人教A版2024年高一數(shù)學(xué)寒假提高講義 第11課 平面向量的應(yīng)用 二（原卷版）

第第頁(yè)第11課平面向量的應(yīng)用二余弦定理、正弦定理應(yīng)用舉例學(xué)習(xí)目標(biāo)核心素養(yǎng)1.能將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為解三角形問(wèn)題.(難點(diǎn))2.能夠用正、余弦定理求解與距離、高度、角度有關(guān)的實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題.(重點(diǎn))1.通過(guò)利用正、余弦定理解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng).2.通過(guò)求解距離、高度等實(shí)際問(wèn)題，提升數(shù)學(xué)運(yùn)算的素養(yǎng).1.基線的概念與選擇原則(1)定義在測(cè)量過(guò)程中，我們把根據(jù)測(cè)量的需要而確定的線段叫做基線.(2)性質(zhì)在測(cè)量過(guò)程中，應(yīng)根據(jù)實(shí)際需要選取合適的基線長(zhǎng)度，使測(cè)量具有較高的精確度.一般來(lái)說(shuō)，基線越長(zhǎng)，測(cè)量的精確度越高.思考1：在本章“解三角形”引言中，我們遇到這么一個(gè)問(wèn)題，“遙不可及的月亮離地球究竟有多遠(yuǎn)呢？”在古代，天文學(xué)家沒(méi)有先進(jìn)的儀器就已經(jīng)估算出了兩者的距離，是什么神奇的方法探索到這個(gè)奧秘的呢？[提示]利用正弦定理和余弦定理.2.測(cè)量中的有關(guān)角的概念(1)仰角和俯角與目標(biāo)視線在同一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時(shí)叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時(shí)叫俯角.(如圖所示)(2)方向角從指定方向線到目標(biāo)方向線所成的水平角.如南偏西60°，即以正南方向?yàn)槭歼?，順時(shí)針?lè)较蛳蛭餍D(zhuǎn)60°.(如圖所示)思考2：李堯出校向南前進(jìn)了200米，再向東走了200米，回到自己家中，你認(rèn)為李堯的家在學(xué)校的哪個(gè)方向？[提示]東南方向.1.如圖，為了測(cè)量隧道口AB的長(zhǎng)度，給定下列四組數(shù)據(jù)，測(cè)量時(shí)應(yīng)選用數(shù)據(jù)()A.α，a，bB.α，β，aC.a，b，γD.α，β，b2.小強(qiáng)站在地面上觀察一個(gè)建在山頂上的建筑物，測(cè)得其視角為α，同時(shí)測(cè)得觀察該建筑物頂部的仰角為β，則小強(qiáng)觀測(cè)山頂?shù)难鼋菫?)A.α＋βB.α﹣βC.β﹣αD.α3.某人先向正東方向走了xkm，然后他向右轉(zhuǎn)150°，向新的方向走了3km，結(jié)果他離出發(fā)點(diǎn)恰好為eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3)B.2eq\r(3)C.2eq\r(3)或eq\r(3)D.3測(cè)量距離問(wèn)題【例1】海上有A，B兩個(gè)小島相距10海里，從A島望C島和B島成60°的視角，從B島望C島和A島成75°的視角，則B，C間的距離是()A.10eq\r(3)海里B.eq\f(10\r(6),3)海里C.5eq\r(2)海里D.5eq\r(6)海里三角形中與距離有關(guān)問(wèn)題的求解策略：(1)解決與距離有關(guān)的問(wèn)題，若所求的線段在一個(gè)三角形中，則直接利用正、余弦定理求解即可；若所求的線段在多個(gè)三角形中，要根據(jù)條件選擇適當(dāng)?shù)娜切?，再利用正、余弦定理求?(2)解決與距離有關(guān)的問(wèn)題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為求三角形中的邊，分析所解三角形中已知哪些元素，還需要求出哪些元素，靈活應(yīng)用正、余弦定理來(lái)解決.1.為了測(cè)定河的寬度，在一岸邊選定兩點(diǎn)A，B，望對(duì)岸標(biāo)記物C，測(cè)得∠CAB＝30°，∠CBA＝75°，AB＝120m，則河的寬度為m.測(cè)量高度問(wèn)題【例2】濟(jì)南泉城廣場(chǎng)上的泉標(biāo)模仿的是隸書“泉”字，其造型流暢別致，成了濟(jì)南的標(biāo)志和象征.李明同學(xué)想測(cè)量泉標(biāo)的高度，于是他在廣場(chǎng)的A點(diǎn)測(cè)得泉標(biāo)頂端的仰角為60°，他又沿著泉標(biāo)底部方向前進(jìn)15.2m，到達(dá)B點(diǎn)，又測(cè)得泉標(biāo)頂部仰角為80°.你能幫助李明同學(xué)求出泉標(biāo)的高度嗎？(精確到1m)解決測(cè)量高度問(wèn)題的一般步驟：(1)畫圖：根據(jù)已知條件畫出示意圖.(2)分析三角形：分析與問(wèn)題有關(guān)的三角形.(3)求解：運(yùn)用正、余弦定理，有序地解相關(guān)的三角形，逐步求解.在解題中，要綜合運(yùn)用立體幾何知識(shí)與平面幾何知識(shí)，注意方程思想的運(yùn)用.2.某興趣小組要測(cè)量電視塔AE的高度H(單位：m).如圖所示，豎直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.該小組已測(cè)得一組α，β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請(qǐng)據(jù)此算出H的值.角度問(wèn)題[探究問(wèn)題]1.某物流投遞員沿一條大路前進(jìn)，從A到B，方位角是60°，距離是4km，從B到C，方位角是120°，距離是8km，從C到D，方位角是150°，距離是3km，試畫出示意圖.[提示]如圖所示：2.在探究1中，若投遞員想在半小時(shí)之內(nèi)，沿小路直接從A點(diǎn)到C點(diǎn)，則此人的速度至少是多少？[提示]在探究1圖中，在△ABC中，∠ABC＝60°＋(180°﹣120°)＝120°，由余弦定理得AC＝eq\r(AB2＋BC2－2AB·BC·cos120°)＝4eq\r(7)，則此人的最小速度為v＝eq\f(4\r(7),\f(1,2))＝8eq\r(7)(km/h).3.在探究1中若投遞員以24km/h的速度勻速沿大路從A到D前進(jìn)，10分鐘后某人以16eq\r(7)km/h的速度沿小路直接由A到C追投遞員，問(wèn)在C點(diǎn)此人能否與投遞員相遇？[提示]投遞員到達(dá)C點(diǎn)的時(shí)間為t1＝eq\f(4＋8,24)＝eq\f(1,2)(小時(shí))＝30(分鐘)，追投遞員的人所用時(shí)間由探究2可知t2＝eq\f(4\r(7),16\r(7))＝eq\f(1,4)(小時(shí))＝15分鐘；由于30＞15＋10，所以此人在C點(diǎn)能與投遞員相遇.【例3】如圖，甲船在A處，乙船在A處的南偏東45°方向，距A有9海里的B處，并以20海里每小時(shí)的速度沿南偏西15°方向行駛，若甲船沿南偏東θ度的方向，并以28海里每小時(shí)的速度行駛，恰能在C處追上乙船.問(wèn)用多少小時(shí)追上乙船，并求sinθ的值.(結(jié)果保留根號(hào)，無(wú)需求近似值)解決實(shí)際問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題(1)首先明確題中所給各個(gè)角的含義，然后分析題意，分析已知與所求，再根據(jù)題意畫出正確的示意圖，這是最關(guān)鍵最主要的一步.(2)將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可用數(shù)學(xué)方法解決的問(wèn)題后，要正確使用正、余弦定理解決問(wèn)題.正弦、余弦定理在實(shí)際測(cè)量中的應(yīng)用的一般步驟(1)分析：理解題意，分清已知與未知，畫出示意圖.(2)建模：根據(jù)已知條件與求解目標(biāo)，把已知量與求解量盡量集中在有關(guān)的三角形中，建立一個(gè)解斜三角形的數(shù)學(xué)模型.(3)求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形，求得數(shù)學(xué)模型的解.(4)檢驗(yàn)：檢驗(yàn)上述所求的解是否符合實(shí)際意義，從而得出實(shí)際問(wèn)題的解.1.如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A.北偏東5°B.北偏西10°C.南偏東5°D.南偏西10°2.如圖，D，C，B三點(diǎn)在地面同一直線上，DC＝100米，從C，D兩點(diǎn)測(cè)得A點(diǎn)仰角分別是60°，30°，則A點(diǎn)離地面的高度AB等于()A.50eq\r(3)米B.100eq\r(3)米C.50米D.100米3.一艘船上午9：30在A處，測(cè)得燈塔S在它的北偏東30°的方向，且與它相距8eq\r(2)海里，之后它繼續(xù)沿正北方向勻速航行，上午10：00到達(dá)B處，此時(shí)又測(cè)得燈塔S在它的北偏東75°的方向，此船的航速是()A.8(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí)B.8(eq\r(6)﹣eq\r(2))海里/時(shí)C.16(eq\r(6)＋eq\r(2))海里/時(shí)D.16(eq\r(6)﹣eq\r(2))海里/時(shí)4.在高出海平面200m的小島頂上A處，測(cè)得位于正西和正東方向的兩船的俯角分別是45°與30°，此時(shí)兩船間的距離為m.5.海上某貨輪在A處看燈塔B在貨輪北偏東75°，距離為12eq\r(6)海里；在A處看燈塔C，在貨輪的北偏西30°，距離為8eq\r(3)海里；貨輪向正北由A處航行到D處時(shí)看燈塔B在北偏東120°，求：(1)A處與D處之間的距離；(2)燈塔C與D處之間的距離.平面向量的應(yīng)用二課堂跟蹤練習(xí)一、選擇題1.學(xué)校體育館的人字屋架為等腰三角形，如圖，測(cè)得AC的長(zhǎng)度為4m，∠A＝30°，則其跨度AB的長(zhǎng)為()A.12mB.8mC.3eq\r(3)mD.4eq\r(3)m2.一艘船自西向東勻速航行，上午10時(shí)到達(dá)一座燈塔P的南偏西75°距塔68nmile的M處，下午2時(shí)到達(dá)這座燈塔的東南方向的N處，則這只船的航行速度為()A.eq\f(17\r(6),2)nmile/hB.34eq\r(6)nmile/hC.eq\f(17\r(2),2)nmile/hD.34eq\r(2)nmile/h3.我艦在敵島A處南偏西50°的B處，且A，B距離為12海里，發(fā)現(xiàn)敵艦正離開(kāi)島沿北偏西10°的方向以每小時(shí)10海里的速度航行，若我艦要用2小時(shí)追上敵艦，則速度大小為()A.28海里/時(shí)B.14海里/時(shí)C.14eq\r(2)海里/時(shí)D.20海里/時(shí)4.在地面上點(diǎn)D處，測(cè)量某建筑物的高度，測(cè)得此建筑物頂端A與底部B的仰角分別為60°和30°，已知建筑物底部高出地面D點(diǎn)20m，則建筑物高度為()A.20mB.30mC.40mD.60m在Rt△AOD中，OA＝OD·tan60°＝60，∴AB＝OA﹣OB＝40(m).]5.如圖所示，在地面上共線的三點(diǎn)A，B，C處測(cè)得一建筑物的仰角分別為30°，45°，60°，且AB＝BC＝60m，則建筑物的高度為()A.15eq\r(6)mB.20eq\r(6)mC.25eq\r(6)mD.30eq\r(6)m6.有一個(gè)長(zhǎng)為1千米的斜坡，它的傾斜角為75°，現(xiàn)要將其傾斜角改為30°，則坡底要伸長(zhǎng)千米.7.如圖，在高速公路建設(shè)中需要確定隧道的長(zhǎng)度，工程技術(shù)人員已測(cè)得隧道兩端的兩點(diǎn)A，B到點(diǎn)C的距離AC＝BC＝1km，且C＝120°，則A，B兩點(diǎn)間的距離為km.8.一次機(jī)器人足球比賽中，甲隊(duì)1號(hào)機(jī)器人由點(diǎn)A開(kāi)始做勻速直線運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn)B時(shí)，發(fā)現(xiàn)足球在點(diǎn)D處正以2倍于自己的速度向點(diǎn)A做勻速直線滾動(dòng)，如圖所示，已知AB＝4eq\r(2)dm，AD＝17dm，∠BAC＝45°，若忽略機(jī)器人原地旋轉(zhuǎn)所需的時(shí)間，則該機(jī)器人最快可在距A點(diǎn)dm的C處截住足球.9.在某次軍事演習(xí)中，紅方為了準(zhǔn)確分析戰(zhàn)場(chǎng)形勢(shì)，在兩個(gè)相距為eq\f(\r(3)a,2)的軍事基地C處和D處測(cè)得藍(lán)方兩支精銳部隊(duì)分別在A處和B處，且∠ADB＝30°，∠BDC＝30°，∠DCA＝60°，∠ACB＝45°，如圖所示，求藍(lán)方這兩支精銳部隊(duì)的距離.10.島A觀察站發(fā)現(xiàn)在其東南方向有一艘可疑船只，正以每小時(shí)10海里的速度向東南方向航行(如圖所示)，觀察站即刻通知在島A正南方向B處巡航的海監(jiān)船前往檢查.接到通知后，海監(jiān)船測(cè)得可疑船只在其北偏東75°方向且相距10海里的C處，隨即以每小時(shí)10eq\r(3)海里的速度前往攔截.(1)問(wèn)：海監(jiān)船接到通知時(shí)，距離島A多少海里？(2)假設(shè)海監(jiān)船在D處恰好追上可疑船只，求它的航行方向及其航行的時(shí)間.平面向量的應(yīng)用二隨堂檢測(cè)1.如圖所示為起重機(jī)裝置示意圖.支桿BC＝10m，吊桿AC＝15m，吊索AB＝5eq\r(19)m，起吊的貨物與岸的距離AD為()A.30mB.eq\f(15\r(3),2)mC.15eq\r(3)mD.45m2.已知A，B兩地的距離為10km，B，C兩地的距離為20km，現(xiàn)測(cè)得∠ABC＝120°，則A，C兩地的距離為()A.10kmB.eq\r(3)kmC.10eq\r(5)kmD.10eq\r(7)km3.某公司要測(cè)量一水塔CD的高度，測(cè)量人員在該水塔所在的東西方向水平線上選A，B兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，在A處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為α，在B處測(cè)得該水塔頂端D的仰角為β，已知AB＝a,0＜β＜α＜eq\f(π,2)，則水塔CD高度為()A.eq\f(asinα－βsinβ,sinα)B.eq\f(asinαsinβ,sinα－β)C.eq\f(asinα－βsinα,sinβ)D.eq\f(asinα,sinα－βsinβ)4.若甲船在B島的正南方A處，AB＝10km，甲船以4km/h的速度向正北航行，同時(shí)，乙船自B島出發(fā)以6km/h的速度向北偏東60°的方向駛?cè)?，?dāng)甲、乙兩船相距最近時(shí)，它們的航行時(shí)間是()A.eq\f(150,7)minB.eq\f(15,7)hC.21.5minD.2.15h5.一船以24km/h的速度向正北方向航行，在點(diǎn)A處望見(jiàn)燈塔S在船的北偏東