(新高考)高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)講義+鞏固練習(xí)10.7《離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征》(原卷版)

§10.7離散型隨機(jī)變量及其分布列、數(shù)字特征考試要求1.理解取有限個(gè)值的離散型隨機(jī)變量及其分布列的概念.2.理解并會(huì)求離散型隨機(jī)變量的數(shù)字特征．知識(shí)梳理1．離散型隨機(jī)變量一般地，對(duì)于隨機(jī)試驗(yàn)樣本空間Ω中的每個(gè)樣本點(diǎn)ω，都有唯一的實(shí)數(shù)X(ω)與之對(duì)應(yīng)，我們稱X為隨機(jī)變量；可能取值為有限個(gè)或可以一一列舉的隨機(jī)變量稱為離散型隨機(jī)變量．2．離散型隨機(jī)變量的分布列一般地，設(shè)離散型隨機(jī)變量X的可能取值為x1，x2，…，xn，稱X取每一個(gè)值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1,2，…，n為X的概率分布列，簡(jiǎn)稱分布列．3．離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)①pi≥0(i＝1,2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.4．離散型隨機(jī)變量的均值與方差一般地，若離散型隨機(jī)變量X的分布列為Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)均值則稱E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn＝eq\i\su(i＝1,n,x)ipi為隨機(jī)變量X的均值或數(shù)學(xué)期望，數(shù)學(xué)期望簡(jiǎn)稱期望．它反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平．(2)方差稱D(X)＝(x1﹣E(X))2p1＋(x2﹣E(X))2p2＋…＋(xn﹣E(X))2pn＝eq\i\su(i＝1,n,)(xi﹣E(X))2pi為隨機(jī)變量X的方差，并稱eq\r(DX)為隨機(jī)變量X的標(biāo)準(zhǔn)差，記為σ(X)，它們都可以度量隨機(jī)變量取值與其均值的偏離程度．5．均值與方差的性質(zhì)(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.(2)D(aX＋b)＝a2D(X)(a，b為常數(shù))．常用結(jié)論均值與方差的四個(gè)常用性質(zhì)(1)E(k)＝k，D(k)＝0，其中k為常數(shù)．(2)E(X1＋X2)＝E(X1)＋E(X2)．(3)D(X)＝E(X2)﹣(E(X))2.(4)若X1，X2相互獨(dú)立，則E(X1X2)＝E(X1)·E(X2)．思考辨析判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“√”或“×”)(1)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)正面的次數(shù)是隨機(jī)變量．()(2)在離散型隨機(jī)變量的分布列中，隨機(jī)變量取各個(gè)值的概率之和可以小于1.()(3)離散型隨機(jī)變量的各個(gè)可能值表示的事件是彼此互斥的．()(4)方差或標(biāo)準(zhǔn)差越小，則偏離均值的平均程度越?。?)教材改編題1．設(shè)隨機(jī)變量X的分布列如下：X12345Peq\f(1,12)eq\f(1,6)eq\f(1,3)eq\f(1,6)p則p為()A.eq\f(1,6)B.eq\f(1,3)C.eq\f(1,4)D.eq\f(1,12)2．若隨機(jī)變量X滿足P(X＝c)＝1，其中c為常數(shù)，則D(X)的值為_(kāi)_______．3．已知隨機(jī)變量X的分布列如下：X﹣101Peq\f(1,2)eq\f(1,3)eq\f(1,6)若Y＝2X＋3，則E(Y)的值為_(kāi)_______．題型一分布列的性質(zhì)例1(1)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X﹣101Peq\f(1,2)1﹣qq﹣q2則q等于()A．1 B.eq\f(\r(2),2)或﹣eq\f(\r(2),2)C．1＋eq\f(\r(2),2) D.eq\f(\r(2),2)(2)(多選)設(shè)隨機(jī)變量ξ的分布列為Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(ξ＝\f(k,5)))＝ak(k＝1,2,3,4,5)，則()A．a(chǎn)＝eq\f(1,15)B．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<ξ<\f(4,5)))＝eq\f(1,5)C．Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,10)<ξ<\f(1,2)))＝eq\f(2,15)D．P(ξ＝1)＝eq\f(3,10)教師備選1．設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X01P9a2﹣a3﹣8a則常數(shù)a的值為()A.eq\f(1,3) B.eq\f(2,3)C.eq\f(1,3)或eq\f(2,3) D．﹣eq\f(1,3)或﹣eq\f(2,3)2．離散型隨機(jī)變量X的概率分布列為P(X＝n)＝eq\f(a,nn＋1)(n＝1,2,3,4)，其中a是常數(shù)，則Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)<X<\f(5,2)))的值為()A.eq\f(2,3)B.eq\f(3,4)C.eq\f(4,5)D.eq\f(5,6)思維升華離散型隨機(jī)變量分布列的性質(zhì)的應(yīng)用(1)利用“概率之和為1”可以求相關(guān)參數(shù)的值．(2)利用“在某個(gè)范圍內(nèi)的概率等于它取這個(gè)范圍內(nèi)各個(gè)值的概率之和”求某些特定事件的概率．(3)可以根據(jù)性質(zhì)判斷所得分布列結(jié)果是否正確．跟蹤訓(xùn)練1(1)若隨機(jī)變量X的分布列如下表，則mn的最大值是()X024Pm0.5nA.eq\f(1,16) B.eq\f(1,8)C.eq\f(1,4) D.eq\f(1,2)(2)隨機(jī)變量X的分布列如下：X﹣101Pabc其中a，b，c成等差數(shù)列，則P(|X|＝1)＝______，公差d的取值范圍是______．題型二離散型隨機(jī)變量的分布列及數(shù)字特征例2(1)(多選)設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X01234Pq0.40.10.20.2若離散型隨機(jī)變量Y滿足Y＝2X＋1，則下列結(jié)果正確的有()A．q＝0.1B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2(2)從1,2,3,4,5這組數(shù)據(jù)中，隨機(jī)取出三個(gè)不同的數(shù)，用X表示取出的數(shù)字的最小數(shù)，則隨機(jī)變量X的均值E(X)等于()A.eq\f(3,2)B.eq\f(5,3)C.eq\f(7,4)D.eq\f(9,5)教師備選1．已知隨機(jī)變量X，Y滿足Y＝2X＋1，且隨機(jī)變量X的分布列如下：X012Peq\f(1,6)eq\f(1,3)a則隨機(jī)變量Y的方差D(Y)等于()A.eq\f(5,9) B.eq\f(20,9)C.eq\f(4,3) D.eq\f(29,9)2．已知m，n為正常數(shù)，離散型隨機(jī)變量X的分布列如表：X﹣101Pmeq\f(1,4)n若隨機(jī)變量X的均值E(X)＝eq\f(7,12)，則mn＝________，P(X≤0)＝________.思維升華求離散型隨機(jī)變量ξ的均值與方差的步驟(1)理解ξ的意義，寫(xiě)出ξ可能的全部值．(2)求ξ取每個(gè)值的概率．(3)寫(xiě)出ξ的分布列．(4)由均值、方差的定義求E(ξ)，D(ξ)．跟蹤訓(xùn)練2小張經(jīng)常在某網(wǎng)上購(gòu)物平臺(tái)消費(fèi)，該平臺(tái)實(shí)行會(huì)員積分制度，每個(gè)月根據(jù)會(huì)員當(dāng)月購(gòu)買(mǎi)實(shí)物商品和虛擬商品(充話費(fèi)等)的金額分別進(jìn)行積分，詳細(xì)積分規(guī)則以及小張每個(gè)月在該平臺(tái)消費(fèi)不同金額的概率如下面的表1和表2所示，并假設(shè)購(gòu)買(mǎi)實(shí)物商品和購(gòu)買(mǎi)虛擬商品相互獨(dú)立．表1購(gòu)買(mǎi)實(shí)物商品(元)(0,100)[100,500)[500,1000)積分246概率eq\f(1,4)eq\f(1,2)eq\f(1,4)表2購(gòu)買(mǎi)虛擬商品(元)(0,20)[20,50)[50,100)[100,200)積分1234概率eq\f(1,3)eq\f(1,4)eq\f(1,4)eq\f(1,6)(1)求小張一個(gè)月購(gòu)買(mǎi)實(shí)物商品和虛擬商品均不低于100元的概率；(2)求小張一個(gè)月積分不低于8分的概率；(3)若某個(gè)月小張購(gòu)買(mǎi)了實(shí)物商品和虛擬商品，消費(fèi)均低于100元，求他這個(gè)月的積分X的分布列與均值．題型三均值與方差中的決策問(wèn)題例3(12分)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A，B兩類問(wèn)題．每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問(wèn)題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得20分，否則得0分；B類問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得0分．已知小明能正確回答A類問(wèn)題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問(wèn)題的概率為0.6，且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān)．(2)為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

高考改編某班體育課組織籃球投籃考核，考核分為定點(diǎn)投籃與三步上籃兩個(gè)項(xiàng)目．每個(gè)學(xué)生在每個(gè)項(xiàng)目投籃5次，以規(guī)范動(dòng)作投中3次為考核合格，定點(diǎn)投籃考核合格得4分，否則得0分；三步上籃考核合格得6分，否則得0分．現(xiàn)將該班學(xué)生分為兩組，一組先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，一組先進(jìn)行三步上籃考核，若先考核的項(xiàng)目不合格，則無(wú)需進(jìn)行下一個(gè)項(xiàng)目，直接判定為考核不合格；若先考核的項(xiàng)目合格，則進(jìn)入下一個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行考核，無(wú)論第二個(gè)項(xiàng)目考核是否合格都結(jié)束考核．已知小明定點(diǎn)投籃考核合格的概率為0.8，三步上籃考核合格的概率為0.7，且每個(gè)項(xiàng)目考核合格的概率與考核次序無(wú)關(guān)．(1)若小明先進(jìn)行定點(diǎn)投籃考核，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列；(2)為使累計(jì)得分的均值最大，小明應(yīng)選擇先進(jìn)行哪個(gè)項(xiàng)目的考核？并說(shuō)明理由．思維升華隨機(jī)變量的均值和方差從整體和全局上刻畫(huà)了隨機(jī)變量，是生產(chǎn)實(shí)際中用于方案取舍的重要理論依據(jù)．一般先比較均值，若均值相同，再用方差來(lái)決定．跟蹤訓(xùn)練3(2021·北京)為加快新冠肺炎檢測(cè)效率，某檢測(cè)機(jī)構(gòu)采取“k合1檢測(cè)法”，即將k個(gè)人的拭子樣本合并檢測(cè)，若為陰性，則可以確定所有樣本都是陰性的；若為陽(yáng)性，則還需要對(duì)本組的每個(gè)人再做檢測(cè)．現(xiàn)有100人，已知其中2人感染病毒．(1)①若采用“10合1檢測(cè)法”，且兩名患者在同一組，求總檢測(cè)次數(shù)；②已知10人分成一組，分10組，兩名感染患者在同一組的概率為eq\f(1,11)，定義隨機(jī)變量X為總檢測(cè)次數(shù)，求檢測(cè)次數(shù)X的分布列和均值E(X)；(2)若采用“5合1檢測(cè)法”，檢測(cè)次數(shù)Y的均值為E(Y)，試比較E(X)和E(Y)的大小(直接寫(xiě)出結(jié)果)．課時(shí)精練1．一串鑰匙有6枚，只有一枚能打開(kāi)鎖，依次試驗(yàn)，打不開(kāi)的扔掉，直到找到能開(kāi)鎖的鑰匙為止，則試驗(yàn)次數(shù)X的最大可能取值為()A．6B．5C．4D．22．若隨機(jī)變量X的分布列為X123Paba則X的均值E(X)等于()A．2a＋bB．a(chǎn)＋2bC．2D．33．已知隨機(jī)變量X的分布列是X123Peq\f(1,2)eq\f(1,3)a則E(2X＋a)等于()A.eq\f(5,3)B.eq\f(7,3)C.eq\f(7,2)D.eq\f(23,6)4．某企業(yè)計(jì)劃加大技改力度，需更換一臺(tái)設(shè)備，現(xiàn)有兩種品牌的設(shè)備可供選擇，A品牌設(shè)備需投入60萬(wàn)元，B品牌設(shè)備需投入90萬(wàn)元，企業(yè)對(duì)兩種品牌設(shè)備的使用年限情況進(jìn)行了抽樣調(diào)查：A品牌的使用年限2345概率0.40.30.20.1B品牌的使用年限2345概率0.10.30.40.2更換設(shè)備技改后，每年估計(jì)可增加效益100萬(wàn)元，從年均收益的角度分析()A．不更換設(shè)備B．更換為A設(shè)備C．更換為B設(shè)備D．更換為A或B設(shè)備均可5．(多選)中華人民共和國(guó)第十四屆運(yùn)動(dòng)會(huì)于2021年9月在陜西省舉辦．為了組建一支朝氣蓬勃、訓(xùn)練有素的賽會(huì)志愿者隊(duì)伍，向全國(guó)人民奉獻(xiàn)一場(chǎng)精彩圓滿的體育盛會(huì)，第十四屆全國(guó)運(yùn)動(dòng)會(huì)組織委員會(huì)欲從4名男志愿者，3名女志愿者中隨機(jī)抽取3人聘為志愿者隊(duì)的隊(duì)長(zhǎng)．下列說(shuō)法正確的有()A．設(shè)事件A：“抽取的三人中既有男志愿者，也有女志愿者”，則P(A)＝eq\f(6,7)B．設(shè)事件A：“抽取的3人中至少有一名男志愿者”，事件B：“抽取的3人中全是男志愿者”，則P(B|A)＝eq\f(2,17)C．用X表示抽取的三人中女志愿者的人數(shù)，則E(X)＝eq\f(12,7)D．用Y表示抽取的三人中男志愿者的人數(shù)，則D(Y)＝eq\f(24,49)6．(多選)已知eq\f(1,4)<p<1，隨機(jī)變量X的分布列如下，則下列結(jié)論正確的有()X012Pp﹣p21﹣pp2A．P(X＝2)的值最大B．P(X＝0)<P(X＝1)C．E(X)隨著p的增大而減小D．E(X)隨著p的增大而增大7．設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，其分布列為X123Peq\f(1,2)1﹣qq﹣q2則X的均值為_(kāi)_________．8．某專業(yè)資格考試包含甲、乙、丙3個(gè)科目，假設(shè)小張甲科目合格的概率為eq\f(3,4)，乙、丙科目合格的概率相等，且3個(gè)科目是否合格相互獨(dú)立．設(shè)小張3科中合格的科目數(shù)為X，若P(X＝3)＝eq\f(3,16)，則E(X)＝__________.9．2021年，“十四五”開(kāi)啟全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家新征程，這一年，中國(guó)共產(chǎn)黨迎來(lái)建黨100周年．某企業(yè)開(kāi)展“學(xué)黨史，頌黨恩，跟黨走”的知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)，該企業(yè)收集了參與此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的員工得分情況，得到如下頻率分布表：得分[40，50)[50，60)[60，70)[70，80)[80，90)[90，100]頻率0.040.10ab0.200.12其中樣本的平均數(shù)是73.6.(假設(shè)同一組中的每個(gè)數(shù)據(jù)可用該組區(qū)間的中點(diǎn)值代替)(1)求a，b的值；(2)根據(jù)此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的得分，評(píng)出四個(gè)等級(jí)，并根據(jù)等級(jí)給予如下的獎(jiǎng)勵(lì)：得分(0,60)[60，70)[70，80)[80，100]評(píng)定等級(jí)不合格合格良好優(yōu)秀抽獎(jiǎng)次數(shù)0124每次抽獎(jiǎng)的中獎(jiǎng)率均為eq\f(1,2)，每次中獎(jiǎng)的獎(jiǎng)金都為100元，求參與此次知識(shí)問(wèn)答活動(dòng)的某員工所獲獎(jiǎng)金X的均值．(1)若從袋中任意摸出4個(gè)球，求恰有2個(gè)紅球的概率；(2)若每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后放回，摸到白球即停止摸球，這樣的摸球最多四次，η1表示停止時(shí)的摸球次數(shù)；又若每次隨機(jī)地摸出一個(gè)球，記下顏色后不放回，摸到白球即停止摸球，η2表示停止時(shí)的摸球次數(shù)．分別求出η1和η2的分布列，并計(jì)算η1≠η2的概率．11．某公司圓滿完成年初制定的生產(chǎn)目標(biāo)，為答謝各位員工一年來(lái)的辛勤工作，公司決定召開(kāi)年終總結(jié)聯(lián)歡晚會(huì)，在聯(lián)歡晚會(huì)上準(zhǔn)備舉行一個(gè)抽獎(jiǎng)游戲，規(guī)定每位員工從一個(gè)裝有4張獎(jiǎng)券的箱子中，一次性隨機(jī)摸出2張獎(jiǎng)券，獎(jiǎng)券上所標(biāo)的面值之和就是該員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額．若箱子中所裝的4張獎(jiǎng)券中有1張面值為80元，其余3張面值均為40元，則每位員工所獲得的獎(jiǎng)勵(lì)額的均值是()A．80元 B．100元C．120元 D．140元12．設(shè)0<a<eq\f(1,2)，0<b<eq\f(1,2)，隨機(jī)變量的分布列為ξ﹣101Peq\f(1,2)ab則當(dāng)a在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))內(nèi)增大時(shí)，()A．E(ξ)增大，D(ξ)增大 B．E(ξ)增大，D(ξ)減小C．E(ξ)減小，D(ξ)增大 D．E(ξ)減小，D(ξ)減小13．(多選)某學(xué)校共有6個(gè)學(xué)生餐廳，甲、乙、丙、丁四位同學(xué)每人隨機(jī)地選擇一家餐廳就餐(選擇每個(gè)餐廳的概率相同)，則下列結(jié)論正確的是()A．四人去了四個(gè)不同餐廳就餐的概率為eq\f(5,18)B．四人去了同一餐廳就餐的概率為eq\f(1,1296)C．四人中恰有兩人去了第一餐廳就餐的概率為eq\f(25,216)D．四人中去第一餐廳就餐的人數(shù)的均值為eq\f(2,3)14．已知甲盒內(nèi)有大小相同的1個(gè)紅球和3個(gè)黑球，乙盒內(nèi)有大小相同的2個(gè)紅球和4個(gè)黑球，現(xiàn)從甲、乙兩個(gè)盒內(nèi)各任取2個(gè)球．設(shè)ξ為取出的4個(gè)球中紅球的個(gè)數(shù)