2024屆西藏林芝市高三數(shù)學（理）模擬試題（一模）含解析

2024屆西藏林芝市高三數(shù)學（理）模擬試題（一模）一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1．已知集合，則（

）A． B． C． D．2．已知復數(shù)滿足，則的虛部為（

）A． B． C． D．23．已知，則的最小值是（

）A．3 B．4 C．6 D．74．已知單位向量與單位向量的夾角為，則（

）A．2 B． C． D．15．已知是定義在上的函數(shù)且，當時，，則（

）A． B．0 C．4 D．86．“”是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件7．已知圓的方程為，過點僅有一條直線與圓相切，則（

）A． B．3 C．1 D．08．已知實數(shù)滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B．0 C．1 D．29．將直徑為的球削成一個體積最大的正方體，則這個正方體的表面積為（

）A．3 B．6 C． D．10．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的的值是（

）A．2 B．3 C．4 D．511．已知等差數(shù)列的前項和為，若，則使成立的的最大值為（

）A．3 B．4 C．5 D．612．已知雙曲線的左、右焦點分別為為坐標原點，為雙曲線上在第一象限內(nèi)的一點，，且的面積為，則雙曲線的離心率（

）A． B． C． D．二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13．在正項等比數(shù)列中，，則．14．若函數(shù)的圖象在處的切線斜率為1，則．15．若動點到點的距離和動點到直線的距離相等，則點的軌跡方程是．16．若，且，則．三、解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17．某企業(yè)生產(chǎn)的產(chǎn)品按質(zhì)量分為合格品和劣質(zhì)品，該企業(yè)計劃對現(xiàn)有生產(chǎn)設(shè)備進行改造，為了分析設(shè)備改造前后的效果，現(xiàn)從設(shè)備改造前后生產(chǎn)的大量產(chǎn)品中各抽取100件產(chǎn)品作為樣本，產(chǎn)品的質(zhì)量情況統(tǒng)計如下表：合格品劣質(zhì)品合計設(shè)備改造前6040100設(shè)備改造后8020100合計14060200(1)判斷是否有的把握，認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；(2)根據(jù)產(chǎn)品質(zhì)量，采用分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，從這5件產(chǎn)品中任選2件，求選出的這2件全是合格品的概率．附：，其中．0.0500.0100.0013.8416.63510.82818．設(shè)的內(nèi)角的對邊分別為，且．(1)求的大??；(2)若，且的周長為，求的面積．19．如圖，在四棱錐中，，四邊形為菱形，，平面分別是的中點．(1)證明：平面平面；(2)求二面角的正弦值．20．已知函數(shù)．(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)若函數(shù)在處取得極值，不等式對恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，求實數(shù)的取值范圍．21．已知橢圓，直線經(jīng)過橢圓的左頂點和上頂點．(1)求橢圓的標準方程；(2)直線上是否存在一點，過點作橢圓的兩條切線分別切于點與點，點在以為直徑的圓上，若存在，求出點坐標；若不存在，請說明理由．（二）選考題：共10分．請考生在第22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．選修4-4：坐標系與參數(shù)方程22．在平面直角坐標系中，曲線，曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系．(1)求曲線的極坐標方程；(2)在極坐標系中，射線與曲線分別交于兩點（異于極點），求．選修4-5：不等式選講23．已知函數(shù)．(1)若，求不等式的解集；(2)若恒成立，求的取值范圍．1．B【分析】根據(jù)交集的運算，求解即可得出答案.【詳解】根據(jù)交集的運算可得，.故選：B.2．D【分析】利用復數(shù)的除法運算先求出，然后利用共軛復數(shù)定義求出即可解決問題.【詳解】因為，所以，所以，所以的虛部為2，故選：D.3．C【分析】利用基本不等式求解.【詳解】因為，所以，所以,當且僅當，即時，取得等號，故選:C.4．D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積定義將平方即可計算得出其模長.【詳解】由題意可知，則，可得.故選：D5．A【分析】根據(jù)題意可得，代入運算即可.【詳解】因為，令，可得：.故選：A.6．A【分析】分別求解“”與“”的充要條件再判斷即可.【詳解】易得當時,.當時,.故“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】本題主要考查了三角函數(shù)值求定義域的方法以及充分與必要條件的判定,屬于基礎(chǔ)題.7．D【分析】由過點僅有一條圓的切線，故點在圓上，從而求解.【詳解】由題意知過點僅有一條直線與圓相切，所以點在圓上，代入得：，解得，故D正確.故選：D.8．B【分析】作出可行域，結(jié)合直線方程的幾何意義分析求解.【詳解】如圖，作出可行域，聯(lián)立方程，解得，即，因為，即，表示斜率為2，縱截距為的直線，當直線過時，取到最小值.故選：B.9．B【分析】求出球的內(nèi)接正方體的棱長，再求出其表面積即可.【詳解】依題意，當正方體為球的內(nèi)接正方體時，該正方體的體積最大，令此時正方體的棱長為，則，解得，所以正方體的表面積為.故答案為：B10．C【分析】根據(jù)循環(huán)功能一一循環(huán)驗證即可.【詳解】解：第一次循環(huán)，此時；第二次循環(huán)，此時；第三次循環(huán)，此時，輸出；故選：C11．C【分析】根據(jù)給定條件，求出等差數(shù)列的首項及公差，進而求出前項和即可得解.【詳解】設(shè)等差數(shù)列的公差為，由，得，解得，于是，，由，得，所以使成立的的最大值為5.故選：C12．B【分析】由可知，點在線段的垂直平分線上，聯(lián)立與雙曲線方程可求得點坐標，由等面積法可得，解關(guān)于的齊次式方程即可.【詳解】由題意知，，如圖所示，因為，所以點在線段的垂直平分線上，又點在雙曲線的第一象限上，所以，解得，又因為，所以，整理得，即，解得（舍負），又，所以.故選：B.13．2【分析】由正項等比數(shù)列性質(zhì)，有，則.【詳解】正項等比數(shù)列中，，則.故答案為：214．【分析】利用復合函數(shù)的導數(shù)計算法則，由導數(shù)的幾何意義計算即可求得.【詳解】由可得，根據(jù)導數(shù)的幾何意義可得，解得.故答案為：15．【分析】結(jié)合拋物線定義即可解題.【詳解】由拋物線定義知，點的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，所以點的軌跡方程為：.故答案為：.16．【分析】結(jié)合三角函數(shù)的平方關(guān)系及二倍角公式化簡原式為齊次式即可求解.【詳解】因為，，所以.故答案為：.17．(1)有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)；(2)【分析】（1）先計算出的值，根據(jù)獨立性檢驗的思想對照臨界值得結(jié)論；（2）5件產(chǎn)品中有合格品3件劣質(zhì)品2件，利用古典概型計算公式計算概率即可.【詳解】（1）∵，∴有的把握認為該企業(yè)生產(chǎn)的這種產(chǎn)品的質(zhì)量與設(shè)備改造有關(guān)．（2）采用分層抽樣的方法，從設(shè)備改造前的產(chǎn)品中取得了5件產(chǎn)品，則合格品3件，劣質(zhì)品2件，從這5件產(chǎn)品中任選2件，則選出的這2件全是合格品的概率.18．(1)(2)【分析】（1）根據(jù)正弦定理和余弦定理進行求解即可；（2）根據(jù)三角形公式、結(jié)合余弦定理進行求解即可.【詳解】（1）根據(jù)正弦定理，由，由余弦定理可知：，所以，因為，所以；（2）因為，所以有，而的周長為，所以，于是有，所以的面積為.19．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）根據(jù)中位線和四邊形為菱形得到線線平行，進而得到線面平行，面面平行；（2）作出輔助線，證明出兩兩垂直，建立空間直角坐標系，求出兩平面的法向量，得到法向量的夾角余弦值，進而求出二面角的正弦值.【詳解】（1）因為四邊形為菱形，所以，又分別是的中點，所以，故，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為，平面，所以平面平面；（2）連接，因為四邊形為菱形，，所以為等邊三角形，因為分別是的中點，所以⊥，故⊥，因為平面，平面，所以，故兩兩垂直，以為坐標原點，所在直線分別為軸，建立空間直角坐標系，因為，所以，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，則，故，設(shè)平面的法向量為，則，解得，令得，，故，則，故二面角的正弦值為.20．(1)答案見解析(2)(3)【分析】（1）求導，然后分和討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）先根據(jù)求出，再將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為，構(gòu)造函數(shù)，求其最小值即；（3）將函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，觀察圖象可得答案.【詳解】（1）由已知，當時，恒成立，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當時，令，得，函數(shù)單調(diào)遞增，令，得，函數(shù)單調(diào)遞減，綜上：當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；當時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）若函數(shù)在處取得極值，則，解得，經(jīng)檢驗符合題意，所以，則不等式恒成立即恒成立，整理得在上恒成立，所以，設(shè)，則，令，得，單調(diào)遞減，令，得，單調(diào)遞增，所以，所以；（3）令，可得，若函數(shù)在定義域內(nèi)有兩個不同的零點，則函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點，當函數(shù)和函數(shù)的圖象相切時，因為函數(shù)和函數(shù)均過點，則為切點，又，則切線方程為，故，即如圖，當時，函數(shù)和函數(shù)的圖象只有一個交點，觀察圖象可得：當函數(shù)和函數(shù)的圖象有兩個不同的交點時有且，即且，即實數(shù)的取值范圍為.【點睛】方法點睛：恒成立問題一般通過參變分離轉(zhuǎn)化為最值問題，同時零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程的根的個數(shù)或者函數(shù)圖象的交點個數(shù)問題.21．(1)(2)存在點,其坐標為和【分析】（1）由題意，代入兩個頂點坐標易得的值，從而橢圓方程即得；（2）在直線上設(shè)點，設(shè)出切線斜率得直線方程，代入橢圓方程，消元后整理成的一元二次方程，由判別式為0可得①，同理得到另一式，②，通過同構(gòu)，得出：為方程的兩根，由題設(shè)推得與直線方程聯(lián)立即得.【詳解】（1）由題意，直線經(jīng)過點和，解得：，故橢圓的標準方程為：.（2）如圖，假設(shè)直線上存在點，使點在以為直徑的圓上.不妨點設(shè)，依題意，,則兩條切線斜率必存在，分別設(shè)的斜率為，則，,由消去，整理得：因直線與橢圓相切，故，整理得：①又由消去，可得：，故由，整理得：②由①②可得：為方程的兩根，因，故則，即，且又由可得：即（*），又點在直線上，則，即代入（*），解得：，當時，，當時，，即存在點和,經(jīng)檢驗它們都滿足，故存在點使點在以為直徑的圓上，點坐標為或.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題主要考查的是橢圓的切線方程的處理和對直線與圓錐曲線的位置關(guān)系的處理.對于橢圓的切線問題一般有兩個思路，其一設(shè)切點和切線斜率，通過與橢圓方程聯(lián)立借助于判別式為0將斜率用切點坐標表示得出切線方程；其二是設(shè)直線上點和兩切線斜率，通過與橢圓方程聯(lián)立借助于判別式為0得到同構(gòu)方程.22．(1)曲線的極坐標方程，曲線的極坐標方程為(2)【分析】（1）利用普通方程和極坐標方程之間的轉(zhuǎn)化公式即可；（2）利用極坐標方程的幾何意義即可.【詳解】（1）因為曲線，，所以曲線的極坐標方程，因為曲線的參數(shù)方程為（為參數(shù)），所以曲線的普通方程為，即，所以曲線的極坐標方程為；（2）聯(lián)立，解得，聯(lián)立，解得，所以.23．(