新教材適用2023-2024學(xué)年高中數(shù)學(xué)第8章立體幾何初步8.6空間直線平面的垂直8.6.2直線與平面垂直第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案新人教A版必修第二冊

第2課時(shí)直線與平面垂直的性質(zhì)課標(biāo)要求1．借助長方體，通過直觀感知，歸納出直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．2．會應(yīng)用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明一些空間的簡單線面關(guān)系．素養(yǎng)要求在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用直線與平面垂直的性質(zhì)定理的過程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)．知識點(diǎn)1直線與平面垂直的性質(zhì)直線與平面垂直的性質(zhì)定理文字語言垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_平行__符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?_a∥b__圖形語言作用①線面垂直?線線平行，②作平行線練一練：1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能推出a∥b的是(C)A．b∥α B．b?αC．b⊥α D．b與α相交[解析]由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.故選C.2．如圖，已知AF⊥平面ABCD，平面DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝_6__.[解析]∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.∵AF＝DE，∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴EF＝AD＝6.知識點(diǎn)2距離1．直線與平面的距離一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上_任意一點(diǎn)__到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．2．兩個(gè)平行平面間的距離如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都_相等__，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．想一想：1．l∥平面α，A∈l，B∈l，則A，B到平面α的距離有什么關(guān)系？提示：相等．2．在棱柱、棱臺的體積公式中，它們的高的本質(zhì)是什么？提示：它們的高的本質(zhì)就是它們的上、下底面間的距離．練一練：1．已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，則點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為(B)A．1 B．eq\r(2)C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)[解析]如圖，連接AC，與DB交于點(diǎn)O，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，AC⊥平面BDD1B1.∴點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為CO.∵AB＝2，∴AC＝2eq\r(2)，∴CO＝eq\f(1,2)AC＝eq\r(2).2．線段AB在平面α的同側(cè)，點(diǎn)A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為_4__.[解析]如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.題|型|探|究題型一直線與平面垂直的性質(zhì)定理的理解典例1已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個(gè)不同平面，給出下列命題：①eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥n))?n∥α；②eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥β，,n⊥β))?m∥n；③eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m⊥α，,m⊥β))?α∥β；④eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m?α，,n?β，,α∥β))?m∥n.其中正確命題的序號是(A)A．②③ B．③④C．①② D．①②③④[解析]①中n，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A.[歸納提升]判定兩條直線平行的常用方法(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點(diǎn)．(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．對點(diǎn)練習(xí)?已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為(B)①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.A．1 B．2C．3 D．0[解析]對于①，因?yàn)閘∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正確；對于②，因?yàn)閙⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正確；對于③，因?yàn)閘∥α，l⊥m，所以m∥α或m?α或m⊥α或m與α斜交，即③錯(cuò)誤.題型二直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用典例2如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，∠PDA＝45°，M∈AB，N∈PC，且MN⊥AB，MN⊥CP，E為PD中點(diǎn)．求證：AE∥MN.[證明]∵PA⊥平面ABCD，AD?平面ABCD，∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，∴△PAD為等腰三角形．∵E為中點(diǎn)，∴AE⊥PD.∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AD⊥CD，且PA∩AD＝A，∴CD⊥平面PAD.又AE?平面PAD，∴CD⊥AE.又AE⊥PD，且CD∩PD＝D，∴AE⊥平面PCD.又MN⊥AB，且AB∥CD，所以MN⊥CD，又∵M(jìn)N⊥CP，且CP∩CD＝C，∴MN⊥平面PCD.∵AE⊥平面PCD，∴AE∥MN.[歸納提升](1)若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直．(2)在證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．對點(diǎn)練習(xí)?如圖，正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.[證明]如圖所示，連接AB1，B1C，BD.因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，所以DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，所以AC⊥平面BDD1.又BD1?平面BDD1，所以AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C.又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.因?yàn)镋F⊥AC，EF⊥A1D，又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.所以EF∥BD1.題型三空間中的距離問題典例3如圖，在直三棱柱ABC－DEF中，AC＝BC＝2，AB＝2eq\r(2)，AD＝4，M，N分別為AD，CF的中點(diǎn)．(1)求證：AN⊥平面BCM；(2)設(shè)G為BE上一點(diǎn)，且BG＝eq\f(3,4)BE，求點(diǎn)G到平面BCM的距離．[分析](1)根據(jù)AC2＋BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四邊形ACNM為正方形，進(jìn)而即可求證；(2)利用等體積法的思想求點(diǎn)到平面的距離．[解析](1)證明：在直三棱柱ABC－DEF中，AC＝BC＝2，AB＝2eq\r(2)，AD＝4，M，N分別為AD，CF的中點(diǎn)，∵AC＝BC＝2，AB＝2eq\r(2)，∴AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，又ABC－DEF是直三棱柱，所以AD⊥平面ABC，BC?平面ABC，所以AD⊥BC，AC，AD?平面ACFD，AC∩AD＝A，∴BC⊥平面ACFD，AN?平面ACFD，則BC⊥AN，∵M(jìn)，N分別為AD，CF的中點(diǎn)，且AD＝4，AC＝2，∴四邊形ACNM為正方形，則CM⊥AN，又BC∩CM＝C，BC，CM?平面BCM，∴AN⊥平面BCM.(2)由(1)知，即AC⊥BC，又ABC－DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，∴MA∥FC，則點(diǎn)M到平面GBC的距離即為AC＝2，∴VG－BCM＝VM－BCG＝eq\f(1,3)S△BCG·AC＝eq\f(1,3)×eq\f(1,2)·BC·BG·AC＝eq\f(1,6)×2×3×2＝2，由(1)知，BC⊥CM，且CM＝2eq\r(2)，∴S△BCM＝eq\f(1,2)×2×2eq\r(2)＝2eq\r(2)，設(shè)點(diǎn)G到平面BCM的距離為h，則VG－BCM＝eq\f(1,3)×2eq\r(2)h，∴eq\f(1,3)×2eq\r(2)h＝2，則h＝eq\f(3\r(2),2)，即點(diǎn)G到平面BCM的距離為eq\f(3\r(2),2).[歸納提升]空間中距離的轉(zhuǎn)化(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點(diǎn)到平面的距離．(2)利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助中點(diǎn)(等分點(diǎn))，轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離．(3)通過換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分割)，以方便求底面積和高．對點(diǎn)練習(xí)?如圖，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.(1)證明：BC1∥平面D1AC；(2)求直線BC1到平面D1AC的距離．[解析](1)證明：因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為長方體，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故四邊形ABC1D1為平行四邊形，故BC1∥AD1，顯然BC1?面D1AC，于是直線BC1∥平面D1AC.(2)直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離，設(shè)為h，考慮三棱錐D1－ABC的體積，以平面ABC為底面，可得V＝eq\f(1,3)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)×1×2))×1＝eq\f(1,3)，而△AD1C中，AC＝D1C＝eq\r(5)，AD1＝eq\r(2)，cos∠ACD1＝eq\f(4,5)，sin∠ACD1＝eq\f(3,5)，故S△AD1C＝eq\f(1,2)×eq\r(5)×eq\r(5)×eq\f(3,5)＝eq\f(3,2).所以，V＝eq\f(1,3)×eq\f(3,2)×h＝eq\f(1,3)，故h＝eq\f(2,3)，即直線BC1到平面D1AC的距離為eq\f(2,3).題型四直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用典例4如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.求證：AE⊥SB.[證明]因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB⊥BC.因?yàn)镾A∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因?yàn)锳E?平面SAB，所以BC⊥AE.因?yàn)镾C⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.又因?yàn)锽C∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.[歸納提升]線線、線面垂直問題的解題策略(1)證明線線垂直，一般通過證明一條直線垂直于經(jīng)過另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過哪條直線的平面．(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)出來．對點(diǎn)練習(xí)?本例中“過A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G”改為“過A作AF⊥SC于點(diǎn)F，過點(diǎn)F作EF⊥SC交SB于點(diǎn)E”，結(jié)論不變，如何證明？[解析]因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB⊥BC.因?yàn)镾A∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.因?yàn)锳E?平面SAB，所以BC⊥AE.又因?yàn)锳F⊥SC于點(diǎn)F，EF⊥SC交SB于點(diǎn)E，所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.又因?yàn)锽C∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.而SB?平面SBC，所以AE⊥SB.易|錯(cuò)|警|示考慮不周全而致誤典例5已知平面α外兩點(diǎn)A，B到平面α的距離分別為1和2，A，B兩點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影之間的距離為eq\r(3)，求直線AB和平面α所成的角．[錯(cuò)解]如圖所示．分別過A、B向平面α作垂線，垂足分別為A1、B1，設(shè)直線AB和平面α所成角為θ，則tanθ＝eq\f(2－1,\r(3))＝eq\f(\r(3),3).∵θ∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(π,2)))，∴θ＝30°.[錯(cuò)因分析]解答本題時(shí)只考慮A，B在平面同一側(cè)的情況，沒有考慮A，B在平面兩側(cè)的情況而出現(xiàn)漏解．[正解]①當(dāng)點(diǎn)A，B在平面α的同側(cè)時(shí)，由題意知直線AB與平面α所成的角為30°.②當(dāng)點(diǎn)A，B位于平面α的兩側(cè)時(shí)，如右圖，過點(diǎn)A，B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB與平面α相交于點(diǎn)C，A1B1為AB在平面α上的射影，∴∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成的角．在Rt△BCB1中，BB1＝2.在Rt△ACA1中，AA1＝1.由題意可知△BCB1∽△ACA1，∴eq\f(BB1,AA1)＝eq\f(B1C,A1C)＝2，∴B1C＝2A1C.∵B1C＋A1C＝eq\r(3)，∴B1C＝eq\f(2\r(3),3).∵tan∠BCB1＝eq\f(BB1,B1C)＝eq\f(2,\f(2\r(3),3))＝eq\r(3)，∴∠BCB1＝60°，∴AB與平面α所成的角為60°.綜合①②可知，直線AB與平面α所成的角為30°或60°.對點(diǎn)練習(xí)?在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝_13__.[解析]如圖，連接CD，則在Rt△ABC中，CD＝eq\f(1,2)AB.因?yàn)锳C＝6，BC＝8，所以AB＝eq\r(62＋82)＝10.所以CD＝5.因?yàn)镋C⊥平面ABC，CD?平面ABC，所以EC⊥CD.所以ED＝eq\r(EC2＋CD2)＝eq\r(122＋52)＝13.1．對于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l(C)A．平行 B．相交C．垂直 D．互為異面直線[解析]在平面α內(nèi)必有直線m和直線l所成的角為90°，所以二者垂直．2．已知△ABC所在的平面為α，l，m是兩條不同的直線，l⊥AB，l⊥AC，m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)