碼之間加上數(shù)字8，成為一個七位數(shù)的電話號碼；第二次升位是在首位號碼前加上數(shù)字2，成為一個八位數(shù)的電話號碼．小明發(fā)現(xiàn)，他家兩次升位后的電話號碼的八位數(shù)，恰是原來電話號碼的六位數(shù)的81倍，則小明家原來的電話號碼是．6、在平面上有7個點(diǎn)，其中任意3個點(diǎn)都不在同一條直線上，如果連接這7個點(diǎn)中的每兩個點(diǎn)，則最多可以得到______條線段；以這些線段為邊，最多能構(gòu)成______個三角形．7．設(shè)a、b、c均是不為0的實(shí)數(shù)，且滿足．a(chǎn)2－b2=bc及b2－c2=ca．證明：a2－c2=ab．8．如圖3，在凹四邊形ABCD中，它的三個內(nèi)角∠A、∠B、∠C均為450，E、F、G、H分別是邊AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)．證明：四邊形EFGH是正方形．9、已知長方形ABCO，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（8，6），A、C分別在坐標(biāo)軸上，P是線段BC上動點(diǎn)，設(shè)PC=m，已知點(diǎn)D在第一象限且是直線y=2x+6上的一點(diǎn)，若△APD是等腰直角三角形．（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）直線y=2x+6向右平移6個單位后，在該直線上，是否存在點(diǎn)D，使△APD是等腰直角三角形？若存在，請求出這些點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．

10、設(shè)x1,x2,x3,……，x2008是整數(shù),且滿足下列條件:(1)–1≤xn≤2(n=1,2,3,……,2008);(2)x1+x2+x3+……+x2008=200;(3)x12+x22+x32+……+x20082=2008.求x13+x23+x33+……+x20083的最小值和最大值.11．沿著圓周放著一些數(shù)，如果有依次相連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式>0，則就可以交換b，c的位置，這稱為一次操作.（1）若圓周上依次放著數(shù)1，2，3，4，5，6，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有≤0？請說明理由.（2）若圓周上從小到大按順時針方向依次放著2003個正整數(shù)1，2，…，2003，問：是否能經(jīng)過有限次操作后，對圓周上任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，都有≤0？請說明理由.解：（1）（2）12．已知，，為互質(zhì)的正整數(shù)（即，是正整數(shù)，且它們的最大公約數(shù)為1），且≤8，．（１）試寫出一個滿足條件的x；（２）求所有滿足條件的x． 13、如下圖已知△ABC內(nèi)，P、Q分別在BC，CA上，并且AP、BQ分別是∠BAC、∠ABC的平分線。（1）若∠BAC=60°，∠ACB=40°，求證：BQ+AQ=AB+BP；（2）若∠ACB=α?xí)r，其他條件不變，直接寫出∠BAC=（）時，仍有BQ+AQ=AB+BP。14、用任意的方式,給平面上的每一點(diǎn)染上黑色或白色.求證:一定存在一個邊長為1或的正三角形,它的三個頂點(diǎn)是同色的.15.將1,2,3,……，10這十個數(shù)按著某一順序排成一行,使得每相鄰三個數(shù)的和都不超出n.問:(1)當(dāng)n=10時,能否排成,請說明理由;(2)當(dāng)能夠排成時,n的最小值是多少16.已知實(shí)數(shù)a，b，c滿足：a+b+c=2，abc=4.（1）求a，b，c中的最大者的最小值；（2）求的最小值.17．（本題4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC,延長邊AB到點(diǎn)D,延長邊CA到點(diǎn)E,連結(jié)DE,恰有AD=BC=CE=DE.求的度數(shù)。參考答案１、法一：設(shè)a1，a2，a3，a4，a5是1，2，3，4，5的一個滿足要求的排列．首先，對于a1，a2，a3，a4，不能有連續(xù)的兩個都是偶數(shù)，否則，這兩個之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾．又如果ai（1≤i≤3）是偶數(shù)，ai+1是奇數(shù)，則ai+2是奇數(shù)，這說明一個偶數(shù)后面一定要接兩個或兩個以上的奇數(shù)，除非接的這個奇數(shù)是最后一個數(shù)．所以a1，a2，a3，a4，a5只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1．法二：第一位是2，后面兩位奇數(shù)任意：21345、23145、21543、25143、23541、25341第一位是4，后面兩位奇數(shù)不能是1、5或5、1：41325、43125、43521、45321排除：23145、21543、25341、41325、43521還剩：21345、25143、23541、43125、45321所以共有5種排法故選：D．２、設(shè)18路公交車的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為s米．每隔6分鐘從背后開過一輛18路公交車，則6x－6y=s．①每隔3分鐘從迎面駛來一輛18路公交車，則3x+3y=s．②由①，②可得s=4x，所以=4．即18路公交車總站發(fā)車間隔的時間是4分鐘．故選B．３、解：過點(diǎn)B作BG∥AD交CA延長線于G∵AD平分∠BAC∴∠BAD＝∠CAD∵BG∥AD∴∠ABG＝∠BAD，∠G＝∠CAD∴∠ABG＝∠G∴AG＝AB＝7∴CG＝AG+AC＝7+11＝18∵M(jìn)F∥AD∴MF∥BG∵M(jìn)是BC的中點(diǎn)∴MF是三角形CBG的中位線∴FC＝CG/2＝9４、解：因?yàn)?<，所以，，…，等于0或1．由題設(shè)知，其中有18個等于1，所以=0，=1，所以，1≤＜2．故18≤30a＜19，于是6≤10a＜，所以=6．５、282500解：設(shè)原來電話號碼的六位數(shù)為，則經(jīng)過兩次升位后電話號碼的八位數(shù)為．根據(jù)題意，有81×=．記，于是，解得x=1250×(208－71a)．因?yàn)?≤x＜，所以0≤1250×(208－71a)＜，故≤．因?yàn)閍為整數(shù)，所以a=2．于是x=1250×(208－71×2)=82500．所以，小明家原來的電話號碼為282500．６、在平面上有7個點(diǎn)，其中任意3個點(diǎn)都不在同一條直線上，連接其中任意兩個點(diǎn)，最多能畫6+5+4+3+2+1=21條線段．以這些線段為邊，最多能構(gòu)成7×(7－1)×(7－2)6=35個三角形．答：最多可以得到21條線段；以這些線段為邊，最多能構(gòu)成35個三角形．故答案為：21，35．７、a^2－b^2=bc,即a^2=b(b+c),b^2－c^2=ca,即ca=(b+c)(b－c),兩式相除得：a/c=b/(b－c),即ab－ac=bc,c(a+b)=ab.……（*）a^2－b^2=bc,b^2－c^2=ca,兩式相加得：a^2－c^2=c(a+b),將（*）代入上式得：a^2－c^2=ab.８、欲證四邊形ＥＦＧＨ是正方形，只須證：(1)四邊形ＥＦＧＨ是平行四邊形；(2)ＥＨ=ＨＧ；(3)ＥＨ⊥ＨＧ．(1)如圖7，∵連結(jié)ＡC、ＢＤ，延長ＢＤ交AC于點(diǎn)K，延長ＣD交AB于Ｌ點(diǎn)．則由EF∥AC，GH=∥AC圖7令EF∥HG，EF=HG．因此，四邊形EFGH是平行四邊形．(2)只須BD=AC．由已知條件得∠BLC=900，∠ADL=450LA=LD，BL=LC．所以，△LBD≌△LCABD=AC．．再證(3)成立．由(2)的結(jié)果得∠LBD=∠LCA，立得∠DKC=900，即BK⊥AC．從而，GH⊥HE．由此知四邊形EFGH是正方形．9、解：（1）如圖1所示，作DE⊥y軸于E點(diǎn)，作PF⊥y軸于F點(diǎn)，可得∠DEA=∠AFP=90°，∵△DAP為等腰直角三角形，∴AD=AP，∠DAP=90°，∴∠EAD+∠DAB=90°，∠DAB+∠BAP=90°，∴∠EAD=∠BAP，∵AB∥PF，∴∠BAP=∠FPA，∴∠EAD=∠FPA，∵在△ADE和△PAF中，∠DEA=∠AFP=90°∠EAD=∠FPAAD=AP ，∴△ADE≌△PAF（AAS），∴AE=PF=8，OE=OA+AE=14，設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為x，由14=2x+6，得x=4，∴點(diǎn)D的坐標(biāo)是（4，14）；（2）存在點(diǎn)D，使△APD是等腰直角三角形，理由為：直線y=2x+6向右平移6個單位后的解析式為y=2（x－6）+6=2x－6，如圖2所示，當(dāng)∠ADP=90°時，AD=PD，易得D點(diǎn)坐標(biāo)（4，2）；如圖3所示，當(dāng)∠APD=90°時，AP=PD，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（8，m），則D點(diǎn)坐標(biāo)為（14－m，m+8），由m+8=2（14－m）－6，得m=14∴D點(diǎn)坐標(biāo)（283,如圖4所示，當(dāng)∠ADP=90°時，AD=PD時，同理可求得D點(diǎn)坐標(biāo)（203,223），綜上，符合條件的點(diǎn)D存在，坐標(biāo)分別為（4，2），（283,28１０、設(shè)x1，x2，…，x2008中有q個0，r個－1，s個1，t個2．（2分）則－r+s+2t＝200r+s+4t＝2008①（5分）兩式相加得s+3t=1104．故0≤t≤368．（10分）由x13+x23+…+x20083=－r+s+8t=6t+200，（12分）得200≤x13+x23+…+x20083≤6×368+200=2408．（15分）由方程組①知：當(dāng)t=0，s=1104，r=904時，x13+x23+…+x20083取最小值200；（17分）當(dāng)t=368，s=0，r=536時，x13+x23+…+x20083取最大值2408．（20分）１１、（1）答：能．具體操作如下：（2）答：能．理由：設(shè)這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為P．開始時，P0=1×2+2×3+3×4+…+2002×2003+2003×1，經(jīng)過k（k≥0）次操作后，這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為Pk，此時若圓周上依次相連的4個數(shù)a，b，c，d滿足不等式（a－d）（b－c）＞0，即ab+cd＞ac+bd，交換b，c的位置后，這2003個數(shù)的相鄰兩數(shù)乘積之和為Pk+1，有Pk+1－Pk=（ac+cb+bd）－（ab+bc+cd）=ac+bd－ab－cd＜0．所以Pk+1－Pk≤－1，即每一次操作，相鄰兩數(shù)乘積的和至少減少1，由于相鄰兩數(shù)乘積總大于0，故經(jīng)過有限次操作后，對任意依次相連的4個數(shù)a，b，c，d，一定有（a－d）（b－c）≤0．１２、解：（1）滿足條件．……………5分（2）因?yàn)?，，為互質(zhì)的正整數(shù)，且≤8，所以，即．當(dāng)a=1時，，這樣的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=2時，，故=1，此時．當(dāng)a=3時，，故=2，此時．當(dāng)a=4時，，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=5時，，故=3，此時．當(dāng)a=6時，，與互質(zhì)的正整數(shù)不存在．當(dāng)a=7時，，故=3，4，5此時，，．當(dāng)a=8時，，故=5，此時所以，滿足條件的所有分?jǐn)?shù)為，，，，，，．………………15分１３、解：（1）∵∠BAC=60°，∠ACB=40°，∴∠ABC=180°﹣∠BAC﹣∠ACB=180°﹣60°﹣40°=80°，∵BQ平分∠ABC，∴∠CBQ=∠ABC=×80°=40°，∴∠CBQ=∠ACB，∴BQ=CQ，∴BQ+AQ=CQ+AQ=AC…①，過點(diǎn)P作PD∥BQ交CQ于點(diǎn)D，則∠CPD=∠CBQ=40°，∴∠CPD=∠ACB=40°，∴PD=CD，∠ADP=∠CPD+∠ACB=40°+40°=80°，∵∠ABC=80°，∴∠ABC=∠ADP，∵AP平分∠BAC，∴∠BAP=∠CAP，∵在△ABP與△ADP中，，∴△ABP≌△ADP（AAS），∴AB=AD，BP=PD，∴AB+BP=AD+PD=AD+CD=AC…②，由①②可得，BQ+AQ=AB+BP；（2）2α１４、證明:(1)若平面上存在距離為2的兩個點(diǎn)A,B異色,設(shè)O為它們的中點(diǎn),不妨設(shè)A,O同色.考慮以AO為一邊的正三角形AOC,AOD,若C,D中有一個與A,O同色,則該三角形滿足題意.否則BCD為邊長的同色正三角形.(2)否則平面上任兩個距離為2的點(diǎn)均同色,考慮任意兩個距離為1的點(diǎn),以他們連線為底,2為腰長作等腰三角形,則任一腰的兩頂點(diǎn)同色.所以三個頂點(diǎn)同色,即任兩個距離為1的點(diǎn)同色.所以平面上任意一個邊長為1的正三角形三個頂點(diǎn)同色.證畢１５、解：(1)假設(shè)n=10時已經(jīng)排出.則后九個數(shù)之和小于或等于30.從而,第一個數(shù)不小于25,矛盾.故不能排出.(2)與(1)的考慮方式相同.當(dāng)n=11,12,13,14時,均不能排出.當(dāng)n=15時,由前九個數(shù)之和小于或等于45,推出第十個數(shù)排10;又從后面九個數(shù)之和小于或等于45,推出第一個數(shù)排10.然而,只有一個10,故也不能排出.當(dāng)n=16時,可以排出.如10,5,1,7,6,2,8,3,4,9或9,4,3,7,2,6,8,1,5,10.據(jù)此知可排出時,n的最小值是