中考數(shù)學(xué)全程演練第47課時 動態(tài)型問題

第47課時動態(tài)型問題(50分)一、選擇題(每題8分，共16分)圖47－11．[2015·萊蕪]如圖47－1，在矩形ABCD中，AB＝2a，AD＝a，矩形邊上一動點P沿A→B→C→D的路徑移動．設(shè)點P經(jīng)過的路徑長為x，PD2＝y(tǒng)，則下列能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是 (D)圖47－1【解析】(1)當0≤x≤2a時，∵PD2＝AD2＋AP2，AP＝x，∴y＝x2＋a2；(2)當2a＜t≤3a時，CP＝2a＋a－x＝3a－x，∵PD2＝CD2＋CP2，∴y＝(3a－x)2＋(2a)2＝x2－6ax＋13a2；(3)當3a＜t≤5a時，PD＝2a＋a＋2a－x＝5a－x，∵PD2＝y(tǒng)＝(5a－x)2，y＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2＋a2（0≤x≤2a），,x2－6ax＋13a2（2a<x≤3a），,（x－5a）2（3a<x≤5a），))∴能大致反映y與x的函數(shù)關(guān)系的圖象是選項D中的圖象．圖47－22．[2015·煙臺]如圖47－2，Rt△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，以2eq\r(3)為邊長的正方形DEFG的一邊GD在直線AB上，且點D與點A重合，現(xiàn)將正方形DEFG沿AB的方向以每秒1個單位的速度勻速運動，當點D與點B重合時停止，則在這個運動過程中，正方形DEFG與△ABC的重合部分的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是 (A)圖47－2【解析】首先根據(jù)Rt△ABC中∠C＝90°，∠BAC＝30°，AB＝8，分別求出AC，BC，以及AB邊上的高各是多少；然后根據(jù)圖示，分三種情況：(1)當0≤t≤2eq\r(3)時；(2)當2eq\r(3)＜t≤6時；(3)當6＜t≤8時；分別求出正方形DEFG與△ABC的重合部分的面積S的表達式，進而判斷出正方形DEFG與△ABC的重合部分的面積S與運動時間t之間的函數(shù)關(guān)系圖象大致是哪個即可．S＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),6)t2（0≤t≤2\r(3)），,2t－2\r(3)（2\r(3)<t≤6），,－\f(2\r(3),3)t2＋（2＋8\r(3)）t－26\r(3)（6<t≤8）.))二、填空題(每題8分，共8分)圖47－33．[2015·涼山]菱形OBCD在平面直角坐標系中的位置如圖47－3所示，頂點B(2，0)，∠DOB＝60°，點P是對角線OC上一個動點，E(0，－1)，當EP＋BP最短時，點P的坐標為__(2eq\r(3)－3，2－eq\r(3))__．圖47－3第3題答圖【解析】如答圖，連結(jié)DE交OC于點P，即點P滿足EP＋BP最短．第3題答圖如答圖，延長CD交y軸于點F，則CF⊥y軸，∵四邊形OBCD是菱形，∵OD＝CD＝OB＝2，∵∠DOB＝60°，則∠DOF＝30°，∴DF＝1，OF＝eq\r(3)，∴D(1，eq\r(3))，C(3，eq\r(3))，設(shè)直線DE的解析式為y＝kx－1，則k－1＝eq\r(3)，∴k＝eq\r(3)＋1，則y＝(eq\r(3)＋1)x－1，設(shè)直線OC的解析為y＝mx，則3m＝eq\r(3)，∴m＝eq\f(\r(3),3)，則y＝eq\f(\r(3),3)x，由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(y＝（\r(3)＋1）x－1，,y＝\f(\r(3),3)x，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2\r(3)－3，,y＝2－\r(3)，))∴點P的坐標為(2eq\r(3)－3，2－eq\r(3))．二、解答題(共26分)4．(13分)[2015·攀枝花]如圖47－4①，矩形ABCD的兩條邊在坐標軸上，點D與坐標原點O重合，且AD＝8，AB＝6.如圖②，矩形ABCD沿OB方向以每秒1個單位長度的速度運動，同時點P從A點出發(fā)也以每秒1個單位長度的速度沿矩形ABCD的邊AB經(jīng)過點B向點C運動，當點P到達點C時，矩形ABCD和點P同時停止運動，設(shè)點P的運動時間為ts.圖47－4(1)當t＝5時，請直接寫出點D，點P的坐標；(2)當點P在線段AB或線段BC上運動時，求出△PBD的面積S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)t的取值范圍；(3)點P在線段AB或線段BC上運動時，作PE⊥x軸，垂足為點E，當△PEO與△BCD相似時，求出相應(yīng)的t值．第4題答圖①解：(1)延長CD交x軸于M，延長BA交x軸于N，如答圖①所示．第4題答圖①則CM⊥x軸，BN⊥x軸，AD∥x軸，BN∥DM，∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，CD＝AB＝6，BC＝AD＝8，∴BD＝10，當t＝5時，OD＝5，∴BO＝15，∵AD∥NO，∴△ABD∽△NBO，∴eq\f(AB,BN)＝eq\f(AD,NO)＝eq\f(BD,BO)＝eq\f(2,3)，即eq\f(6,BN)＝eq\f(8,NO)＝eq\f(2,3)，∴BN＝9，NO＝12，∴OM＝12－8＝4，DM＝9－6＝3，PN＝9－1＝8，∴D(－4，3)，P(－12，8)；第4題答圖②(2)①如答圖②所示，當點P在邊AB上時，BP＝6－t，第4題答圖②∴S△PBD＝eq\f(1,2)BP·AD＝eq\f(1,2)(6－t)×8＝－4t＋24；②當點P在邊BC上時，BP＝t－6，∴S△PBD＝eq\f(1,2)BP·AB＝eq\f(1,2)(t－6)×6＝3t－18；∴S△PBD＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－4t＋24（0≤t≤6），,3t－18（6<t≤14）；))(3)設(shè)點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)t，\f(3,5)t))；①當點P在邊AB上時，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(4,5)t－8，\f(8,5)t))，若eq\f(PE,OE)＝eq\f(CD,CB)時，eq\f(\f(8,5)t,\f(4,5)t＋8)＝eq\f(6,8)，解得t＝6；若eq\f(PE,OE)＝eq\f(CB,CD)時，eq\f(\f(8,5)t,\f(4,5)t＋8)＝eq\f(8,6)，解得t＝20(不合題意，舍去)；②當點P在邊BC上時，Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－14＋\f(1,5)t，\f(3,5)t＋6))，若eq\f(PE,OE)＝eq\f(CD,BC)時，eq\f(\f(3,5)t＋6,14－\f(1,5)t)＝eq\f(6,8)，解得t＝6；若eq\f(PE,OE)＝eq\f(BC,CD)時，eq\f(\f(3,5)t＋6,14－\f(1,5)t)＝eq\f(8,6)，解得t＝eq\f(190,13)(不合題意，舍去)；綜上所述，當t＝6時，△PEO與△BCD相似．圖47－55．(13分)[2015·銅仁]如圖47－5，已知：關(guān)于x的二次函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象與x軸交于點A(1，0)和點B，與y軸交于點C(0，3)，拋物線的對稱軸與x軸交于點D.圖47－5(1)求二次函數(shù)的表達式；(2)在y軸上是否存在一點P，使△PBC為等腰三角形．若存在，請求出點P的坐標；(3)有一個點M從點A出發(fā)，以每秒1個單位的速度在AB上向點B運動，另一個點N從點D與點M同時出發(fā)，以每秒2個單位的速度在拋物線的對稱軸上運動，當點M到達點B時，點M，N同時停止運動，問點M，N運動到何處時，△MNB面積最大，試求出最大面積．第5題答圖①解：(1)A(1，0)，C(0，3)在函數(shù)y＝x2＋bx＋c的圖象上，第5題答圖①∴0＝1＋b＋c，c＝3，∴b＝－4，即二次函數(shù)的表達式是y＝x2－4x＋3；(2)∵y＝x2－4x＋3，∴B點坐標為(3，0)，如答圖①，當BC為底邊時，作BC的垂直平分線，則P點坐標為P1(0，0)，當BC為腰時，分別以B，C為圓心，BC長為半徑作圓，則P點坐標為P2(0，－3)，P3(0，3－3eq\r(2))，P4(0，3＋3eq\r(2))；(3)第5題答圖②第5題答圖③如答圖②③，設(shè)經(jīng)過的時間為t時，△MNB的面積為：S△MNB＝eq\f(1,2)MB·DN＝eq\f(1,2)(3－1－t)2t＝2t－t2＝－(t－1)2＋1，∴當t＝1時，△MNB的面積最大，最大的值為1，其中M，N的坐標分別為M(2，0)，N(2，－2)或M(2，0)，N(2，2)．(30分)6．(15分)[2015·威海]已知：如圖47－6①，拋物線l1：y＝－x2＋bx＋3交x軸于點A，B(點A在點B的左側(cè))，交y軸于點C，其對稱軸為x＝1，拋物線l2經(jīng)過點A，與x軸的另一個交點為E(5，0)，與y軸交于點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2))).②圖47－6(1)求拋物線l2的函數(shù)表達式；(2)P為直線x＝1上一點，連結(jié)PA，PC，當PA＝PC時，求點P的坐標；(3)如圖②，M為拋物線l2上一動點，過點M作直線MN∥y軸，交拋物線l1于點N，求點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值．解：(1)由題意，得－eq\f(b,2a)＝1，a＝－1，∴b＝2.∴拋物線l1的函數(shù)表達式為y＝－x2＋2x＋3.設(shè)－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3.∴點A的坐標為(－1，0)．設(shè)y＝a(x＋1)(x－5)，將點Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，－\f(5,2)))代入，得a＝eq\f(1,2).∴拋物線l2的函數(shù)表達式為y＝eq\f(1,2)x2－2x－eq\f(5,2)；(2)如答圖，設(shè)直線x＝1與x軸交于點G，過點C作CH⊥PG，垂足為H.第6題答圖由(1)知，C的坐標為(0，3)．則HG＝OC＝3.設(shè)P點的縱坐標為m，在Rt△APG中，AG＝2，PG＝m.∴AP2＝22＋m2＝4＋m2.在Rt△CHP中，CH＝OG＝1，HP＝3－m.∴CP2＝12＋(3－m)2＝m2－6m＋10.∵AP＝CP，∴4＋m2＝m2－6m＋10.解得m＝1.∴點P的坐標為(1，1)；(3)設(shè)點Meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x，\f(1,2)x2－2x－\f(5,2)))，則N(x，－x2＋2x＋3)．當－x2＋2x＋3＝eq\f(1,2)x2－2x－eq\f(5,2)時，解得x1＝－1，x2＝eq\f(11,3).①當－1≤x≤eq\f(11,3)時，MN＝y(tǒng)N－yM＝－eq\f(3,2)x2＋4x＋eq\f(11,2)＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)＋eq\f(49,6)，顯然，－1≤eq\f(4,3)≤eq\f(11,3)，∴當x＝eq\f(4,3)時，MN有最大值eq\f(49,6)，②當eq\f(11,3)≤x≤5時，MN＝y(tǒng)M－yN＝eq\f(3,2)x2－4x－eq\f(11,2)＝eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(4,3)))eq\s\up12(2)－eq\f(49,6).顯然，當x>eq\f(4,3)時，MN隨x的增大而增大．所以當點M與點E重合，即x＝5時，MN有最大值：eq\f(3,2)×52－4×5－eq\f(11,2)＝12.綜上所述，在點M自點A運動至點E的過程中，線段MN長度的最大值為12.圖47－77．(15分)[2014·湖州]如圖47－7，已知在平面直角坐標系xOy中，O是坐標原點，以P(1，1)為圓心的⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N.點F從點M出發(fā)，沿x軸正方向以每秒1個單位長度的速度運動，連結(jié)PF，過點P作PE⊥PF交y軸于點E.設(shè)點F運動的時間是ts(t>0)．圖47－7(1)若點E在y軸的負半軸上(如圖47－7所示)，求證：PE＝PF；(2)在點F運動過程中，設(shè)OE＝a，OF＝b，試用含a的代數(shù)式表示b；(3)作點F關(guān)于點M的對稱點F′.經(jīng)過M，E，F(xiàn)′三點的拋物線的對稱軸交x軸于點Q，連結(jié)QE.在點F運動過程中，是否存在某一時刻，使得以點Q，O，E為頂點的三角形與以點P，M，F(xiàn)為頂點的三角形相似，若存在，請直接寫出t的值；若不存在，請說明理由．第7題答圖①解：(1)證明：如答圖①，連結(jié)PM，PN.第7題答圖①∵⊙P與x軸，y軸分別相切于點M和點N，∴PM⊥MF，PN⊥ON，且PM＝PN，∴∠PMF＝∠PNE＝90°且∠NPM＝90°.∵PE⊥PF，∴∠1＝∠3＝90°－∠2.在△PMF和△PNE中，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(∠1＝∠3，,PM＝PN，,∠PMF＝∠PNE.))∴△PMF≌△PNE，∴PE＝PF；第7題答圖②(2)分兩種情況：第7題答圖②①當t>1時，點E在y軸的負半軸上，如答圖②，由(1)得△PMF≌△PNE，∴NE＝MF＝t，PN＝PM＝1，∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝NE－ON＝t－1.∴b－a＝1＋t－(t－1)＝2，∴b＝2＋a；第7題答圖③②當0<t≤1時，如答圖③，點E在y軸的正半軸上或原點，同理可證△PMF≌△PNE，第7題答圖③∴b＝OF＝OM＋MF＝1＋t，a＝OE＝ON－NE＝1－t，∴b＋a＝1＋t＋1－t＝2，∴b＝2－a.綜上所述，當t>1時，b＝2＋a；當0<t≤1時，b＝2－a；(3)解存在，t的值是2＋eq\r(2)或2－eq\r(2)或eq\r(2)或eq\f(1＋\r(17),4).(20分)8．(20分)[2015·金華]如圖47－8，拋物線y＝ax2＋c(a≠0)與y軸交于點A，與x軸交于B，C兩點(點C在x軸正半軸上)，△ABC為等腰直角三角形，且面積為4.現(xiàn)將拋物線沿BA方向平移，平移后的拋物線過點C時，與x軸的另一個交點為E，其頂點為F，對稱軸與x軸的交點為H.圖47－8(1)求a，c的值；(2)連結(jié)OF，試判斷△OEF是否為等腰三角形，并說明理由；(3)先將一足夠大的三角板的直角頂點Q放在射線AF或射線HF上，一直角邊始終過點E，另一直角邊與y軸相交于點P.是否存在這樣的點Q，使以點P，Q，E為頂點的三角形與△POE全等？若存在，求出點Q的坐標；若不存在，請說明理由．解：(1)∵△ABC為等腰直角三角形，∴OA＝eq\f(1,2)BC，又∵△ABC的面積＝eq\f(1,2)BC·OA＝4，即OA2＝4，∴OA＝2，∴A(0，2)，B(－2，0)，C(2，0)，∴c＝2，∴拋物線的函數(shù)表達式為y＝ax2＋2，∴有4a＋2＝0，解得a＝－eq\f(1,2)；∴a＝－eq\f(1,2)，c＝2.第8題答圖①(2)△OEF是等腰三角形．第8題答圖①理由：如答圖①，∵A(0，2)，B(－2，0)，∴直線AB的函數(shù)表達式為y＝x＋2，又∵平移后的拋物線頂點F在射線BA上，∴設(shè)頂點F的坐標為(m，m＋2)，∴平移后的拋物線函數(shù)表達式為y＝－eq\f(1,2)(x－m)2＋m＋2，∵拋物線過點C(2，0)，∴－eq\f(1,2)(2－m)2＋m＋2＝0，解得m1＝0(舍去)，m2＝6，∴平移后的拋物線函數(shù)表達式為y＝－eq\f(1,2)(x－6)2＋8，即y＝－eq\f(1,2)x2＋6x－10.當y＝0時，－eq\f(1,2)x2＋6x－10＝0，解得x1＝2，x2＝10，∴E(10，0)，OE＝10，又F(6，8)，OH＝6，F(xiàn)H＝8，∴OF＝eq\r(OH2＋FH2)＝eq\r(62＋82)＝10，又∵EF＝eq\r(FH2＋HE2)＝eq\r(82＋42)＝4eq\r(5)，∴OE＝OF，即△OEF為等腰三角形；第8題答圖②(3)點Q的位置分兩種情形．第8題答圖②情形一：點Q在射線HF上．當點P在x軸上方時，如答圖②.由于△PQE≌△POE，∴QE＝OE＝10，在Rt△QHE中，QH＝eq\r(QE2－HE2)＝eq\r(102－42)＝eq\r(84)＝2eq\r(21)，∴Q(6，2eq\r(21))；第8題答圖③當