新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定學(xué)案新人教A版必修第二冊(cè)

8．6.2直線與平面垂直第1課時(shí)直線與平面垂直的判定課標(biāo)要求1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出直線與平面垂直的判定定理，并加以證明．2．會(huì)應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直．素養(yǎng)要求在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).知識(shí)點(diǎn)1直線與平面垂直的定義與判定定理1．直線與平面垂直的定義定義一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的_任意一條__直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直記法_l⊥α__有關(guān)概念直線l叫做平面α的_垂線__，平面α叫做直線l的_垂面__，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做_垂足__畫法畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊_垂直__圖示性質(zhì)過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條垂線段與點(diǎn)面距過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與_垂足__間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的_長(zhǎng)度__叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離2.直線與平面垂直的判定定理文字語(yǔ)言如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的_兩條相交直線__垂直，那么該直線與此平面垂直符號(hào)語(yǔ)言l⊥a，l⊥b，a?α，b?α，_a∩b__＝P?l⊥α圖形語(yǔ)言[拓展]1.對(duì)直線與平面垂直的幾點(diǎn)說(shuō)明(1)定義中的“任意一條直線”這一詞語(yǔ)與“所有直線”是同義詞，與“無(wú)數(shù)條直線”不是同義詞．(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形．(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法．2．理解直線與平面垂直的判定定理不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來(lái)判斷此直線與平面垂直”．實(shí)際上，由基本事實(shí)4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個(gè)平面內(nèi)平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線垂直．3．判定定理所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直．練一練：1．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能(A)A．平行 B．相交C．異面 D．垂直[解析]因?yàn)閘⊥α，所以l垂直于平面α內(nèi)的每一條直線，又m?α，所以l⊥m，所以直線l與m不可能平行．2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(C)A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC[解析]由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC，故選C.3．(多選題)下列說(shuō)法中，正確的是(CD)A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥αB．若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則l⊥αC．若直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，則l⊥αD．若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α[解析]對(duì)于A、B，不能判定該直線與平面垂直，該直線與平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯(cuò)誤的．C、D是正確的，故選C、D.知識(shí)點(diǎn)2直線與平面所成的角有關(guān)概念對(duì)應(yīng)圖形斜線一條直線l與平面α_相交__，但不與這個(gè)平面_垂直__，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線斜足斜線和平面的_交點(diǎn)__叫做斜足射影過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引_垂線__PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的_射影__所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是_90°__；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是_0°__.直線與平面所成的角θ的取值范圍是_[0°，90°]__[拓展]直線與平面所成的角的理解和判斷(1)對(duì)斜線和平面所成的角的定義的理解斜線和平面所成的角定義表明斜線和平面所成的角是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．(2)判斷方法首先，判斷直線和平面的位置，若直線在平面內(nèi)或與平面平行，此時(shí)直線與平面所成的角為0°的角；若直線與平面垂直，此時(shí)直線與平面所成的角為90°.其次，若直線與平面斜交，可在斜線上任取一點(diǎn)作平面的垂線(實(shí)際操作過(guò)程中，這一點(diǎn)的選取要有利于求角)，找出直線在平面內(nèi)的射影，從而確定出直線和平面所成的角，一般轉(zhuǎn)化到直角三角形、等邊三角形中求解．練一練：如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于_45°__；AB1與平面ADD1A1所成的角等于_45°__；AB1與平面DCC1D1所成的角等于_0°__.[解析]∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.題|型|探|究題型一直線與平面垂直的定義及判定定理的理解典例1下列說(shuō)法正確的有_②__(填序號(hào))．①垂直于同一條直線的兩條直線平行；②如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；④若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒(méi)有直線與l垂直．[解析]因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確．由線面垂直的定義可得，②正確．因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線，故③不正確．如圖，l與α不垂直，但a?α，l⊥a，故④不正確．[歸納提升](1)對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說(shuō)法與“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”不是一回事，后者說(shuō)法是不正確的，它可以使直線與平面斜交．(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(多選題)下列命題中，不正確的是(ABD)A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥αB．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可平行C．若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直D．若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α[解析]當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以A不正確；當(dāng)l與α垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的直線垂直異面，但不可能平行，所以B不正確；若l在α內(nèi)，l可以和α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，故D錯(cuò)誤.題型二直線與平面垂直的判定典例2(1)如圖，已知P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且PA＝PC，求證：AC⊥平面PBD.(2)如圖，已知PA⊥平面ABC，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的任一點(diǎn)．求證：PC⊥BC.[分析](1)要證AC垂直平面PBD，則需讓AC與平面PBD內(nèi)的兩條相交直線垂直，由已知可知，AC⊥BD，再由PA＝PC，可證AC與PO垂直．(O為AC中點(diǎn))(2)要證BC⊥PC，可通過(guò)先證BC⊥平面PAC來(lái)實(shí)現(xiàn)．[證明](1)∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD；設(shè)AC∩BD＝O，∵PA＝PC，∴△PAC為等腰三角形，且O為AC中點(diǎn)，∴AC⊥PO；又∵BD∩PO＝O，BD?平面PBD，PO?平面PBD，∴AC⊥平面PBD.(2)∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴PA⊥BC，又∵∠ACB為直徑所對(duì)的圓周角，∴∠ACB＝eq\f(π,2)，即BC⊥AC，又PA∩AC＝A，且PA?平面PAC，AC?平面PAC，∴BC⊥平面PAC.又∵PC?平面PAC，∴BC⊥PC.[歸納提升](1)應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理是證明直線與平面垂直的主要方法．如果在一個(gè)問(wèn)題的條件中，出現(xiàn)較多的線線垂直，或線面垂直，那么證線面垂直常會(huì)選擇直線與平面垂直的判定定理．關(guān)鍵是找好平面內(nèi)的兩條相交直線與已知直線垂直．(2)①計(jì)算也是論證的一種方法；②勾股定理、余弦定理是常用的工具．(3)線線垂直?線面垂直?線線垂直，這是經(jīng)常用到的轉(zhuǎn)化方法．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝60°，△PAD為正三角形，且E是AD的中點(diǎn)．求證：BC⊥平面PEB.[證明]連接BD.因?yàn)镋是正三角形PAD邊AD的中點(diǎn)，則PE⊥AD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，∠BAD＝60°，所以正三角形BAD中，BE⊥AD，因?yàn)锳D∥BC，所以BC⊥PE，BC⊥BE，又因?yàn)镻E∩BE＝E，所以BC⊥平面PEB.題型三直線與平面所成的角典例3在正方體ABCD－A1B1C1D1中．(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．[分析](1)求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過(guò)直線上一點(diǎn)的平面的垂線．(2)過(guò)A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1滿足要求．[解析](1)連接AC，∵直線A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝eq\r(2)，∴tan∠A1CA＝eq\f(\r(2),2).(2)連接A1C1交B1D1于O，連接BO，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1?平面A1B1C1D1，∴BB1⊥A1C1，又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，在Rt△A1BO中，A1O＝eq\f(1,2)A1C1＝eq\f(1,2)A1B，∴∠A1BO＝30°.即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.[歸納提升]求線面角的方法：(1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?(2022·濟(jì)南高一檢測(cè))在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為(D)A.eq\f(\r(5),10) B．eq\f(\r(10),10)C．eq\f(\r(5),5) D．eq\f(\r(10),5)[解析]過(guò)點(diǎn)C1作C1O⊥B1D1于點(diǎn)O，連接OB，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，BB1⊥平面A1B1C1D1，所以BB1⊥C1O，因?yàn)锽1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1?平面BB1D1D，所以C1O⊥平面BB1D1D，所以∠C1BO即為直線BC1與平面BB1D1D所成角．在Rt△B1C1D1中，B1C1·C1D1＝B1D1·C1O，即1×2＝eq\r(5)×C1O，所以C1O＝eq\f(2\r(5),5)，在Rt△C1BO中，sin∠C1BO＝eq\f(C1O,BC1)＝eq\f(\f(2\r(5),5),\r(2))＝eq\f(\r(10),5).所以BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為eq\f(\r(10),5).易|錯(cuò)|警|示邏輯推理不嚴(yán)密致誤典例4如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中點(diǎn)，連接CD.求證：CD⊥平面ABB1A1.[錯(cuò)解]∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1.又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，又AA1?平面ABB1A1，BB1?平面ABB1A1，∴CD⊥平面ABB1A1.[錯(cuò)因分析]錯(cuò)解中AA1和BB1是平面ABB1A1內(nèi)的兩條平行直線，不是相交直線，故不滿足直線與平面垂直的判定定理的條件．[正解]∵AA1⊥平面ABC，CD?平面ABC，∴CD⊥AA1.又AC＝BC，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB.∵AB?平面ABB1A1，AA1?平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，∴CD⊥平面ABB1A1.[誤區(qū)警示]用判定定理證明線面垂直時(shí)，必須要找全條件，這些條件必須是已知的、或明顯成立的、或已經(jīng)證明的．對(duì)點(diǎn)練習(xí)?直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是(D)A．l和平面α相互平行B．l和平面α相互垂直C．l在平面α內(nèi)D．不能確定[解析]如下圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D.1．如圖，將一張三角形紙片沿著B(niǎo)C邊上的高AD翻折后豎立在桌面上，則折痕AD所在直線與桌面α所成的角等于(C)A．150° B．135°C．90° D．60°[解析]依題意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面α，所以折痕AD所在直線與桌面α所成的角等于90°.故選C.2.如圖所示，定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi)，定點(diǎn)P?α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且PC⊥AC，則△ABC為(B)A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定[解析]∵A∈α，C∈α，AC?α，又∵PB⊥α，∴PB⊥AC，又∵PC⊥AC，PB∩PC＝B，∴AC⊥平面PBC，又∵BC?平面PBC，∴AC⊥BC，∴△ABC是直角三角形．故選B.3．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．則能保證該直線與平面垂直的序號(hào)有(A)A．①③ B．①②C．②④ D．①④[解析]三角形的兩邊，圓的兩條直徑一定是相交直線，而梯形的兩邊，正六邊形的兩條邊不一定相交，所以保證直線與平面垂直的是①③.4．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)有_4__個(gè)．[解析]∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，P