高考人教數(shù)學(xué)（理）一輪課件第十章第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例

第三節(jié)變量間的相關(guān)關(guān)系與統(tǒng)計案例1．相關(guān)關(guān)系與回歸方程(1)相關(guān)關(guān)系的分類：①正相關(guān)：從散點圖上看，點分布在從______到______的區(qū)域內(nèi)；②負(fù)相關(guān)：從散點圖上看，點分布在從______到______的區(qū)域內(nèi)．(2)線性相關(guān)關(guān)系：從散點圖上看，如果這些點從整體上看大致分布在________附近，則稱這兩個變量之間具有線性相關(guān)關(guān)系，這條直線叫做________．左下角

右上角

左上角

右下角

一條直線

回歸直線

距離的平方和

斜率

截距

正相關(guān)

負(fù)相關(guān)

③r的絕對值越接近1，表明兩個變量的線性相關(guān)性____；r的絕對值越接近于0，表明兩個變量之間幾乎不存在線性相關(guān)關(guān)系．通常當(dāng)|r|>0.75時，認(rèn)為兩個變量有很強(qiáng)的線性相關(guān)關(guān)系．2．獨立性檢驗(1)2×2列聯(lián)表：假設(shè)有兩個分類變量X和Y，它們的值域分別為{x1，x2}和{y1，y2}，其樣本頻數(shù)列聯(lián)表(稱2×2列聯(lián)表)為：越強(qiáng)

y1y2合計x1ab______x2cdc＋d合計a＋c______a＋b＋c＋da＋b

b＋d

1．兩種關(guān)系——函數(shù)關(guān)系與相關(guān)關(guān)系(1)區(qū)別：①函數(shù)關(guān)系是一種確定性關(guān)系，相關(guān)關(guān)系是一種非確定性關(guān)系．②函數(shù)關(guān)系是一種因果關(guān)系，相關(guān)關(guān)系不一定是因果關(guān)系，也可能是伴隨關(guān)系．(2)聯(lián)系：對線性相關(guān)關(guān)系求回歸方程后，可以通過確定的函數(shù)關(guān)系對兩個變量間的取值進(jìn)行估計．3．回歸分析的意義回歸分析是對具有相關(guān)關(guān)系的兩個變量進(jìn)行統(tǒng)計分析的一種常用方法．在線性回歸模型y＝bx＋a＋e中，因變量y的值由自變量x和隨機(jī)誤差e共同確定，即自變量x只能解釋部分y的變化，在統(tǒng)計中，我們把自變量x稱為解釋變量，因變量y稱為預(yù)報變量．4．獨立性檢驗利用獨立性假設(shè)、隨機(jī)變量K2來確定是否有一定把握認(rèn)為“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為兩個分類變量的獨立性檢驗．兩個分類變量X和Y是否有關(guān)系的判斷標(biāo)準(zhǔn)：統(tǒng)計學(xué)研究表明：當(dāng)K2≤2.706時，認(rèn)為沒有充分證據(jù)顯示X與Y有關(guān)系；當(dāng)K2＞3.841時，有95%的把握說X與Y有關(guān)；當(dāng)K2＞6.635時，有99%的把握說X與Y有關(guān)；當(dāng)K2＞10.828時，有99.9%的把握說X與Y有關(guān)．1．(基礎(chǔ)知識：回歸分析的相關(guān)指數(shù))兩個變量y與x的回歸模型中，分別選擇了4個不同模型，它們的相關(guān)指數(shù)R2如下，其中擬合效果最好的模型是(

)A．模型1的相關(guān)指數(shù)R2為0.98B．模型2的相關(guān)指數(shù)R2為0.80C．模型3的相關(guān)指數(shù)R2為0.50D．模型4的相關(guān)指數(shù)R2為0.25AC3．(基礎(chǔ)知識：獨立性檢驗)為了判斷高中三年級學(xué)生選修文科是否與性別有關(guān)，現(xiàn)隨機(jī)抽取50名學(xué)生，得到如下2×2列聯(lián)表：答案：5%

答案：68

答案：④

類型1相關(guān)關(guān)系的判斷[例1]

(1)(2021·云南昆明診斷)某商家今年上半年各月的人均銷售額(單位：千元)與利潤率統(tǒng)計表如下：月份123456人均銷售額658347利潤率(%)12.610.418.53.08.116.3根據(jù)表中數(shù)據(jù)，下列說法正確的是(

)A．利潤率與人均銷售額成正相關(guān)關(guān)系B．利潤率與人均銷售額成負(fù)相關(guān)關(guān)系C．利潤率與人均銷售額成正比例函數(shù)關(guān)系D．利潤率與人均銷售額成反比例函數(shù)關(guān)系解析：利潤率隨人均銷售額增大而增大是相關(guān)關(guān)系，而不是函數(shù)關(guān)系．答案：A(2)對四組數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計，獲得如圖所示的散點圖，關(guān)于其相關(guān)系數(shù)的比較，正確的是(

)A．r2<r4<0<r3<r1 B．r4<r2<0<r1<r3C．r4<r2<0<r3<r1 D．r2<r4<0<r1<r3解析：易知題中圖①與圖③是正相關(guān)，圖②與圖④是負(fù)相關(guān)，且圖①與圖②中的樣本點集中分布在一條直線附近，則r2<r4<0<r3<r1.答案：A(1)求該地區(qū)這種野生動物數(shù)量的估計值(這種野生動物數(shù)量的估計值等于樣區(qū)這種野生動物數(shù)量的平均數(shù)乘以地塊數(shù))；(2)求樣本(xi，yi)(i＝1，2，…，20)的相關(guān)系數(shù)(精確到0.01)；(3)根據(jù)現(xiàn)有統(tǒng)計資料，各地塊間植物覆蓋面積差異很大，為提高樣本的代表性以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計，請給出一種你認(rèn)為更合理的抽樣方法，并說明理由．(3)分層抽樣：根據(jù)植物覆蓋面積的大小對地塊分層，再對200個地塊進(jìn)行分層抽樣．理由如下：由(2)知各樣區(qū)的這種野生動物數(shù)量與植物覆蓋面積有很強(qiáng)的正相關(guān)．由于各地塊間植物覆蓋面積差異很大，從而各地塊間這種野生動物數(shù)量差異也很大，采用分層抽樣的方法較好地保持了樣本結(jié)構(gòu)與總體結(jié)構(gòu)的一致性，提高了樣本的代表性，從而可以獲得該地區(qū)這種野生動物數(shù)量更準(zhǔn)確的估計．類型3非線性回歸分析[例3]為方便市民出行，倡導(dǎo)低碳出行．某市公交公司推出利用支付寶和微信掃碼支付乘車活動，活動設(shè)置了一段時間的推廣期，在推廣期內(nèi)采用隨機(jī)優(yōu)惠鼓勵市民掃碼支付乘車．該公司某線路公交車隊統(tǒng)計了活動推廣期第一周內(nèi)使用掃碼支付的情況，其中x(單位：天)表示活動推出的天數(shù)，y(單位：十人次)表示當(dāng)天使用掃碼支付的人次，整理后得到如圖所示的統(tǒng)計表1和散點圖．方法總結(jié)1．利用散點圖判斷兩個變量是否有相關(guān)關(guān)系是比較簡便的方法：(1)在散點圖中如果所有的樣本點都落在某一函數(shù)的曲線上，就用該函數(shù)來描述變量之間的關(guān)系，即變量之間具有函數(shù)關(guān)系．(2)如果所有的樣本點落在某一函數(shù)的曲線附近，變量之間就有相關(guān)關(guān)系．D

解析：(1)散點圖如圖所示．(1)估計事件“該市一天空氣中PM2.5濃度不超過75，且SO2濃度不超過150”的概率；

SO2PM2.5

[0，50](50，150](150，475][0，35]32184(35，75]6812(75，115]3710(2)根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表：(3)根據(jù)(2)中的列聯(lián)表，判斷是否有99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與SO2濃度有關(guān)？

SO2PM2.5

[0，150](150，475][0，75](75，115](2)根據(jù)抽查數(shù)據(jù)，可得2×2列聯(lián)表：

SO2PM2.5

[0，150](150，475][0，75]6416(75，115]1010方法總結(jié)

1．獨立性檢驗的原理獨立性檢驗的基本思想類似于反證法，要確認(rèn)“兩個分類變量有關(guān)系”這一結(jié)論成立的可信度，首先假設(shè)該結(jié)論不成立．即假設(shè)結(jié)論“兩個分類變量沒有關(guān)系”成立．在該假設(shè)下構(gòu)造的隨機(jī)變量K2應(yīng)該很?。绻捎^測數(shù)據(jù)計算得到的K2的觀測值k很大，則在一定程度上說明不合理．2．獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)列出2×2列聯(lián)表．(2)計算隨機(jī)變量K2的觀測值k，查表確定臨界值k0.(3)如果k≥k0，就推斷“X與Y有關(guān)系”，這種推斷犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)；否則，就認(rèn)為在犯錯誤的概率不超過P(K2≥k0)的前提下不能推斷“X與Y有關(guān)系”．[對點訓(xùn)練]某次模擬考試中，某校共有100名學(xué)生參加考試，其中語文考試成績低于130分的占95%，數(shù)學(xué)成績的頻率分布直方圖如圖所示：(1)如果成績不低于130分的為特別優(yōu)秀，這100名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的大約各多少人？(2)如果語文和數(shù)學(xué)兩科都特別優(yōu)秀的共有3人．①從(1)中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取2人，求這兩人兩科成績都特別優(yōu)秀的概率；②根據(jù)以上數(shù)據(jù)，完成2×2列聯(lián)表，并分析是否有99.9%的把握認(rèn)為語文特別優(yōu)秀的同學(xué)，數(shù)學(xué)也特別優(yōu)秀．語文特別優(yōu)秀語文不特別優(yōu)秀合計數(shù)學(xué)特別優(yōu)秀數(shù)學(xué)不特別優(yōu)秀合計P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.0050.001k02.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828解析：(1)該校共有100名學(xué)生參加考試，其中語文考試成績低于130分的占95%，語文成績特別優(yōu)秀的概率為P1＝1－0.95＝0.05，語文成績特別優(yōu)秀的同學(xué)有100×0.05＝5(人)；數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的頻率為P2＝0.002×20＝0.04，數(shù)學(xué)成績特別優(yōu)秀的同學(xué)有100×0.04＝4(人).1．(2020·高考全國卷Ⅰ)某校一個課外學(xué)習(xí)小組為研究某作物種子的發(fā)芽率y和溫度x(單位：℃)的關(guān)系，在20個不同的溫度條件下進(jìn)行種子發(fā)芽實驗，由實驗數(shù)據(jù)(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散點圖：由此散點圖，在10℃至40℃之間，下面四個回歸方程類型中最適宜作為發(fā)芽率y和溫度x的回歸方程類型的是(

)A．y＝a＋bx

B．y＝a＋bx2C．y＝a＋bex D．y＝a＋blnx解析：由散點圖可以看出，點大致分布在對數(shù)型函數(shù)的圖象附近．D2．(2020·高考全國卷Ⅲ)某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：鍛煉人次空氣質(zhì)量等級[0，200](200，400](400，600]1(優(yōu))216252(良)510123(輕度污染)6784(中度污染)720(1)分別估計該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率；(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表)；(3)若某天的空氣質(zhì)量等級為1或2，則稱這天“空氣質(zhì)量好”；若某天的空氣質(zhì)量等級為3或4，則稱這天“空氣質(zhì)量不好”．根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表，判斷是否有95%的把握認(rèn)為一天中到該公園鍛煉的人次與該市當(dāng)天的空氣質(zhì)量有關(guān)？解析：(1)由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級為1，2，3，4的概率的估計值如下表：空氣質(zhì)量等級1234概率的估計值0.430.270.210.09（1）現(xiàn)對該市市民進(jìn)行“經(jīng)常使用共享單車與年齡關(guān)系”的調(diào)查，采用隨機(jī)抽樣的方法，抽取一個容量為200的樣本，請你根據(jù)圖表中的數(shù)據(jù)，補(bǔ)全下列2×2列聯(lián)表，并根據(jù)列聯(lián)表的獨立性檢驗，判斷是否有85%