小學(xué)奧數(shù)合輯（學(xué)生用書）6-3-3 工程問題（一）

工程問題（一）

1,熟練掌握工程問題的基本數(shù)量關(guān)系與一般解法：

2.工程問題中常出現(xiàn)單獨做，幾人合作或輪流做，分析時一定要學(xué)會分段處理;

3.根據(jù)題目中的實際情況能夠正確進(jìn)行單位“1”的統(tǒng)一和轉(zhuǎn)換；

4.工程問題中的常見解題方法以及工程問題算術(shù)方法在其他類型題目中的應(yīng)用.

工程問題是小學(xué)數(shù)學(xué)應(yīng)用題教學(xué)中的重點，是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的引申與補(bǔ)充，是培養(yǎng)學(xué)生抽象邏輯思

維能力的重要工具。工程問題是把工作總量看成單位“1”的應(yīng)用題，它具有抽象性，學(xué)生認(rèn)知起來比

較困難。在教學(xué)中，讓學(xué)生建立正確概念是解決工程應(yīng)用題的關(guān)鍵。

工程問題的基本概念

定義：工程問題是指用分?jǐn)?shù)來解答有關(guān)工作總量、工作時間和工作效率之間相互關(guān)系的問題。

工作總量：一般抽象成單位“1”

工作效率：單位時間內(nèi)完成的工作量

三個基本公式：工作總量=工作效率x工作時間，

工作效率=工作總量+工作時間，

工作時間=工作總量4■工作效率；

二、為了學(xué)好分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題，必須做到以下幾方面：

①具備整數(shù)應(yīng)用題的解題能力，解決整數(shù)應(yīng)用題的基本知識，如概念、性質(zhì)、法則、公式等廣泣應(yīng)用于

分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

②在理解、掌握分?jǐn)?shù)的意義和性質(zhì)的前提下靈活運(yùn)用；

③學(xué)會畫線段示意圖.線段示意圖能直觀地揭示“量''與"百分率''之間的對應(yīng)關(guān)系，發(fā)現(xiàn)量與百分率之間

的隱蔽條件，可以幫助我們在復(fù)雜的條件與問題中理清思路，正確地進(jìn)行分析、綜合、判斷和推理；

④學(xué)會多角度、多側(cè)面思考問題的方法.分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的條件與問題之間的關(guān)系變化多端，單靠

統(tǒng)一的思路模式有時很難找到正確解題方法.因此，在解題過程中，要善于掌握對應(yīng)、假設(shè)、轉(zhuǎn)化等多種解

題方法，不斷地開拓解題思路.

三、利用常見的數(shù)學(xué)思想方法：

如代換法、比例法、列表法、方程法等

拋開“工作總量”和“時間”，抓住題目給出的工作效率之間的數(shù)量關(guān)系，轉(zhuǎn)化出與所求相關(guān)的工作效率，

最后再利用先前的假設(shè)“把整個工程看成一個單位“，求得問題答案.一般情況下，工程問題求的是時間.

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模塊一'工程問題基本題型

【例1】一項工程，甲單獨做需要28天時間，乙單獨做需要21天時間，如果甲、乙合作需要多少

時間？

【例2】一項工程，甲單獨做需要30天時間，甲、乙合作需要12天時間，如果乙單獨做需要多少時間？

【鞏固】一項工程，甲單獨做需要21天時間，甲、乙合作需要12天時間，如果乙單獨做需要多少時間？

甲乙兩名打字員，打字速度一樣快，甲30分鐘打了4材料的1,乙40分鐘打了8材料的2。4、

【例3】

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B兩份材料中，（填A(yù)或3）內(nèi)容多。

【例4】甲、乙兩人共同加工一批零件，8小時可以完成任務(wù).如果甲單獨加工，便需要12小時完成.現(xiàn)

在甲、乙兩人共同生產(chǎn)了2,小時后，甲被調(diào)出做其他工作，由乙繼續(xù)生產(chǎn)了420個零件才完成任

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務(wù).問乙一共加工零件多少個？

【鞏固】一件工作，甲、乙兩人合作30天可以完成，共同做了6天后，甲離開了，由乙繼續(xù)做了40天才完

成.如果這件工作由甲或乙單獨完成各需要多少天？

【例5］4名工人加工455個零件。開始的4天中有一名工人因事請假1天，結(jié)果共加工195個零件。如果

以后無人清假，那么還要一天可以完成任務(wù)。

【例6】一項工程，甲單獨完成需要12天，乙單獨完成需要9天.若甲先做若干天后乙接著做，共用10天

完成，問甲做了幾天？

【鞏固】一項工程，甲隊單獨做20天可以完成，甲隊做了8天后，由于另有任務(wù)，剩下的工作由乙隊單獨做

15天完成.問：乙隊單獨完成這項工作需多少天？

【例7】有兩個同樣的倉庫，搬運(yùn)完一個倉庫的貨物，甲需6小時，乙需7小時，丙需14小時。甲、乙同

時開始各搬運(yùn)一個倉庫的貨物。開始時，丙先幫甲搬運(yùn)，后來又去幫乙搬運(yùn)，最后兩個倉庫的貨

物同時搬完。則丙幫甲小時，幫乙小時。

［例8］某工程先由甲獨做63天，再由乙單獨做28天即可完成；如果由甲、乙兩人合作，需48天完成.

現(xiàn)在甲先單獨做42天，然后再由乙來單獨完成，那么乙還需要做多少天？

【例9】一項工程，甲隊單獨完成需40天。若乙隊先做10天，余下的工程由甲、乙兩隊合作，又需20天

可完成。如果乙隊單獨完成此工程，則需天。

【例10】一項工程，甲、乙合作需要20天完成，乙、丙合作需要15天完成，由乙單獨做需要30天完成，那

么如果甲、乙、丙合作，完成這項工程需要多少天？

【鞏固】一項工程，甲、乙合作需要9天完成，乙、丙合作需要12天，由丙單獨做需要36天完成，那么如

果甲、丙合作，完成這項工程需要多少天？

【鞏固】一件工作，甲、乙兩人合作36天完成，乙、丙兩人合作45天完成，甲、丙兩人合作要60天完成.

問甲一人獨做需要多少天完成？

【鞏固】一項工作，甲、乙兩人合做8天完成，乙、丙兩人合做9天完成，丙、甲兩人合做18天完成.那

么丙一個人來做，完成這項工作需要多少天？

【例11】一件工程，甲、乙兩人合作8天可以完成，乙、丙兩人合作6天可以完成，丙、丁兩人合作12天

可以完成.那么甲、丁兩人合作多少天可以完成？

【鞏固】修筑一條高速公里。若甲、乙、丙合作，9()天可完工：若甲、乙、丁合作，120天可完工；若丙、丁合作,

180天可完工，若甲、乙合作36天后，剩下的工程由甲、乙、丙、丁合作。還需多少天可完工？

【例12】一些工人做一項工程，如果能調(diào)來16人，那么10天可以完成；如果只調(diào)來4人，就要20天才能

完成，那么調(diào)走2人后，完成這項工程需要天.

【例13】甲、乙兩輛清潔車執(zhí)行東、西城間的公路清掃任務(wù).甲車單獨清掃需10小時，乙車單獨清掃需15

小時，兩車同時從東、西城相向開出，相遇時甲車比乙車多清掃12千米.問：東、西兩城相距多

少千米？

【例14】一項工程，甲單獨做40天完成，乙單獨做60天完成.現(xiàn)在兩人合作，中間甲因病休息了若干天,

所以經(jīng)過了27天才完成.問甲休息了幾天？

【鞏固】一項工程，甲單獨做20天完成，乙單獨做30天完成.甲、乙合作了幾天后，乙因事請假，甲繼續(xù)

做，從開工到完成任務(wù)共用了16天.乙請假多少天？

【鞏固】有一條公路，甲隊獨修需10天，乙隊獨修需12天，丙隊獨修需15天.現(xiàn)在讓3個隊合修，但中

途甲隊撤出去到另外工地，結(jié)果用了6天才把這條公路修完.當(dāng)甲隊撤出后，乙、丙兩隊又共同合

修了多少天才完成？

【例15】一池水，甲、乙兩管同時開，5小時灌滿；乙、丙兩管同時開，4小時灌滿.現(xiàn)在先開乙管6小時,

還需甲、丙兩管同時開2小時才能灌滿.乙單獨開幾小時可以灌滿？

【例16】某水池可以用甲、乙兩個水管注水，單開甲管需12小時注滿，單開乙管需24小時注滿，若要求

10小時注滿水池，且甲、乙兩管同時打開的時間盡量少，那么甲、乙最少要同時開放小

時.

【例17】一個蓄水池，每分鐘流入4立方米水.如果打開5個水龍頭，2小時半就把水池水放空，如果打開8

個水龍頭，1小時半就把水池水放空.現(xiàn)在打開13個水龍頭，問要多少時間才能把水放空？

【例18】有10根大小相同的進(jìn)水管給A、3兩個水池注水，原計劃用4根進(jìn)水管給4水池注水，其余6根

給8水池注水，那么5小時可同時注滿.因為發(fā)現(xiàn)A水池以一定的速度漏水，所以改為各用5根

進(jìn)水管給水池注水，結(jié)果也是同時注滿.（1）如果用10根進(jìn)水管給漏水的A水池注水，需要多少分

鐘注滿?（2）如果增加4根同樣的進(jìn)水管，A水池仍然漏水，并且要求在注水過程中每個水池的進(jìn)水

管的數(shù)量保持不變，那么要把兩個水池注滿最少需要多少分鐘？（結(jié)果四舍五入到個位）

【例19】有一項工程，甲單獨做需要36天完成，乙單獨做需要30天完成，丙單獨做需要48天完成.現(xiàn)