2012年河南科技大學數(shù)學建模競賽選拔

實用文檔2012年河南科技大學數(shù)學建模競賽選拔承諾書我們仔細閱讀了數(shù)學建模競賽選拔的規(guī)則.我們完全明白，在做題期間不能以任何方式（包括電話、電子郵件、網(wǎng)上咨詢等）與隊外的任何人研究、討論與選拔題有關的問題。我們知道，抄襲別人的成果是違反選拔規(guī)則的,如果引用別人的成果或其他公開的資料（包括網(wǎng)上查到的資料），必須按照規(guī)定的參考文獻的表述方式在正文引用處和參考文獻中明確列出。我們鄭重承諾，嚴格遵守選拔規(guī)則，以保證選拔的公正、公平性。如有違反選拔規(guī)則的行為，我們將受到嚴肅處理。我我們選擇的題號是（從A/B/C中選擇一項填寫）：B隊員簽名：1.謝芝亮2.楊寶帥3.牛恩利日期：2012年8月23日2012年河南科技大學數(shù)學建模競賽選拔編號專用頁評閱編號（評閱前進行編號）：評閱記錄（評閱時使用）：評閱人評分備注B題：產(chǎn)品銷量預測一、摘要本文通過對新產(chǎn)品的銷售過程分析，把銷售過程分因素分階段考慮，找到銷量與已賣出產(chǎn)品的宣傳效應、價格和新產(chǎn)品的沖擊之間的關系，由此建立微分方程組，運用logistic模型得到一個新產(chǎn)品銷售量與時間的關系。建立新產(chǎn)品的銷售規(guī)律模型。同時通過數(shù)據(jù)擬合并且利用本文所建立的模型對我國汽車品牌的銷售情況做出合理解釋。由于題中要求產(chǎn)品性能良好，所以我們假設該新產(chǎn)品為耐用品。針對問題一：我們對其構造微分關系式時已經(jīng)考慮了產(chǎn)品自身的宣傳作用，故求解出的結果就包括產(chǎn)品宣傳因素的影響，我們求解出微分方程，為了更加清楚的看出產(chǎn)品剛上市時銷量的大致趨勢我們對已求解出方程的常數(shù)適當?shù)馁x值，運用軟件matlab畫出圖像。針對問題二：在問題一的基礎上，我們又增加了市場容量對產(chǎn)品銷量的影響，因此需要用到logistic模型對其進行求解，微分方程積分求解可得由于題目沒有給定數(shù)據(jù)，所以我們就假定未定的系數(shù)設為1，然后運用matlab得出產(chǎn)品銷量的大致走勢。針對問題三：在考慮了市場容量的基礎之上，我們認為產(chǎn)品的價格、新產(chǎn)品的沖擊、廠家對新產(chǎn)品宣傳效應對其銷量的影響尤為重要。因為新產(chǎn)品開始投入市場后隨著時間效應、已銷售產(chǎn)品的宣傳效應的影響，其銷售量會呈現(xiàn)出增長趨勢，然而隨著市場的飽和驅使銷售量達到最大值后就會出現(xiàn)下降的情況。因此我們綜合考慮這三個因素，運用logistic模型寫出微分方程式，積分后對每個因素影響的程度進行加權處理列出在三個因素影響下產(chǎn)品銷量與時間的方程。最后為了檢驗我們所建模型的正確性，我們找到具體某品牌汽車的銷售數(shù)據(jù)，對我們的模型進行檢驗，通過擬合的該函數(shù)與數(shù)據(jù)擬合的曲線誤差較小，模型符合一般耐用品銷售規(guī)律。因此我們所建的模型基本符合要求。關鍵字：matlabLogistic模型微分方程擬合

二、問題重述設有某種新產(chǎn)品要推向市場,t時刻的銷量為由于產(chǎn)品性能良好,每個產(chǎn)品都是一個宣傳品,因此,t時刻產(chǎn)品銷量與t有關。第一問：設t時刻產(chǎn)品銷量的增長率與成正比,預測時的產(chǎn)品銷量；需要運用微分方程對其進行積分，得出x關于t的關系式，從而求出。第二問：設考慮到產(chǎn)品銷售存在一定的市場容量N,統(tǒng)計表明與該產(chǎn)品的潛在容量成正比,預測時的產(chǎn)品銷量；需要運用logistic模型，對產(chǎn)品銷量用曲線進行擬合，把系數(shù)取為1求得其圖像，看出銷量增長的大致趨勢。第三問：試考慮影響產(chǎn)品銷量的其他因素，并建立模型，預測時的產(chǎn)品銷量。我們可以考慮到多種因素如價格、產(chǎn)品的創(chuàng)新能力、市場的競爭、廣告的宣傳力度等對銷量都會產(chǎn)生影響，但在這里我們考慮選用其中相對重要的幾個因素，進行建立相應的模型，并用數(shù)據(jù)進行驗證。三、問題的分析本題的影響因素和所加條件逐漸增多，問題逐漸深入，對模型的求解難度也將逐步增加。所以我們考慮問題時也是分步考慮，逐漸增加條件，以盡量模擬市場的實際情況。由于題中要求產(chǎn)品性能良好，所以我們假設該新產(chǎn)品為耐用品，也就是說，該新產(chǎn)品使用時間較長，至少在1年以上的物品，如電冰箱、汽車、彩電、機械設備、筆記本電腦等。耐用品單位價值較高，購買頻率較低，需要許多的人員推銷和服務，銷售價格較高，利潤也較大。對于問題一：我們對其構造微分關系式時已經(jīng)考慮了產(chǎn)品自身的宣傳作用，故求解出的結果就包括產(chǎn)品宣傳因素的影響。對于問題二：在問題一的基礎上，我們又增加了市場容量對產(chǎn)品銷量的影響，因此需要用到logistic模型對其進行求解，由于題目沒有給定數(shù)據(jù)，所以我們就假定未定的系數(shù)設為1，然后運用matlab得出產(chǎn)品銷量的大致走勢。對于問題三：在考慮了市場容量的基礎之上，我們認為產(chǎn)品的價格、新產(chǎn)品的沖擊、廠家對新產(chǎn)品宣傳效應對其銷量的影響尤為重要。因為新產(chǎn)品開始投入市場后隨著時間效應、已銷售產(chǎn)品的宣傳效應的影響，其銷售量會呈現(xiàn)出增長趨勢，然而隨著市場的飽和驅使銷售量達到最大值后就會出現(xiàn)下降的情況。就一般新產(chǎn)品而言廠商穩(wěn)定市場占有額，但由于一般新產(chǎn)品本身的利潤限制使降價帶來的銷售額增加效應小于市場飽和帶來的銷售額下降效應，并且延續(xù)這個趨勢，所以一般新產(chǎn)品的曲線走勢基本符合正態(tài)分布。相比較而言，耐用品的利潤比較大，相對的降價空間也比較大，所以耐用新產(chǎn)品在第一次出現(xiàn)銷售量平穩(wěn)或下降后所表現(xiàn)出的下降效應，所以耐用新產(chǎn)品的銷售量能再次上升，達到高峰，當市場再次達到飽和，現(xiàn)有利潤已經(jīng)不能使價格出現(xiàn)明顯的下降。三模型假設我們的一切假設都基于健全、穩(wěn)定的市場經(jīng)濟條件下，研究的對象屬于理想模型；我們假設性能良好的產(chǎn)品為耐用品，也就是說，顧客在購買產(chǎn)品之后短期內(nèi)不會再次進行購買這種產(chǎn)品，因此市場容量不斷減?。患僭O銷量x是關于時間t的連續(xù)函數(shù)；忽略一切偶然變故而引起的產(chǎn)品銷量巨變，如人為的經(jīng)營不善等因素；本文只假設耐用新產(chǎn)品的銷量主要由價格、產(chǎn)品的廣告宣傳力度和創(chuàng)新適應水平?jīng)Q定并且產(chǎn)品的銷量與其成相應的線性關系；四、變量與符號的說明K：產(chǎn)品傳播的速度；M：產(chǎn)品的現(xiàn)有價格；G：產(chǎn)品的創(chuàng)新能力；X：銷售量；t：時間;N1：產(chǎn)品銷售的飽和數(shù)；a1a2a3：比例系數(shù)；N2:：產(chǎn)品的最高價格；N3：產(chǎn)品的最高創(chuàng)新適應力；：傳播速度的權數(shù)；：產(chǎn)品的現(xiàn)有價格的權數(shù)；：產(chǎn)品的創(chuàng)新能力的權數(shù)

五、模型建立和求解模型一我們所考慮的商品即耐用品指使用時間較長，至少在1年以上的物品，如電冰箱、汽車、電視機、機械設備等。耐用品單位價值較高，購買頻率較低，需要許多的人員推銷和服務，銷售價格較高，利潤也較大。產(chǎn)品剛剛上市，賣家通過各種宣傳手段讓買家知曉并了解自己的產(chǎn)品，在賣家把耐用品賣給買家，同時也為自己的商品作宣傳。這一時期的銷售主要靠買家的宣傳與商品信息的傳播，商品的銷售量在持續(xù)的增長中將會迎來第一個高峰。因此在只考慮宣傳效應因素的影響，根據(jù)題意，可以列出微分方程：所以可以求解得：由于題目沒有給定數(shù)據(jù)，所以我們就假定未定的系數(shù)設為1，然后運用matlab得出產(chǎn)品銷量的大致走勢。Matlab程序如下：x=linspace(0,2);y=exp(x);plot(x,y,'r+')title('只有宣傳效應的影響下產(chǎn)品銷量走勢圖')模型二在模型一的基礎上考慮市場容量對該耐用產(chǎn)品銷量的影響，當產(chǎn)品達到自身價位的銷售量飽和度時，商品的銷售量在競爭激烈的市場里將遇到瓶頸，甚至下滑。因此可以用到logistic模型，對其進行求解。Logistic的微分方程公式如下:所以可求得：Matlab程序如下：x=linspace(0,0.02); y=1000./(1+3*exp(-1000*x)); plot(x,y,'r+') title('宣傳效應和市場容量共同作用下產(chǎn)品銷量走勢圖')在銷售后期市場容量逐漸飽和所以銷量增勢放平，呈現(xiàn)如下圖態(tài)勢：模型三在考慮到問題二影響的因素下，我們又考慮了產(chǎn)品的價格和新產(chǎn)品的沖擊。在市場容量逐漸縮小，銷量開始下滑時，這時候商家會降價促銷，薄利多銷。由于耐用品的利潤較大，所以這個降價過程比較持久。這一階段商品銷售量會迎來第二個高峰。在第二個高峰以后，這時候商品的利潤也所剩無幾。在新產(chǎn)品的沖擊下，商品的創(chuàng)新適應性將會降到最低，銷售量也到達谷底，這時候該商品將退出市場。所以我們對宣傳效應、價格的高低和新產(chǎn)品的沖擊建立微分方程，運用logistic模型得出三個的方程，我們認為這三個因子主要決定了產(chǎn)品的銷售量，并且和銷售量呈線性關系。所以我們決定用這三個因子來表示銷售量。所以此時的模型已經(jīng)很接近實際情況，我們可以找到一種具體產(chǎn)品的數(shù)據(jù)進行對模型正確性的檢驗。在時刻已傳播商品信息的人數(shù)總量為K(t)，由于潛在消費者總量為N1，則在銷售初期或當N1很大時，該商品信息傳播速率主要受已購者K(t)的影響，即每一個已購者在一定時間內(nèi)吸引若干個欲購者，所以傳播速率近似值比于已被傳播者的數(shù)量K(t).但在銷售后期或N1很小時，該商品的傳播速率將主要受潛在用戶數(shù)量(N1-K)的影響，即傳播速率近似值比于潛在用戶的數(shù)量(N1-K).綜合考慮上述因素，可以為K(t)產(chǎn)品傳播速率值比于K(t)與(N1-K)的乘積，比例系數(shù)為a1,即=a1*K(N1-K);同理可列出其他兩個模型為:價格和時間微分方程：=a2*M(N2-M);創(chuàng)新適應能力和時間的微分方程：=a3*G(N3-G);其中K,M,G是關于時間t的函數(shù)，這三個模型正是我們已經(jīng)知道的Logistic模型。先變換成對兩邊求積分并整理得：K(t)=;同理可得：M(t)=;G(t)=;因為K(t),M(t),G(t)與銷售量X(t)存在著線性關系，所以可以列出他們之間的線性方程：X(t)=K(t)+M(t)+G(t);代入X(t)=++；因此對第三問求解可得預測方程如下：把K(t)、M(t)、G(t)合在一起：三個階段合為一體，形成了雙峰曲線，與耐用品的情況相符。我們把收集到的數(shù)據(jù)用計算機進行處理，求得a1=-0.04,a2=0.052,a3=0.017即：X(t)=++；而、、的取值取決于產(chǎn)品的類型：對于價格高，利潤高的耐用品：價格因子（即）的影響力最大，所以對應的值就最大。對于有科技含量，時尚含量的耐用品：創(chuàng)新適應性因子（即）的影響力最大，對應的就最大了。對于常用的生活耐用品：宣傳傳播的因子（即）的影響力最大，對應的最大。從圖中也可看出，趨于負無窮的值無限接近于0，趨于正無窮的值也無限接近于0。由此可以推出*N1+*N2+*N3=0耐用品的、、的取值必須滿足*N1+*N2+*N3=0模型建立好后，我們收集了大眾朗逸的銷量數(shù)據(jù)（附表一）我們用MATLAB對數(shù)據(jù)作出了散點圖，并對它進行擬合。我們得到的結論：畫出的圖形與模型的圖形十分相似，說明了大眾朗逸的銷售情況滿足我們建立的耐用品銷售模型。六、模型的檢驗及誤差分析模型檢驗：我們根據(jù)一組大眾朗逸汽車的銷售數(shù)據(jù)作出散點圖，由計算機所得的函數(shù)圖象可知，通過擬合的該函數(shù)與數(shù)據(jù)擬合的曲線誤差較小，模型符合一般耐用品銷售規(guī)律。誤差分析：新產(chǎn)品的銷售量除了和本文所提到的三個元素有關，還受其他因素的影響，例如，產(chǎn)品的銷售量和家庭的收入、家庭特征、環(huán)境、以及所在地區(qū)的經(jīng)濟發(fā)展、個人信仰、產(chǎn)品的質量和耐用度、還有耐用品上市的時間等影響。由于本文只考慮三個因素的影響，所以所建的模型和實際擬合得到的圖形有一定的誤差。由于我國的汽車才剛剛起步，還沒有達到汽車發(fā)展的衰落期，大多數(shù)都處在發(fā)展期，只有少數(shù)的處于成熟期。所以用汽車的數(shù)據(jù)進行擬合所得到的曲線和實際的曲線還是存在一定的差異的。我們從網(wǎng)上搜取的數(shù)據(jù)不一定具有代表性。七、模型優(yōu)化推廣該模型的缺點在于沒有討論足夠的影響因素，產(chǎn)生較大的誤差，如果對該模型進行改進，可以更好的符合實際情況。該模型根據(jù)Logistic模型建立可以用于描述大自然中各種生物間的競爭、捕食、互助等的各種關系可以用于描述人口增長趨勢，可以描述各種該模型的建立可以用于預測生產(chǎn)耐用品的發(fā)展趨勢，在適當?shù)臅r候降價處理該產(chǎn)品或搞促銷活動，適時的發(fā)展創(chuàng)新的新產(chǎn)品，到了一定時候可以停止生產(chǎn)，以此來贏取最大的利潤。參考文獻[1]姜啟源,謝金星，數(shù)學模型（第三版），北京市：高等教育出版社，2003年。[2]羅國湘，經(jīng)濟數(shù)學基礎，北京市：高等教育出版社，2009年。[3]/p-55748461.html附錄附表一：汽車銷售表單位：萬輛2008年5月02008年6月0.112008年7月0.442008年8月0.722008年9月0.882008年10月0.782008年11月0.622008年12月0.902009年1月0.842009年2月0.692009年3月1.232009年