新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.1基本立體圖形第2課時旋轉(zhuǎn)體和簡單組合體學(xué)案新人教A版必修第二冊

第2課時旋轉(zhuǎn)體和簡單組合體課標(biāo)要求1．利用實物、計算機軟件等觀察空間圖形，認(rèn)識圓柱、圓錐、圓臺、球及簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征．2．能運用這些特征描述現(xiàn)實生活中簡單物體的結(jié)構(gòu)．素養(yǎng)要求在旋轉(zhuǎn)體與簡單組合體概念的形成中，經(jīng)歷由具體到抽象，由一般到特殊的過程，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).知識點1圓柱的結(jié)構(gòu)特征定義以矩形的一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓柱有關(guān)概念旋轉(zhuǎn)軸叫做圓柱的軸；垂直于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的圓面叫做圓柱的底面；平行于軸的邊旋轉(zhuǎn)而成的曲面叫做圓柱的側(cè)面；無論旋轉(zhuǎn)到什么位置，平行于軸的邊都叫做圓柱側(cè)面的母線圖形表示法用表示它的軸的字母，即表示兩底面圓心的字母表示，上圖中的圓柱可記作圓柱O′O規(guī)定圓柱和棱柱統(tǒng)稱為柱體[拓展]圓柱的簡單性質(zhì)：(1)圓柱有無數(shù)條母線，它們互相平行且相等．(2)平行于底面的截面是與底面大小相同的圓，如圖①所示．(3)過軸的截面(軸截面)都是全等的矩形，如圖②所示．(4)過任意兩條母線的截面是矩形，如圖③所示．練一練：如圖，在圓柱中任取不重合的兩條母線，如AB，CD，它們有何關(guān)系？過它們的截面是怎樣的圖形？連接AC，AC還是母線嗎？[解析]AB綉CD，截面ABCD是矩形．AC不是母線．知識點2圓錐的結(jié)構(gòu)特征定義以直角三角形的一條直角邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余兩邊旋轉(zhuǎn)一周形成的面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做圓錐圖形有關(guān)概念如上圖所示，軸為SO，底面為⊙O，SA為母線．另外，S叫做圓錐的頂點，OA(或OB)叫做底面⊙O的半徑表示法圓錐用表示它的軸的字母表示，上圖中的圓錐可記作圓錐SO規(guī)定棱錐與圓錐統(tǒng)稱為錐體[拓展]圓錐的簡單性質(zhì)：(1)圓錐有無數(shù)條母線，它們有公共點即圓錐的頂點，且長度相等．(2)平行于底面的截面都是圓，如圖①所示．(3)過軸的截面(軸截面)是全等的等腰三角形，如圖②所示．(4)過任意兩條母線的截面是等腰三角形，如圖③所示．練一練：下列命題中，正確的是(A)A．以直角三角形的一直角邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐B．以直角梯形的一腰所在的直線為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺C．圓柱、圓錐、圓臺都有兩個底面D．圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐底面圓的半徑[解析]以直角梯形垂直于底邊的腰所在的直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體才是圓臺，所以B選項不正確；圓錐僅有一個底面，所以C選項不正確；圓錐的側(cè)面展開圖為扇形，這個扇形所在圓的半徑等于圓錐的母線長，所以D選項不正確．很明顯選項A正確．知識點3圓臺的結(jié)構(gòu)特征定義用平行于圓錐底面的平面去截圓錐，底面與截面之間的部分叫做圓臺圖形有關(guān)概念原圓錐的底面和截面分別叫做圓臺的下底面和上底面．與圓柱和圓錐一樣，圓臺也有軸、側(cè)面、母線，如上圖所示，軸為OO′，AA′為母線表示法用表示軸的字母表示，上圖中的圓臺可記作圓臺OO′規(guī)定圓臺與棱臺統(tǒng)稱為臺體[拓展]圓臺的簡單性質(zhì)：(1)圓臺有無數(shù)條母線，且它們相等，延長后相交于一點．(2)平行于底面的截面是圓，如圖①所示．(3)過軸的截面是全等的等腰梯形，如圖②所示．(4)過任意兩條母線的截面是等腰梯形，如圖③所示．練一練：判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)(1)直角三角形繞一邊所在直線旋轉(zhuǎn)得到的旋轉(zhuǎn)體是圓錐．(×)(2)夾在圓柱的兩個平行截面間的幾何體是一圓柱．(×)(3)圓錐截去一個小圓錐后剩余部分是圓臺．(√)知識點4球定義半圓以它的_直徑__所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，旋轉(zhuǎn)_一周__形成的曲面叫做球面，球面所圍成的旋轉(zhuǎn)體叫做球體，簡稱球有關(guān)概念半圓的圓心叫做球的球心；半圓的半徑叫做球的半徑；半圓的直徑叫做球的直徑圖形表示法球常用表示球心的字母表示，如上圖中的球記作球O想一想：半圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成什么？它與球有區(qū)別嗎？提示：半圓繞它的直徑所在直線旋轉(zhuǎn)一周形成球面．球面是一曲面，它只能度量面積而不能度量體積，球是由球面圍成的幾何體，它不僅可以度量表面積，還可以度量體積．練一練：(多選題)下列說法正確的是(AC)A．球的半徑是球面上任意一點與球心的連線段B．球面上任意兩點的連線段是球的直徑C．用一個平面截一個球，得到的截面是一個圓面D．以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)形成的曲面叫做球[解析]A是正確的；B是錯誤的，只有兩點的連線經(jīng)過球心時才為直徑；C是正確的；球面和球是兩個不同的概念，以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面叫做球面，球面圍成的幾何體叫做球，故D錯誤．知識點5圓柱、圓錐、圓臺的展開圖及側(cè)面展開圖(如下表)名稱展開圖側(cè)面展開圖圓柱矩形和兩個圓矩形圓錐扇形和圓扇形圓臺扇環(huán)和兩個圓扇環(huán)題|型|探|究題型一旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)特征典例1下列結(jié)論正確的是_④⑥⑧__.①以直角三角形的一邊為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓錐；②以直角梯形的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體是圓臺；③圓柱、圓錐、圓臺的底面都是圓；④以等腰三角形的底邊上的高所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余各邊旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面圍成的幾何體是圓錐；⑤球面上四個不同的點一定不在同一平面內(nèi)；⑥空間中到定點的距離等于定長的所有的點構(gòu)成的曲面是球面；⑦球面上任意三點可能在一條直線上；⑧用一個平面去截球，得到的截面是一個圓面．[分析]準(zhǔn)確理解旋轉(zhuǎn)體的定義，在此基礎(chǔ)上掌握各旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)，才能更好地把握它們的結(jié)構(gòu)特征，以作出準(zhǔn)確的判斷．[解析]①以直角三角形的一條直角邊為軸旋轉(zhuǎn)一周才可以得到圓錐；②以直角梯形垂直于底邊的一腰為軸旋轉(zhuǎn)一周可得到圓臺；③它們的底面為圓面；④正確；作球的一個截面，在截面的圓周上任意取四點，則這四點就在球面上，故⑤錯誤；根據(jù)球的定義可知⑥正確；球面上任意三點一定不共線，故⑦錯誤；用一個平面去截球，一定截得一個圓面，故⑧正確．[歸納提升]圓柱、圓錐、圓臺、球都是常見的旋轉(zhuǎn)體，熟練掌握它們結(jié)構(gòu)特征，弄清旋轉(zhuǎn)體的性質(zhì)是準(zhǔn)確作圖解題的前提．對點練習(xí)?下列結(jié)論：①任意平面截圓柱，截面都是圓面；②圓錐的頂點與底面圓周上任意一點的連線是圓錐的母線；③在圓臺上、下兩底面的圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線．其中正確的是(B)A．① B．②C．①② D．②③[解析]過兩母線的截面為矩形，有時截的截面為橢圓，故①錯；根據(jù)母線的定義和特點，③錯誤；②正確，故選B.題型二圓柱、圓錐、圓臺中的計算問題典例2如圖所示，用一個平行于圓錐SO底面的平面截這個圓錐，截得圓臺上、下底面的面積之比為1∶16，截去的圓錐的母線長是3cm，求圓臺O′O的母線長．[解析]設(shè)圓臺的母線長為lcm，由截得的圓臺上、下底面面積之比為1∶16，可設(shè)截得的圓臺的上、下底面的半徑分別為rcm，4rcm.過軸SO作截面，如圖所示．則△SO′A′∽△SOA，SA′＝3cm.所以eq\f(SA′,SA)＝eq\f(O′A′,OA).所以eq\f(3,3＋l)＝eq\f(r,4r)＝eq\f(1,4).解得l＝9，即圓臺的母線長為9cm.對點練習(xí)?(1)圓臺兩底面半徑分別是2cm和5cm，母線長是3eq\r(10)cm，則它的軸截面的面積是_63_cm2__.(2)一圓錐的母線長為6，底面半徑為3，用該圓錐截一圓臺，截得圓臺的母線長為4，則圓臺的另一底面半徑為_1__.[解析](1)畫出軸截面，如圖，過A作AM⊥BC于M，則BM＝5－2＝3(cm)，AM＝eq\r(AB2－BM2)＝9cm，所以S四邊形ABCD＝eq\f(4＋10×9,2)＝63(cm2)．(2)作軸截面如圖，則eq\f(r,3)＝eq\f(6－4,6)＝eq\f(1,3)，所以r＝1.題型三簡單組合體的結(jié)構(gòu)特征典例3如圖，繞虛線旋轉(zhuǎn)一周后形成的旋轉(zhuǎn)體是由哪些簡單幾何體組成的？[解析]如圖所示，由一個圓錐O4O5，一個圓柱O3O4及一個圓臺O1O3中挖去圓錐O1O2組成的．[歸納提升]平面圖形繞某條直線旋轉(zhuǎn)時，要過有關(guān)頂點向軸作垂線，然后分析旋轉(zhuǎn)體的結(jié)構(gòu)和組成．對點練習(xí)?如圖，AB為圓弧BC所在圓的直徑，∠BAC＝45°.將這個平面圖形繞直線AB旋轉(zhuǎn)一周，得到一個組合體，這個組合體是由_一個圓錐和一個半球體__組成的．[解析]如圖所示，這個組合體是由一個圓錐和一個半球體拼接而成的．易|錯|警|示旋轉(zhuǎn)體的概念不清致誤典例4如圖所示，它們是不是棱錐、棱臺、圓柱、圓錐等幾何體？[錯解]圖①是圓柱；圖②是圓錐．[錯因分析]不能只依據(jù)概念的某一結(jié)論去判斷．判斷幾何體的形狀時，要考慮周全，要滿足幾何體的所有特征．[正解]圖①不是圓柱，因為上下兩面不平行(或不是由一個矩形旋轉(zhuǎn)而成)；圖②不是由一個直角三角形旋轉(zhuǎn)而成，故不是圓錐．對點練習(xí)?下列幾何體中(A)A．旋轉(zhuǎn)體3個，臺體(棱臺和圓臺)2個B．旋轉(zhuǎn)體3個，柱體(棱柱和圓柱)5個C．柱體3個，錐體(棱錐或圓錐)4個D．旋轉(zhuǎn)體3個，多面體4個[解析](6)(7)(8)為旋轉(zhuǎn)體，(5)(7)為臺體.1．下列幾何體中是旋轉(zhuǎn)體的是(B)①圓柱；②六棱錐；③正方體；④球體；⑤四面體．A．① B．①和④C．①和⑤ D．③和④[解析]①④是旋轉(zhuǎn)體，②③⑤是多面體，故選B.2．(多選題)給出下列說法：①圓柱的母線與它的軸可以不平行；②圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形；③在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，則這兩點的連線是圓臺的母線；④圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的．其中正確的是(BD)A．① B．②C．③ D．④[解析]對于①，圓柱的母線與它的軸是平行的，所以①錯誤；對于②，圓錐的頂點、圓錐底面圓周上任意一點及底面圓的圓心三點的連線都可以構(gòu)成直角三角形，所以②正確；對于③，在圓臺的上、下兩底面圓周上各取一點，這兩點的連線不一定是圓臺的母線，所以③錯誤；對于④，圓柱的任意兩條母線所在的直線是互相平行的，所以④正確．3．圓柱的母線長為10，則其高等于(B)A．5 B．10C．20 D．不確定[解析]圓柱的母線長與高相等，則其高等于10.4．下列四個命題中正確的是(A)A．當(dāng)平面到球心的距離小于球半徑時，球面與平面的交線總是一個圓B．過球面上兩點只能作一個球的大圓C．過空間四個點總能做一個球D．球面上兩點間的最短球面距離等于過這兩點作一個平面與球面的交線圓上兩點間的劣弧長[解析]當(dāng)平面到球心的距離小于球半徑時，