高等代數(shù)課件(北大版)第二章-行列式§2.2

§4n級(jí)行列式的性質(zhì)§8Laplace定理行列式乘法法則§3n級(jí)行列式§2排列§1引言§5行列式的計(jì)算§7Cramer法則§6行列式按行(列)展開(kāi)第二章行列式1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、排列二、逆序逆序數(shù)§2.2排列三、奇排列偶排列四、對(duì)換1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一、排列定義稱為一個(gè)級(jí)排列．由1，2，…，n

組成的一個(gè)有序數(shù)組123，132，213，231，312，321．如，所有的3級(jí)排列是

——共6=3！個(gè).(

階乘)注：所有不同級(jí)排列的總數(shù)是1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院二、逆序逆序數(shù)我們規(guī)定各元素之間有一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)次序,n個(gè)不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.定義一個(gè)排列中逆序的總數(shù)稱為這個(gè)排列的逆序數(shù)．在一個(gè)排列中，如果一對(duì)數(shù)的前后位置與標(biāo)準(zhǔn)次序相反，即前面的數(shù)大于后面的數(shù)，則稱這對(duì)數(shù)為一個(gè)逆序；1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院①排列123稱為標(biāo)準(zhǔn)排列，其逆序數(shù)為０．注：②排列的逆序數(shù)常記為③

后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù).后面比小的數(shù)的個(gè)數(shù)或前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)前面比大的數(shù)的個(gè)數(shù)．方法一方法二1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院例1．排列

31542中，逆序有31，32，54，52，42的逆序數(shù).例2．求級(jí)排列解：方法一1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列；逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列．三、奇排列、偶排列定義標(biāo)準(zhǔn)排列

123為偶排列．注：練習(xí)：求下列排列的逆序數(shù)并討論其奇偶性．（1）（2）1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院答案:（2）當(dāng)時(shí)為偶排列；當(dāng)時(shí)為奇排列.當(dāng)為偶數(shù)時(shí)為偶排列，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)為奇排列.方法一方法二1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院四、對(duì)換定義把一個(gè)排列中某兩個(gè)數(shù)的位置互換，而其余的數(shù)不動(dòng)，得到另一個(gè)排列，這一變換稱為一個(gè)對(duì)換．將相鄰兩個(gè)元素對(duì)調(diào)，叫做相鄰對(duì)換．1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院證明1)特殊情形：作相鄰對(duì)換對(duì)換與除外，其它元素所成逆序不改變.對(duì)換改變排列的奇偶性．即經(jīng)過(guò)一次對(duì)換，奇排列變成偶排列，偶排列變成奇排列．定理1設(shè)排列為1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院當(dāng)時(shí)，所成逆序不變;經(jīng)對(duì)換后的逆序增加1個(gè),經(jīng)對(duì)換后所成逆序不變，的逆序減少1個(gè).因此對(duì)換相鄰兩個(gè)元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為當(dāng)時(shí)，現(xiàn)來(lái)對(duì)換與2)

一般情形1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換次相鄰對(duì)換所以一個(gè)排列中的任意兩個(gè)元素對(duì)換，排列改變奇偶性.1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院所有級(jí)排列中，奇、偶排列各半，均為個(gè).設(shè)在全部

階排列中，有個(gè)奇排列，個(gè)偶排列，下證．將

個(gè)奇排列的前兩個(gè)數(shù)對(duì)換，則這

個(gè)奇排列全變成偶排列，并且它們彼此不同，同理，將

個(gè)偶排列的前兩個(gè)數(shù)對(duì)換，則這

個(gè)偶排列全變成奇排列，并且它們彼此不同，推論證明故1/26/2024數(shù)學(xué)與計(jì)算科學(xué)學(xué)院一系列對(duì)換互換，并且所作對(duì)換的次數(shù)與這個(gè)任意一個(gè)排列與標(biāo)準(zhǔn)排列都可經(jīng)過(guò)排列的奇偶性相同．定理2

由定理1知對(duì)換的次數(shù)就是排列奇偶性的變化次數(shù),因此知結(jié)論成立.證明而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排