新教材適用2023-2024學年高中數(shù)學第7章復數(shù)7.2復數(shù)的四則運算7.2.1復數(shù)的加減運算及其幾何意義學案新人教A版必修第二冊

7.2.1復數(shù)的加、減運算及其幾何意義課標要求熟練掌握復數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算法則，理解復數(shù)加、減法的幾何意義．素養(yǎng)要求通過本節(jié)課的學習，體會數(shù)學運算素養(yǎng)及數(shù)學抽象素養(yǎng).知識點1復數(shù)的加、減法運算法則設z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1＋z2＝(a＋c)＋(b＋d)i，z1－z2＝_(a－c)＋(b－d)i__.知識點2復數(shù)加法的運算律(1)交換律：_z1＋z2＝z2＋z1__；(2)結合律：(z1＋z2)＋z3＝_z1＋(z2＋z3)__.[拓展]1．對復數(shù)的加法法則的理解．(1)兩個復數(shù)相加，類似于兩個多項式相加：實部與實部相加，虛部與虛部相加．很明顯，兩個復數(shù)的和仍然是一個確定的復數(shù)．但是兩個虛數(shù)之和不一定是一個虛數(shù)，如(－i)＋i＝0.(2)當z1，z2都是實數(shù)時，把它們看作復數(shù)時的和就是這兩個實數(shù)的和．(3)復數(shù)的加法可以推廣到多個復數(shù)相加的情形：各復數(shù)的實部分別相加，虛部分別相加．2．對復數(shù)的減法法則的理解．(1)兩個復數(shù)相減，類似于兩個多項式相減：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成關于“i”的多項式，則復數(shù)的減法類似于多項式的減法，只需要“合并同類項”就可以了．(2)很明顯，兩個復數(shù)的差是一個確定的復數(shù)．但是兩個虛數(shù)之差不一定是一個虛數(shù)，如(3＋2i)－2i＝3.3．運算律：實數(shù)加法的交換律、結合律在復數(shù)集中仍成立．實數(shù)的移項法則在復數(shù)中仍然成立．4．運算結果：兩個復數(shù)的和(差)是唯一確定的復數(shù)．練一練：1．已知復數(shù)z1＝5＋3i，z2＝3－7i，則z1＋z2等于(C)A．－4i B．8C．8－4i D．2＋10i[解析]z1＋z2＝5＋3i＋3－7i＝8－4i.2．已知復數(shù)z＋3i－3＝3－3i，則z＝(D)A．0 B．6iC．6 D．6－6i[解析]∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.知識點3復數(shù)加、減法的幾何意義如圖，設在復平面內復數(shù)z1，z2對應的向量分別為eq\o(OZ1,\s\up6(→))，eq\o(OZ2,\s\up6(→))，以OZ1，OZ2為鄰邊作平行四邊形，則與z1＋z2對應的向量是eq\o(OZ,\s\up6(→))，與z1－z2對應的向量是eq\o(Z2Z1,\s\up6(→)).[提醒]向量eq\o(Z1Z2,\s\up6(→))對應的復數(shù)是z2－z1，而不是z1－z2，即終點對應的復數(shù)減起點對應的復數(shù)，這個順序是不能顛倒的．練一練：在復平面內，向量eq\o(OZ1,\s\up6(→))對應的復數(shù)是5－4i，向量eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)是－5＋4i，則eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)是(C)A．－10＋8i B．10－8iC．0 D．10＋8i[解析]eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，故eq\o(OZ1,\s\up6(→))＋eq\o(OZ2,\s\up6(→))對應的復數(shù)為0.知識點4復平面內兩點間的距離設復數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)在復平面內對應的點分別是Z1(a，b)，Z2(c，d)，則|Z1Z2|＝eq\r(a－c2＋b－d2)，又復數(shù)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，則|z1－z2|＝eq\r(a－c2＋b－d2)，故|Z1Z2|＝|z1－z2|.即|z1－z2|表示復數(shù)z1，z2，在復平面內對應的點之間的距離．想一想：類比絕對值|x－x0|的幾何意，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？提示：|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是兩個復數(shù)在復平面對應的點之間的距離.題型探究題型一復數(shù)代數(shù)形式的加、減法運算典例1(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)；(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]；(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．[分析]根據(jù)復數(shù)的加減運算法則即可求解．[解析](1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)＝(1＋7－5)＋(2－11－6)i＝3－15i.(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]＝5i－(7＋5i)＝－7.(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．[歸納提升]復數(shù)加、減運算的法則(1)復數(shù)代數(shù)形式的加、減法運算實質就是將實部與實部相加減，虛部與虛部相加減之后分別作為結果的實部與虛部，因此要準確地提取復數(shù)的實部與虛部．(2)復數(shù)的運算可以類比多項式的運算(類似于合并同類項)：若有括號，括號優(yōu)先；若無括號，可以從左到右依次進行計算．對點練習?計算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．[解析](1)原式＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)＝(3－7i)－(3＋4i)＝(3－3)＋(－7－4)i＝－11i.(2)原式＝(－1＋i)＋1＋(1＋i)＝(－1＋1＋1)＋(1＋1)i＝1＋2i.題型二復數(shù)加、減法及復數(shù)模的幾何意義典例2如圖，平行四邊形OABC的頂點O，A，C對應復數(shù)分別為0,3＋2i，－2＋4i，試求：(1)eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的復數(shù)，eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復數(shù)；(2)對角線eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)；(3)對角線eq\o(OB,\s\up6(→))所表示的復數(shù)及eq\o(OB,\s\up6(→))的長度．[分析]要求某個向量對應的復數(shù)，只要找出所求向量的始點和終點，或者用向量的相等直接給出所求的結論．[解析](1)eq\o(AO,\s\up6(→))＝－eq\o(OA,\s\up6(→))，∴eq\o(AO,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為－3－2i.∵eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(AO,\s\up6(→))，∴eq\o(BC,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為－3－2i.(2)eq\o(CA,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))－eq\o(OC,\s\up6(→)).∴eq\o(CA,\s\up6(→))所表示的復數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.(3)對角線eq\o(OB,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))，它所對應的復數(shù)z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，|eq\o(OB,\s\up6(→))|＝eq\r(12＋62)＝eq\r(37).[歸納提升]利用復數(shù)加減運算的幾何意義解題的技巧及常見結論(1)形轉化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉化成復數(shù)運算去處理．(2)數(shù)轉化為形：對于一些復數(shù)運算也可以給予幾何解釋，使復數(shù)作為工具運用于幾何之中．對點練習?已知四邊形ABCD是復平面上的平行四邊形，頂點A，B，C分別對應于復數(shù)－5－2i，－4＋5i,2，求點D對應的復數(shù)及對角線AC，BD的長．[解析]如圖，因為AC與BD的交點M是各自的中點，所以有zM＝eq\f(zA＋zC,2)＝eq\f(zB＋zD,2)，所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，因為eq\o(AC,\s\up6(→))：zC－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，所以|eq\o(AC,\s\up6(→))|＝|7＋2i|＝eq\r(72＋22)＝eq\r(53)，因為eq\o(BD,\s\up6(→))：zD－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，所以|eq\o(BD,\s\up6(→))|＝|5－12i|＝eq\r(52＋122)＝13.故點D對應的復數(shù)是1－7i，AC與BD的長分別是eq\r(53)和13.題型三復數(shù)加法、減法幾何意義的應用典例3(1)如果復數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是(A)A．1 B．eq\f(1,2)C．2 D．eq\r(5)(2)若復數(shù)z滿足|z＋eq\r(3)＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．[分析]涉及復數(shù)模的最值問題以及點的軌跡問題，均可從兩點間距離公式的復數(shù)表達形式入手進行分析判斷，然后通過幾何方法進行求解．[解析](1)設復數(shù)－i，i，－1－i在復平面內對應的點分別為Z1，Z2，Z3，因為|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，所以點Z的集合為線段Z1Z2.問題轉化為：動點Z在線段Z1Z2上移動，求|ZZ3|的最小值，因為|Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.(2)如圖所示，|eq\o(OM,\s\up6(→))|＝eq\r(－\r(3)2＋－12)＝2.所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.[歸納提升]兩個復數(shù)差的模的幾何意義(1)|z－z0|表示復數(shù)z，z0的對應點之間的距離，在應用時，要把絕對值號內變?yōu)閮蓮蛿?shù)差的形式．(2)|z－z0|＝r表示以z0對應的點為圓心，r為半徑的圓．對點練習?若本例(2)條件改為已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．[解析]因為|z|＝1且z∈C，作圖如圖：所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點M到復平面上的點P(2,2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝2eq\r(2)－1.易錯警示誤解復數(shù)加法、減法的幾何意義典例4A，B分別是復數(shù)z1，z2在復平面內對應的點，O是原點，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則三角形AOB一定是(B)A．等腰三角形 B．直角三角形C．等邊三角形 D．等腰直角三角形[錯解]A[錯因分析]向量加法、減法運算的平行四邊形法則和三角形法則是復數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù)．利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點，在三角形內可求得第三個向量及其對應的復數(shù)．注意向量eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數(shù)是zB－zA(終點對應的復數(shù)減去起點對應的復數(shù))．[正解]根據(jù)復數(shù)加(減)法的幾何意義，知以eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OB,\s\up6(→))為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等，則此平行四邊形為矩形，故三角形OAB為直角三角形．對點練習?△ABC的三個頂點所對應的復數(shù)分別為z1，z2，z3，復數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應的點是△ABC的(A)A．外心 B．內心C．重心 D．垂心[解析]由復數(shù)模及復數(shù)減法運算的幾何意義，結合條件可知復數(shù)z的對應點P到△ABC的頂點A、B、C距離相等，∴P為△ABC的外心．1．已知復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1－z2＝(A)A．8i B．6C．6＋8i D．6－8i[解析]∵復數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.2．在復平面內，O是坐標原點，向量eq\o(OA,\s\up6(→))，eq\o(OC,\s\up6(→))，eq\o(AB,\s\up6(→))對應的復數(shù)分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么eq\o(BC,\s\up6(→))對應的復數(shù)為(C)A．4＋7i B．1＋3iC．4－4i D．－1＋6i[解析]eq\o(BC,\s\up6(→))＝eq\o(BA,\s\up6(→))＋eq\o(AO,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－eq\o(AB,\s\up6(→))－eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OC,\s\up6(→))＝－1－5i＋2－i＋3＋2i＝4－4i，故選C．3．(多選題)下面關于|(3＋2i)－(1＋i)|的說法表述正確的是(ACD)A．點(3,2)與點(1,1)之間的距離B．點(3,2)與點(－1，－1)之間的距離C．點(2,1)到原點的距離D．坐標為(－2，－1)的向量的模[解析]由復數(shù)的幾何意義，知復數(shù)(3＋2i)，(1＋i)分別對應復平面內的點(3,2)與點(1,1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示點(3,2)與點(1,1)之間的距離，故A正確；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i，與向量(2,1)一一對應，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i，與向量(－2，－1)一一對應，故C、D正確．4．如圖在復平面上，一個正方形的三個頂點對應的復數(shù)分別是1＋2i，－2＋i,0，那么這個正方形的第四個頂點對應的復數(shù)為(D)A．3＋i B．3－iC．1－3i D．－1＋3i[解析]∵eq\o(OC,\s\up6(→))