數(shù)學(xué)九年級上冊專題25.1 概率初步章末重難點突破（人教版）（學(xué)生版）

專題25.1概率初步章末重難點突破【人教版】【知識點1必然事件、不可能事件、隨機事件】在一定條件下，有些事件必然會發(fā)生，這樣得事件稱為必然事件；相反地，有些事件必然不會發(fā)生，這樣得事件稱為不可能事件；在一定條件下，可能發(fā)生也可能不會發(fā)生得事件稱為隨機事件。必然事件與不可能事件就是否會發(fā)生，就是可以事先確定得，所以它們統(tǒng)稱為確定性事件?！究键c1事件的判斷】【例1】（2021?花溪區(qū)模擬）如圖，電路圖上有4個開關(guān)A、B、C、D和1個小燈泡，在所有的元件和線路都正常的前提下．下列操作中，“小燈泡發(fā)光”這個事件是隨機事件的是（）A．只閉合1個開關(guān) B．只閉合2個開關(guān) C．只閉合3個開關(guān) D．閉合4個開關(guān)【變式1-1】（2021?文山州模擬）下列事件中是不可能事件的是（）A．守株待兔 B．甕中捉鱉 C．百步穿楊 D．水中撈月【變式1-2】（2021?淮安）下列事件是必然事件的是（）A．沒有水分，種子發(fā)芽 B．如果a、b都是實數(shù)，那么a+b＝b+a C．打開電視，正在播廣告 D．拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上【變式1-3】（2021春?建鄴區(qū)校級期中）下列事件：①如果a、b都是實數(shù)，那么a+b＝b+a；②射擊一次，中靶；③拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，正面向上；④8張相同的小標(biāo)簽分別標(biāo)有數(shù)字1～8，從中任意抽取1張，抽到0號簽．其中，屬于確定事件的是．（填序號）【知識點2概率】一般地，對于一個隨機事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小得數(shù)值，稱為隨機事件A發(fā)生得概率，記作P（A）。一般地，如果在一次試驗中，有n種可能得結(jié)果，并且它們發(fā)生得可能性都相等，事件A包含其中得m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生得概率P（A）=。由m與n得含義可知0≤m≤n，因此0≤≤1，因此0≤P（A）≤1、當(dāng)A為必然事件時，P（A）=1；當(dāng)A為不可能事件時，P（A）=0、【考點2概率公式的計算】【例2】（2021春?項城市期末）如圖，將一個棱長為3的正方體表面涂色，再把它分割成棱長為1的正方體，從中任取一個小正方體，則取得小正方體恰好有兩個面涂色的概率為（）A．827 B．1227 C．627【變式2-1】（2021?寧波模擬）小棟畫了4個圖，分別是矩形，扇形，等邊三角形，平行四邊形，從這4個圖中任取一個，取出的圖形是中心對稱圖形的概率是（）A．14 B．12 C．3【變式2-2】（2021?沙坪壩區(qū)校級開學(xué)）從﹣3，﹣2，0，1，2五個數(shù)中任選一個數(shù)記為m，則使關(guān)于x的一次函數(shù)y＝（m+1）x﹣2不經(jīng)過第一象限的概率為．【變式2-3】（2021春?天府新區(qū)期末）若從﹣1，0，1，2，3這五個數(shù)中任抽取一個數(shù)作為a的值，使關(guān)于x的方程a+1x?2+22?x=【知識點3用列舉法求概率】一般地，如果在一次試驗中，有n種可能得結(jié)果，并且它們發(fā)生得可能性都相等，事件A包含其中得m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生得概率P（A）=?！究键c3幾何概率】【例3】（2021?廣饒縣二模）小明隨機地在如圖所示的圓及其內(nèi)部區(qū)域投針，則針扎到其內(nèi)接等邊三角形（陰影）區(qū)域的概率為（）A．12 B．312π C．3【變式3-1】（2021?隨州）如圖，從一個大正方形中截去面積為3cm2和12cm2的兩個小正方形，若隨機向大正方形內(nèi)投一粒米，則米粒落在圖中陰影部分的概率為（）A．49 B．59 C．25【變式3-2】（2021?陽東區(qū)模擬）如圖是由四個直角邊長分別為2和4的全等的直角三角形拼成的“趙爽弦圖”飛鏢板，小明站在投鏢線上向飛鏢板投擲飛鏢（假設(shè)投擲的飛鏢均扎在飛鏢板上），則針扎在陰影部分的概率是．【變式3-3】（2021?深圳模擬）如圖，⊙O與正方形ABCD各邊相切，若隨機向正方形內(nèi)投一粒米（將米?？闯梢粋€點），則米粒落在陰影部分的概率是．【知識點4用列表法求概率】當(dāng)一次試驗要涉及兩個因素并且可能出現(xiàn)得結(jié)果數(shù)目較多時，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常用列表法。列表法就是用表格得形式反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，以及某一事件發(fā)生得可能得次數(shù)與方式，并求出概率得方法?！究键c4用列表法求概率】【例4】（2021?新昌縣模擬）某校九（1）班針對“垃圾分類”知曉情況對全班學(xué)生進行專題調(diào)查活動，將“垃圾分類”的知曉情況分為A，B，C，D四類．其中，A類表示“非常了解”，B類表示“比較了解”，C類表示“基本了解”，D類表示“不太了解”，每名學(xué)生可根據(jù)自己的情況任選其中一類，班長根據(jù)調(diào)查結(jié)果進行了統(tǒng)計，并繪制成了不完整的條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖．根據(jù)以上信息解決下列問題：（1）補全條形統(tǒng)計圖，并求出扇形統(tǒng)計圖中類別C所對應(yīng)扇形的圓心角．（2）類別A的4名學(xué)生中有3名男生和1名女生，現(xiàn)從這4名學(xué)生中隨機選取2名學(xué)生參加學(xué)?！袄诸悺敝R競賽，求所選取的2名學(xué)生中恰好有1名男生、1名女生的概率．【變式4-1】（2021?海港區(qū)模擬）如圖，是兩個圓形轉(zhuǎn)盤，同時旋轉(zhuǎn)兩個轉(zhuǎn)盤，兩個轉(zhuǎn)盤的指針都不落在“1”區(qū)域的概率是（）A．34 B．14 C．38【變式4-2】（2021?洛陽三模）現(xiàn)有三張正面分別標(biāo)有數(shù)字﹣1，1，﹣2的不透明卡片，它們除數(shù)字外其余完全相同，將它們背面朝上洗均勻，隨機抽取―張，記下數(shù)字后放回，背面朝上洗均勻，再隨機抽取一張記下數(shù)字，前后兩次抽取的數(shù)字分別記為m，n，則點P（m，n）在第三象限的概率為．【變式4-3】（2021?永定區(qū)模擬）今年是中國共產(chǎn)黨百年華誕，中國站在“兩個一百年”的歷史交匯點，全面建設(shè)社會主義現(xiàn)代化國家新征程即將開啟．紅五月期間某校響應(yīng)區(qū)團委以“紅心向黨，爭做先鋒”為主題的手抄報比賽，積極開展此項活動，學(xué)校將收到的手抄報幅數(shù)按年級進行統(tǒng)計，繪制了以下兩幅統(tǒng)計圖（不完整）．據(jù)圖中提供的信息完成以下問題．（1）計算扇形統(tǒng)計圖中“八年級”對應(yīng)的圓心角是，并補全條形統(tǒng)計圖．（2）經(jīng)過評審，全校有4幅手抄報榮獲特等獎，其中只有一幅來自七年級，學(xué)校準(zhǔn)備從特等獎手抄報中任選兩幅參加區(qū)級的手抄報比賽，請利用畫樹狀圖或列表的方法求出七年級特等獎手抄報被選送參加區(qū)級比賽的概率．【知識點5用樹狀圖求概率】當(dāng)一次試驗要涉及3個或更多得因素時，列方形表就不方便了，為不重不漏地列出所有可能得結(jié)果，通常采用樹形圖。樹形圖就是反映事件發(fā)生得各種情況出現(xiàn)得次數(shù)與方式，并求出概率得方法。（1）樹形圖法同樣適用于各種情況出現(xiàn)得總次數(shù)不就是很大時求概率得方法。（2）在用列表法與樹形圖法求隨機事件得概率時，應(yīng)注意各種情況出現(xiàn)得可能性務(wù)必相同?！究键c5用樹狀圖求概率】【例5】（2021?興慶區(qū)校級一模）為倡導(dǎo)“低碳出行”，每年9月22日為世界無車日，2020年9月22日，由中國城市公共交通協(xié)會聯(lián)合清華大學(xué)中國城市研究院共同舉辦的第十四屆“922綠色出行日”主題活動拉開序幕，環(huán)保部門對某城市居民出行使用交通方式的情況進行了問卷調(diào)查，將收回的問卷調(diào)查結(jié)果整理后，繪制了不完整的統(tǒng)計圖，其中“騎自行車、電動車”所在的扇形的圓心角是162°．請根據(jù)以上信息解答下列問題：（1）請補全條形統(tǒng)計圖．（2）如果綠色出行是指“騎自行車、電動車”和“坐公交車”，計算綠色出行在所有交通方式中的頻率，并在50萬人口的城市中選擇綠色出行的共有多少人．（3）若參與問卷調(diào)查的人中選擇“其他”交通方式的有兩名女性，其余為男性，現(xiàn)從中隨機選取兩人進行跟蹤調(diào)查，請借助樹狀圖或者表格，求出恰好選到1男1女的概率．【變式5-1】（2021?恩施州）工廠從三名男工人和兩名女工人中，選出兩人參加技能大賽，則這兩名工人恰好都是男工人的概率為（）A．35 B．15 C．310【變式5-2】（2021?鎮(zhèn)平縣模擬）三張背面完全相同的數(shù)字牌，它們的正面分別印有數(shù)字1，2，3，將它們背面朝上，洗勻后隨機抽取一張，記錄牌上的數(shù)字并把牌放回，再重復(fù)這樣的步驟，得到數(shù)字a，b，則a≥b的概率是．【變式5-3】（2021?鄖西縣模擬）某中學(xué)抽取了40名學(xué)生參加“平均每周課外閱讀時間”的調(diào)查，由調(diào)查結(jié)果繪制了不完整的頻數(shù)分布表和扇形統(tǒng)計圖頻數(shù)分布表：組別時間/小時頻數(shù)/人數(shù)A組0≤t＜12B組1≤t＜2mC組2≤t＜310D組3≤t＜412E組4≤t＜57F組t≥54請根據(jù)圖表中的信息解答下列問題：（1）表中m＝；扇形統(tǒng)計圖中，“B”部分對應(yīng)的扇形圓心角的度數(shù)為；“C”部分所占百分比為；若該校有2000名學(xué)生，那么每周課外閱讀時間超過4小時的人數(shù)大約為人；（2）已知F組的學(xué)生中，只有1名男生，其余都是女生，用列舉法求以下事件的概率：從F組中隨機選取2名學(xué)生，恰好都是女生．【知識點6用頻率估計概率】在隨機事件中，一個隨機事件發(fā)生與否事先無法預(yù)測，表面上瞧似無規(guī)律可循，但當(dāng)我們做大量重復(fù)試驗時，這個事件發(fā)生得頻率呈現(xiàn)出穩(wěn)定性，因此做了大量試驗后，可以用一個事件發(fā)生得頻率作為這個事件得概率得估計值。一般地，在大量重復(fù)試驗中，如果事件A發(fā)生得頻率穩(wěn)定于某一個常數(shù)P，那么事件A發(fā)生得頻率P（A）=p?！究键c6用頻率估計概率】【例6】（2021?河北一模）育種小組對某品種小麥發(fā)芽情況進行測試，在測試基本情況相同的條件下，得到如下數(shù)據(jù)：抽查小麥粒數(shù)1005001000200030004000發(fā)芽粒數(shù)9548696819402907a則a的值最有可能是（）A．3680 B．3720 C．3880 D．3960【變式6-1】（2021春?樂平市期末）黃豆在相同條件下發(fā)芽率試驗，結(jié)果如表．下面3個推斷：①當(dāng)n＝100時，黃豆發(fā)芽的頻率是0.970，所以黃豆發(fā)芽概率為0.970；②根據(jù)表格數(shù)據(jù)，估計黃豆發(fā)芽的概率為0.95；③若n＝6000時，估計黃豆發(fā)芽的粒數(shù)約為5700．其中正確的個數(shù)為（）每批粒數(shù)n3060100500100030005000發(fā)芽的粒數(shù)m28589747995728444752發(fā)芽的頻率m0.9330.9670.9700.9580.9570.9480.950A．0個 B．1個 C．2個 D．3個【變式6-2】（2021春?儀征市期末）在一個不透明的袋子里裝有只有顏色不同的黑、白兩種顏色的球共50個，某學(xué)習(xí)小組做摸球試驗，將球攪勻后從中隨機摸出一個球記下顏色，再把它放回袋中，不斷重復(fù)，下表是活動進行中的一組統(tǒng)計數(shù)據(jù)：摸球的次數(shù)n1002003005008001000摸到黑球的次數(shù)m65118189310482602摸到黑球的頻率m0.650.590.630.620.6030.602（1）請估計：當(dāng)n很大時，摸到黑球的頻率將會接近（精確到0.1）；（2）試估計袋子中有黑球個；（3）若學(xué)習(xí)小組通過實驗結(jié)果，想使得在這個不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小為50%，則可以在袋子中增加相同的白球個或減少黑球個．【變式6-3