新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.5空間中直線平面的平行8.5.2直線與平面平行學(xué)案新人教A版必修第二冊

8．5.2直線與平面平行課標(biāo)要求1．借助長方體，通過直觀感知，歸納出直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并加以證明．2．會應(yīng)用直線與平面平行的判定定理證明直線與平面平行．素養(yǎng)要求通過線面平行問題的證明，培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)；借助幾何體判定直線與平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)；通過根據(jù)平行關(guān)系進(jìn)行數(shù)值計算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).知識點(diǎn)1直線與平面平行的判定定理文字語言如果_平面外__一條直線與此_平面內(nèi)__的一條直線_平行__，那么該直線與此平面平行符號語言_a?α，b?α，且a∥b__?a∥α圖形語言想一想：若一直線與平面內(nèi)的一條直線平行，一定有該直線與平面平行嗎？提示：不一定．也有可能直線在平面內(nèi)，所以一定要強(qiáng)調(diào)直線在平面外．練一練：能保證直線a與平面α平行的條件是(D)A．b?α，a∥bB．b?α，c∥α，a∥b，a∥cC．b?α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BDD．a(chǎn)?α，b?α，a∥b[解析]由線面平行的判定定理可知，D正確．知識點(diǎn)2直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語言一條直線與一個平面_平行__，如果過該直線的平面與此平面相交，那么該直線與_交線__平行符號語言a∥α，_a?β，α∩β＝b__?a∥b圖形語言想一想：(1)一條直線平行于一個平面，則該直線平行于這個平面內(nèi)的任意一條直線嗎？(2)若直線a∥平面α，過a與α相交的平面有多少個？它們與α的交線相互之間有什么關(guān)系？提示：(1)一條直線平行于一個平面，它可以與平面內(nèi)的無數(shù)條直線平行，但不能與平面內(nèi)的任意一條直線平行，這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行，也可能異面．(2)過a與α相交的平面有無數(shù)多個，由線面平行的性質(zhì)定理可知，這些交線都與a平行，故它們相互之間互相平行．練一練：已知a、b是兩條相交直線，a∥α，則b與α的位置關(guān)系是(D)A．b∥α B．b與α相交C．b?α D．b∥α或b與α相交[解析]由題意得b∥α和b與α相交都有可能．故選D.題|型|探|究題型一理解線面平行典例1如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是(D)A．相交 B．b∥αC．b?α D．b∥α或b?α[解析]由a∥b，且a∥α，知b∥α或b?α.[歸納提升]線面平行的判定定理必須具備三個條件(1)直線a在平面α外，即a?α；(2)直線b在平面α內(nèi)，即b?α；(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個條件缺一不可．對點(diǎn)練習(xí)?下列說法正確的是(D)A．若直線l平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線，則l∥αB．若直線a在平面α外，則a∥αC．若直線a∩b＝?，直線b?α，則a∥αD．若直線a∥b，b?α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無數(shù)條直線[解析]直線l還可以在平面α內(nèi)，A錯誤；直線a在平面α外，包括平行和相交，B錯誤；a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi)，C錯誤．故選D.題型二直線與平面平行的判定典例2如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M為PD的中點(diǎn)，求證：PB∥平面ACM.[證明]連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OM，∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，∴OM為△DPB的中位線，∴OM∥PB.又OM?平面ACM，而PB?平面ACM，∴PB∥平面ACM.[歸納提升]利用直線與平面平行的判定定理證線面平行的步驟上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形的性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理．對點(diǎn)練習(xí)?如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.[解析]連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，知EF∥BC1.又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.又EF?平面AD1G，AD1?平面AD1G，所以EF∥平面AD1G.題型三直線與平面平行的性質(zhì)典例3如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.[分析]根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，要證AP∥GH，只需證AP∥平面BDM，只需證AP與平面BDM中的某一條直線平行．[證明]如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是AC的中點(diǎn)．又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.又AP?平面BMD，OM?平面BMD，∴AP∥平面BMD.又∵AP?平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.[歸納提升](1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟(2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過已知直線的平面與這個平面相交的交線，然后確定線線平行．對點(diǎn)練習(xí)?如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過A1，B，C1的平面與平面ABC相交于l，則(A)A．l∥AC B．l與AC相交C．l與AC異面 D．以上均不對[解析]∵ABC－A1B1C1為三棱柱，∴A1C1∥AC，又AC?平面ABC，A1C1?平面ABC，∴A1C1∥平面ABC，又平面A1C1B∩平面ABC＝l，∴A1C1∥l，∴l(xiāng)∥AC.故選A.題型四直線與平面平行的判定、性質(zhì)的應(yīng)用典例4如圖，三棱錐A－BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：CD∥平面EFGH.[證明]因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以EF∥GH，因?yàn)镋F?平面BCD，GH?平面BCD，所以EF∥平面BCD，又因?yàn)镋F?平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD，因?yàn)镋F?平面EFGH，CD?平面EFGH，所以CD∥平面EFGH.[歸納提升]關(guān)于線面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用線面平行的判定是由線線平行→線面平行，性質(zhì)定理是由線面平行→線線平行，因此線線平行與線面平行可以相互轉(zhuǎn)化，也體現(xiàn)了平面和空間平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．對點(diǎn)練習(xí)?如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點(diǎn)，過A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M.求證：(1)PD∥平面ANC；(2)M是PC中點(diǎn)．[證明](1)連接BD，AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接NO，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴O是BD的中點(diǎn)，在△PBD中，N是PB的中點(diǎn)，∴PD∥NO，又NO?平面ANC，PD?平面ANC，∴PD∥平面ANC.(2)∵底面ABCD為平行四邊形，∴AD∥BC，∵BC?平面ADMN，AD?平面ADMN，∴BC∥平面ADMN.∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，BC在面PBC內(nèi)，∴BC∥MN，又N是PB的中點(diǎn)，∴M是PC的中點(diǎn)．易|錯|警|示忽視定理的必備條件典例5證明：已知平面外的兩條平行線中的一條平行于這個平面，那么另一條直線也平行于該平面．已知：a∥b，a?β，b?β，a∥β.求證：b∥β.[錯解]因?yàn)閍∥b，所以直線a，b確定平面γ，設(shè)β∩γ＝c.因?yàn)閍∥β，所以a∥c，又因?yàn)閍∥b，所以b∥c，又因?yàn)閏?β，b?β，所以b∥β.出錯的原因是此時直線a，b確定的平面γ與β不一定相交，也可能平行，所以直線c也可能不存在．[錯因分析]使用定理證明或判斷線線平行或線面平行時，一定要注意定理成立的條件，缺一不可．[正解]在平面β內(nèi)任一點(diǎn)A，因?yàn)閍∥β，所以A?a.設(shè)點(diǎn)A與直線a確定平面γ，β∩γ＝c.又a∥β，由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，又a∥b，所以b∥c，又c?β，b?β，所以b∥β.對點(diǎn)練習(xí)?b是平面α外的一條直線，可以推出b∥α的條件是(D)A．b與α內(nèi)的一條直線不相交B．b與α內(nèi)的兩條直線不相交C．b與α內(nèi)的無數(shù)條直線不相交D．b與α內(nèi)的任何一條直線都不相交[解析]∵b∥α，∴b與α無公共點(diǎn)，從而b與α內(nèi)任何一條直線無公共點(diǎn)．1．三棱臺ABC－A1B1C1中，直線AB與平面A1B1C1的位置關(guān)系是(B)A．相交 B．平行C．在平面內(nèi) D．不確定[解析]∵AB∥A1B1，AB?平面A1B1C1，A1B1?平面A1B1C1，∴AB∥平面A1B1C1.2．若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是(D)A．平面α內(nèi)不存在與a平行的直線B．平面α內(nèi)所有直線與a相交C．平面α內(nèi)所有直線與a異面D．直線a與平面α至少存在一個公共點(diǎn)[解析]由于直線a不平行于平面α，所以直線a與平面α相交或直線a在平面α內(nèi)，直線a在平面α內(nèi)時，平面α內(nèi)存在與a平行的直線，故A錯誤；直線a與平面α相交時，平面α內(nèi)存在直線與a異面，故B錯誤；直線a在平面α內(nèi)時，平面α內(nèi)存在與a平行或相交的直線，故C錯誤；直線a與平面α相交或直線a在平面α內(nèi)，直線a與平面α至少存在一個公共點(diǎn)，故D正確．故選D.3．如圖甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，以AF為折痕把△ADF折起，使點(diǎn)D不落在平面ABCF內(nèi)(如圖乙)，那么在以下3個結(jié)論中，正確結(jié)論的個數(shù)是(C)①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；③CD∥平面BEF.A．0 B．1C．2 D．3[解析]對于①，由題意得AB∥CF，AB＝CF，∴四邊形ABCF是平行四邊形，∴AF∥BC，∵AF?平面BCD，BC?平面BCD，∴AF∥平面BCD，故①正確；對于②，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG，∵E是AD中點(diǎn)，AF∥BC，AF＝BC，∴EG＝eq\f(1,2)BC，EG∥BC∴四邊形BCGE為梯形，∴直線BE與直線CG相交，∴BE與平面CDF相交，故②錯誤；對于③，連接AC，交BF于點(diǎn)O，連接OE，∵四邊形ABCF是平行四邊形，∴O是AC中點(diǎn)，∴OE∥CD，∵OE?平面BEF，CD?平面BEF，∴CD∥平面BEF，故③正確．故選C.4．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G、H分別為SB、BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則(B)